新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题一小题专攻第一讲集合常用逻辑用语微专题2常用逻辑用语

微专题2常用逻辑用语常考常用结论1．充分条件与必要条件(1)若p⇒q且qD⇏p，则p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p且pD⇏q，则p是q的必要不充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若pD⇏q且qD⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．全称(存在)量词命题及其否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定为¬p：∃x∈M，¬p(x)．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)．它的否定为¬p：∀x∈M，¬p(x)．保分题做到百分之百正确1.[2024·河南开封一模]设命题p：≥x＋1，则¬p是()A．∀x∈R，ex≤x＋1B．∀x∈R，ex<x＋1C．∃x∈R，ex≤x＋1D．∃x∈R，ex<x＋12．[2024·辽宁大连三模]设命题p：>1＋cosx0，则¬p为()A．∀x≤0，sinx>1＋cosxB．∀x>0，sinx<1＋cosxC．∀x>0，sinx≤1＋cosxD．∀x≤0，sinx≤1＋cosx3．[2024·河南濮阳模拟]下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，ex≥x＋1B．∃x∈R，ex<x＋1C．∀x∈R，2x≥x2D．∃x∈(0，＋∞)，x＋<24．[2024·安徽蚌埠一模]若a，b∈R且ab≠0，则“<1”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．[2024·山东泰安一模]已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．[2024·河北邯郸一模]在等差数列{an}中，“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件提分题先做后讲再巩固2.(1)[2024·江西九江二模]已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a<0，若p为假命题，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1](2)[2024·河北衡水中学三模]已知a>0且a≠1，“函数f(x)＝ax为增函数”是“函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)[2024·安徽合肥三模]已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个充分不必要条件为()A．>B．ln(a＋1)>ln(b＋1)C．a3>b3D．>技法领悟推断充分、必要条件时的3个关注点1．要弄清先后依次：“A是B的必要不充分条件”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.2．要擅长举出反例：当从正面推断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．3．要留意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件[巩固训练2](1)[2024·安徽合肥二模]设a∈R，则“a＝1”是“f(x)＝ln(＋ax)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)[2024·全国甲卷]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件(3)[2024·河南郑州一模]若“∃x∈R，x2－6ax＋3a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．微专题2常用逻辑用语保分题1．解析：∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex<x＋1.答案：D2．解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以¬p为∀x>0，sinx≤1＋cosx．故选C.答案：C3．解析：构造函数f(x)＝ex－x－1，f(0)＝0，f′(x)＝ex－1，所以f(x)在区间(－∞，0)上f′(x)<0，递减，在(0，＋∞)上f′(x)>0，递增．所以f(x)在x＝0处取得微小值也即是最小值，所以f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，ex≥x＋1.所以A选项正确，B选项错误．当x＝－1时，2x<x2，所以C选项不正确．当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以D选项错误．故选A.答案：A4．解析：若a＝1，b＝－1，满意<1，此时a>b，解除充分性，若a＝－2，b＝－1，满意a<b，此时>1，解除必要性．故选D.答案：D5．解析：由线面垂直的性质知，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n成立，即充分性成立；依据线面垂直的定义，m必需垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．故选A.答案：A6．解析：当{an}的公差d＝0时，由a2＋a5＝a3＋am，得m是随意的正整数，由m＝4，得a2＋a5＝a3＋am，则“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的必要不充分条件．故选A.答案：A提分题[例2](1)解析：因为命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a<0，所以¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2－a≥0，又因为p为假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，x2＋2x＋2－a≥0恒成立，所以Δ≤0，即22－4(2－a)≤0，解得a≤1.故选D.(2)解析：函数f(x)＝ax为增函数，则a>1，此时a－1>0，故函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增；当g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增时，a－1>0，所以a>1，故f(x)＝ax为增函数．故选C.(3)解析：对于A，假如>，例如a＝－2，b＝－1，则－>－1，不能推出a>b>0，假如a>b>0，则必定有<，既不是充分条件也不是必要条件，错误；对于B，假如ln(a＋1)>ln(b＋1)，依据对数函数的单调性可知a＋1>b＋1，a>b，但不能推出a>b>0，例如a＝1，b＝－0.5，不是充分条件，假如a>b>0，则a＋1>b＋1>0，∴ln(a＋1)>ln(b＋1)，是必要条件，即ln(a＋1)>ln(b＋1)是a>b>0的必要不充分条件，错误；对于C，假如a3>b3，因为y＝x3是单调递增的函数，所以a>b，不能推出a>b>0，例如a＝－1，b＝－2，假如a>b>0，则必有a3>b3，是必要不充分条件，错误；对于D，假如>，则必有a>b≥1>0是充分条件，假如a>b>0，例如a＝1，b＝0.5，则不能推出>，所以是充分不必要条件，正确．故选D.答案：D答案：C答案：D[巩固训练2](1)解析：若f(x)＝ln(＋ax)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝ln(＋ax)＋ln(－ax)＝ln＝0，∴1－a2＝0，解得a＝±1，经检验，符合题意，∴“a＝1”是“f(x)＝ln(＋ax)为奇函数”的充分不必要条件．(2)解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分条件；由si