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Page17一、单选题,本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数在处的导数是()A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】先对函数求导后,再将代入导函数中可求得结果.【详解】由,得,所以函数在处的导数是,故选:A2.设数列满意,则().A.4 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】依据递推关系代入计算即可.【详解】由,则,则,,则.故选:D.3.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据椭圆方程的特征分析求解.【详解】由题意可得:,解得,所以的取值范围为.故选:A.4.2024年10月17~18日,第三届“一带一路”高峰论坛在北京实行,有150个国家、92个国际组织的外宾参加论坛.从2013年到2024年,中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元,则2024年进出口累计总额(保留1位小数)约为().参考数据:A.17.9万亿 B.19.1万亿 C.20.3万亿 D.21.6万亿【答案】B【解析】【分析】依据给定信息,构建等比数列,再求出其中的项即可.【详解】依题意,从2013年到2024年每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列,其中,公比,所以2024年进出口累计总额为(万亿).故选:B5.函数图象与直线恰有两个不同的交点,则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数探讨函数的性质,并求出函数值集合即可得解.【详解】函数的定义域为R,求导得,当时,,函数递减,函数值集合,当时,,函数递增,函数值集合为,当时,函数取得最小值,如图,所以函数图象与直线恰有两个不同的交点时,.故选:B6.已知,则的大小关系为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数可得,据此推断,再由推断即可得解.【详解】令,则,可知时,时,故在上单调递减,在上单调递增,可知,所以,时等号成立,所以,故;又,当时等号成立,则,故.综上,.故选:C7.已知是椭圆的左、右焦点,为坐标原点,是椭圆上的点(不在坐标轴上),的平分线交于,且,则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据椭圆的定义及角平分线定理求,再由即可求解.【详解】如图,由椭圆可知,,即,由内角平分线定理可知,,又,则,即,所以,即,解得,所以.故选:B8.已知无穷正整数数列满意,则的可能值有()个A.2 B.4 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】变形给定的递推公式,由,推导出冲突,从而得,再代入即可分析求解.【详解】由,得,当时,,两式相减得,即,于是,依题意,若,有,则,即是递减数列,由于是无穷正整数数列,则必存在,使得与冲突,因此,即,于是数列是周期为2的周期数列,当时,由,得,即,从而,所以的可能值有6个.故选:C【点睛】思路点睛:涉及给出递推公式探求数列性质问题,细致分析递推公式并进行变形,结合已知条件探讨项间关系而解决问题.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.定义在上的可导函数的导函数图象如图所示,下列说法正确的是()A.B.函数的最大值为C.1是函数的微小值点D.3是函数的微小值点【答案】AC【解析】【分析】由的图象对选项一一推断即可得出答案,【详解】由的图象可知,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,则,故A正确;由,故B错误;因为在上单调递减,在上单调递增,故1是函数的微小值点,故C正确;当时,的符号未发生变更,故3不是函数的微小值点,故D错误.故选:AC.10.已知数列的前项和为,则()A.若为递减等比数列,则的公比.B.“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件C.若为等比数列,则可能为等比数列D.若对于随意的,数列满意,且各项均不为0,则为等比数列【答案】BD【解析】【分析】取特别数列可推断AC,利用等差数列的定义及等差数列的求和公式推断B,令,依据等比数列定义推断D.【详解】取,则为递减等比数列,公比,故A错误;若为等差数列,则,所以,故(常数),故为等差数列,若为等差数列,则,即,所以,两式相减得,所以,故(常数),所以为等差数列,所以“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件,故B正确;若,满意为等比数列,此时,当时,,所以,不是等比数列,故C错误;随意的,满意,不妨取,则,因为各项均不为0,所以(不为0的常数),故为等比数列,故D正确.故选:BD11.已知数列满意,设,记的前项和为,的前项和为,则()A.为等比数列 B.为等比数列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依据条件化简得推断B,取对数后可推断A,依据等比数列求和公式推断C,放缩后利用等比数列求和可推断D【详解】由,则,则,则,即,由,则,即,(不是常数),故A对B错;由为等比数列,故,,故C正确;又,则,当时,成立,综上,故D正确.故选:ACD12.已知分别为双曲线的左、右焦点,点为双曲线右支上随意一点,点,下列结论中正确的是()A.B.的最小值为C.过与双曲线有一个公共点直线有3条D.若,则的面积为5【答案】ABD【解析】【分析】依据双曲线定义推断A,依据双曲线定义及图象可推断B,依据双曲线的性质推断C,依据定义及直角三角形推断D.【详解】如图,由双曲线方程知,所以由双曲线定义知,故A正确;因为,所以,,由,故B正确;过M与两渐近线平行的直线仅1个交点,过M与左支相切与右支无交点的直线有1条,过M与右支相切且与左支无交点的直线有1条,故共有4条,故C错误;若,则,即,所以,解得,所以,故D正确.故选:ABD【点睛】本题C选项也可以通过设直线联立双曲线方程接受纯代数的方法进行推断,选项D可以干脆利用焦点三角形的面积公式推断.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列为等比数列,,则______.【答案】48【解析】【分析】依据等比数列的定义及通项公式可得解.【详解】由题意,,所以.故答案为:4814.设函数在处可导且,则______.【答案】【解析】【分析】由导数的概念求解即可.【详解】由.故答案为:.15.设等差数列的前项和为,满意,数列中最大的项为第______项.【答案】6【解析】【分析】依据给定条件,结合等差数列的性质求出最大项,的最小项得解.【详解】依题意,,,明显,且,等差数列的公差,即数列是递减数列,前6项均为正数,从第7项起为负数,数列的最大项为,是数列中的最小项,且,所以数列中最大的项为,是第6项.故答案为:616.若函数在区间上有单调递增区间,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】依据题意转化为在上有解,分别参数后求函数最值即可得解.【详解】,由题意在上有解,即在上有解,依据对勾函数的性质可知,在上单调递增,所以在时取最大值,故,故实数的取值范围是.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列,现在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列.(1)求新数列的通项公式;(2)16是新数列中的项吗?若是,求出是第几项,若不是,说明理由.【答案】(1)(2)不是【解析】【分析】(1)求出原等差数列的通项公式,利用求解;(2)依据数列的通项公式求解即可.【小问1详解】设已知的等差数列为,易知,则,则,由题意知:,则.【小问2详解】令,故不是新数列中的项.18.已知函数在处取到微小值.(1)求的值;(2)求曲线在点处的切线方程.【答案】(1)(2)【解析】分析】(1)依据微小值列出方程组即可得解;(2)求出切点处导数可得切线斜率,据此写出切线方程即可.【小问1详解】因为,则,即,当时,,时,,时,,故在处取到微小值,所以满意题意.【小问2详解】由(1)知,,则,故切线方程为:,即.19.已知抛物线上的点到其焦点的距离为2.(1)求的方程及焦点的坐标.(2)过点的直线交抛物线于两点,且的面积为8,求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依据题意结合抛物线的定义可求出,则可得抛物线方程,然后代入点P横坐标即可求得;(2)由题意可知直线斜率存在,设出直线方程以及交点坐标,将直线方程带入抛物线方程化简利用根与系数的关系,代入面积公式即可求得.【小问1详解】由抛物线的定义可得:,解得,所以抛物线的方程为.【小问2详解】由题意可设直线方程为,,,由,得,所以,,,因为.所以,得,故直线的方程为:.20.已知等差数列和正项等比数列满意:,,.(1)求数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依据题意,列出方程组求出公差、公比即可得解;(2)依据错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列的公差为,数列的公比为,则,消元得或(舍去),故,故.【小问2详解】由,则①②①②得:故.21.已知函数.(1)当时,求函数的最小值;(2)若对随意的恒成立,求整数的最大值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当时,,对求导,比较与的大小,即可得出的单调性,进而求出函数的最小值;(2)由可得,令,分类探讨和,结合恒成立可得答案.【小问1详解】当时,,,令,解得:;令,解得:;所以在上单调递减,在上单调递增,所以.【小问2详解】由可得:,即,记,,若,即,,则在上单调递增,又时,,不合题意;若,即,令,则,令,则,则在上单调递减,在上单调递增,,令,,则令,解得:,令,解得:;所以在上单调递减,在上单调递增,且,故整数的最大值为.22.已知双曲线的左右顶点分别为点,其中,且双曲线过点.(1)求双曲线的方程;(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点,过点作垂直于轴的直线,交线段于点,点满意.证明:直线过定点,并求出该定点.【答案】22.23.证明见解析,【解
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