新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何微专题3空间距离

微专题3空间距离[2024·江西鹰潭模拟]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D为AB1的中点，CB1交BC1于点E.(1)证明：CB1⊥C1D；(2)求点E到平面B1C1D的距离．5.[2024·河北石家庄二中模拟]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CA⊥CB，侧面AA1B1B为菱形，△AB1C为等边三角形．(1)求证：CB1⊥CB；(2)若CA＝CB＝4，点E是侧棱CC1上的动点，且平面AB1E与平面ABC的夹角的余弦值为，求点B到平面AB1E的距离．技法领悟利用空间向量求空间距离的答题模板[巩固训练3][2024·重庆模拟]在多面体ABCC1A1B1中，四边形BB1C1C是边长为4的正方形，AB⊥B1B，△ABC是正三角形．(1)若A1为AB1的中点，求证：直线AC∥平面A1BC1；(2)若点A1在棱AB1上且AA1＝2A1B1，求点C到平面A1BC1的距离．微专题3空间距离保分题(1)解析：证明：由于CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以A1C1，B1C1，CC1两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，4)，C1(0，0，0)，B1(0，4，0)，A1(4，0，0)，A(4，0，4)，B(0，4，4)，D(2，2，2)，＝(0，4，－4)，＝(2，2，2)，所以·＝0＋8－8＝⊥，故CB1⊥C1D.(2)由题意可知E是CB1，BC1的中点，所以E(0，2，2)，设平面B1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，则＝(0，4，0)，＝(2，2，2)，＝(0，2，2)，故，取x＝1，则m＝(1，0，－1)，所以点E到平面B1C1D的距离为d＝＝＝.提分题[例5]解析：(1)证明：连接A1B与AB1相交于点F，连接CF，如图所示：∵四边形AA1B1B为菱形，∴F为AB1的中点，则A1B⊥AB1.△AB1C为等边三角形，有CF⊥AB1，A1B，CF⊂平面A1BC，A1B＝F，∴AB1⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AB1⊥BC，又AC⊥BC，AB1，AC⊂平面AB1C，AB1＝A，∴BC⊥平面AB1C，∵CB1⊂平面AB1C，∴CB1⊥CB.(2)由(1)知CB1⊥CB，CA⊥CB，且CB1＝C，CB1，AC⊂平面AB1C，故CB⊥平面AB1C，而CB⊂平面ABC，故平面AB1C⊥平面ABC，分别取AC，AB的中点O，G，连接B1O，OG，则OG∥BC，∴OG⊥平面AB1C，△AB1C为等边三角形，B1O⊥AC，而平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1O⊂平面AB1C，故B1O⊥平面ABC，以O为原点的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－2，0)，C(0，2，0)，B(4，2，0)，B1(0，0，2)，设＝＝＝(－4λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，则E(－4λ，2－2λ，2λ)，∴＝＝(0，2，2)，设平面AB1E的一个法向量n＝(x，y，z)，则有，令z＝λ，则y＝－λ，x＝λ－，即n＝(λ－，－λ，λ)，又∵平面ABC的法向量为＝(0，0，2)，∴平面AB1E与平面ABC的夹角的余弦值为〉＝＝，∴3λ2＋2λ－1＝0，∴λ＝或λ＝－1(舍)，此时n＝(－，－)，又＝(4，4，0)，∴点B到平面AB1E的距离为：＝＝3.[巩固训练3](1)解析：证明：如图，连接CB1，设CB1＝D，由题意可得D为CB1的中点，连接A1D，因为A1，D分别为AB1，CB1的中点，则A1D∥AC，A1D⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，所以直线AC∥平面A1BC1.(2)解析：由题意可得：AB⊥B1B，BC⊥B1B，AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，取AB的中点H，连接CH，因为△ABC是正三角形，则CH⊥AB，又因为BB1⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，则CH⊥BB1，AB＝B，AB，BB1⊂平面ABB1，所以CH⊥平面ABB1，如图，以H为坐标原点，HA，HC为x轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(－2，0，0)，C(0，0，2)，B1(－2，4，0)，C1(0，4，2