高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)7.5外接球(精练)(提升版)(原卷版+解析)

7.5外接球（精练）（提升版）题组一题组一汉堡模型1．(2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，，则四棱锥的外接球O的表面积是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π2．(2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，AB⊥BC，，，则球O的表面积等于（

）A． B． C． D．7．(2023·河北衡水·高三阶段练习）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．题组二题组二墙角模型1．(2023·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点．若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．3(2023·四川雅安·三模（文））在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.4．(2023·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.题组三题组三斗笠模型1．(2023·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）A． B． C． D．2．(2023广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（）A． B． C． D．3．(2023·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（）A． B． C． D．4．(2023·河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（）A． B． C． D．5．(2023·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（）A． B． C． D．6．(2023·天津南开区）已知一个圆锥的底面半径为，高为，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（）A． B． C． D．题组四题组四L模型1．(2023·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（

）A．64π B．128π C．40π D．80π2．(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.4．(2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．5．(2023·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（

）A． B． C． D．6．(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（

）A．4 B． C． D．题组五题组五怀表模型1．(2023·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.2．(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·模拟预测）已知四边形为菱形，且，现将沿折起至，并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为（

）A． B．C． D．5．(2023·全国·高三专题练习）已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．6（2023·安徽高三月考（文））已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．题组六矩形模型题组六矩形模型1．(2023·安徽合肥市）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．(2023·甘肃酒泉市）已知三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则外接球的表面积为___________.3．（2023·江西南昌市）四面体中，，，，则该四面体的外接球表面积为__________．4．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为题组七内切球题组七内切球1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北·模拟预测）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．3．(2023·河南）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．4．(2023·安徽）连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.5．(2023·河南）正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．6．（2023·山东高三）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为___________.7.5外接球（精练）（提升版）题组一题组一汉堡模型1．(2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，，则四棱锥的外接球O的表面积是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π答案：D【解析】由题意底面矩形的外接圆半径，则原四棱锥外接球半径，故选：D2．(2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,故选：C3．(2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，∵正△的边长为6，则∴外接球的表面积故选：C．4．(2023·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选：B.5．(2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，易得球心即为中点，连接，易得，，设外接球半径为，则，则.故选：C．6．（2023·全国·高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，AB⊥BC，，，则球O的表面积等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为、、、是球表面上的点，所以又平面，平面，所以，，，因为，平面，，所以平面，而平面，所以，所以可得为的中点，，，所以，所以球的半径径为，所以球表面积为．故选：A．7．(2023·河北衡水·高三阶段练习）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以.又，，所以平面SAC.在中，，，所以.又，则外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E，的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，，所以，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为.故选：D题组二题组二墙角模型1．(2023·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：外接球半径，所以外接球体积，阳马—的体积为．．故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点．若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．答案：【解析】由题意知：四边形的面积，设点到平面的距离为，则，解得：，又为中点，平面，；，两两互相垂直，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球表面积.故答案为：.3(2023·四川雅安·三模（文））在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.答案：【解析】因为，，则，，同理可证，，所以，、、两两垂直，将三棱锥补成正方体，如下图所示：正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.4．(2023·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.答案：【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径，因为PA⊥平面ABC，所以鳖臑P-ABC外接球的半径，故鳖臑P-ABC外接球的体积是.故答案为：题组三题组三斗笠模型1．(2023·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）A． B． C． D．答案：C【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，圆锥的高为，设圆锥外接球的半径为，则，解得．圆锥的体积为，圆锥外接球的体积，∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C．2．(2023广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（）A． B． C． D．答案：A【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，设球半径为，则，，所以，如图1，，即，解得，不符合题意，当为如图2时，即，解得，所以球表面积为．故选：A．3．(2023·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（）A． B． C． D．答案：B【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，则，可得，由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，，由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，所以，，解得,因此，该圆锥的外接球的表面积为.故选：B.4．(2023·河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（）A． B． C． D．答案：C【解析】设该圆台的外接球的球心为，半径为，则或，解得，所以该圆台的外接球的表面积为.故选：C.5．(2023·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（）A． B． C． D．答案：A【解析】设圆锥母线为，底面半径为，则，解得，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，，，，，所以球表面积为．故选：A．6．(2023·天津南开区）已知一个圆锥的底面半径为，高为，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（）A． B． C． D．答案：D【】解析设球的半径为，圆锥的体积为，由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则，，因此，该球的体积为.故选：D.题组四题组四L模型1．(2023·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（

）A．64π B．128π C．40π D．80π答案：D【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，则三棱柱的外接球即为所求.设外接球的球心为，则的外心为，则，又，则外接球的半径，表面积，故选：D2．(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．答案：【解析】取的中点，连接，，如图所示：因为，所以为的外接圆圆心，又因为，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上.在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，设，，所以，.在中，，所以，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.答案：【解析】如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积.故答案为：.4．(2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则外接圆圆心在DE上，且，解得，设三棱锥外接球球心为O，连接，，过作，垂足为，由平面平面，得，故四边形为矩形，因为，所以，且，所以，设三棱锥外接球半径为R，有，又，所以，解得，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：D.5．(2023·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，解得，则外接球的表面积为.故选：C.6．(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（

）A．4 B． C． D．答案：B【解析】连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连接，如图，在等边中，的中点为，所以，又平面平面，是交线，所以平面，且，设，外接球半径为，则在正方形中，，，在中，，而在截面中，，由可得：解得，所以，所以．故选：B．题组五题组五怀表模型1．(2023·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.答案：【解析】如图，取的中点为，连接AM,DM,则,则二面角的平面角为，，由四边形ABDC是菱形，可知为正三角形，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，则为的中心，所以，，，由于二面角A-BD-C的余弦值为，故设，则，，故，则，，球的半径，所求外接球的体积为，故答案为：．2．(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接过作∥,且=，连接，则∵△为等边三角形，则∴，，根据题意可得∵，则由题意可得，则，则如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接，则∴△的外接圆半径，则设棱锥的外接球的半径为，则即，解得三棱锥的外接球的表面积为故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题，设正三角形与的中心分别为，根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正三角形与的边长均为2，故，故.易得，故，故，又，故球的半径，故球的表面积为故选：B4．(2023·全国·模拟预测）已知四边形为菱形，且，现将沿折起至，并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】在菱形中，，设，则和均为边长为的正三角形．将折起后，，取的中点，连接、，如图．因为，则，，又因为，平面，过点在平面内作，垂足为点，连接，平面，则，又因为，，平面，平面，，所以，直线与平面所成角为，在中，，所以，．在中，，，所以，则，因此点为正的中心，所以三棱锥是棱长为的正四面体．将正四面体补成正方体，则正方体的棱长为，所以，三棱锥外接球半径为，三棱锥外接球的体积为，解得，因此，正四面体的表面积为.故选：B.5．(2023·全国·高三专题练习）已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在菱形中，，则为等边三角形，设线段的中点为，连接、，则，因为，则，同理可知，所以，二面角的平面角为，即，因为，则为等边三角形，所以，，延长至点，使得为的中点，连接、，易知，，则为等边三角形，可得，同理，所以，为的外心，延长至点，使得为的中点，同理可知点为的外心，过点在平面内作，过点在平面内作，设，因为，，，平面，平面，，，，平面，同理可证平面，所以，为三棱锥的外接球球心，如下图所示：因为，，，所以，，所以，，则，因为，由勾股定理可得，因此，三棱锥的外接球半径为，因此，三棱锥的表面积为.故选：A.6（2023·安徽高三月考（文））已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．答案：C【解析】如图所示：取的中点，连接，则.因为为直角三角形，所以其外接圆圆心为的中点，设四面体的外接球球心为，则平面，易知点，点位于平面同侧，又因为平面，所以，连接，，故四边形为直角梯形，过作于点，则四边形为矩形，连接，设四面体的外接球的半径为，.在中，，，所以，.在中，，所以，①在中，，在直角梯形中，，，.在中，，即.②解①②组成的方程组，得，所以，解得(负值舍去).所以四面体的外接球的表面积.故选：C题组六矩形模型题组六矩形模型1．(2023·安徽合肥市）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.过做平面，垂足为，连结，，则，解得：.，，，，则分别为在平面内的射影，所以有，又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，，，，所以有平面，平面，则有，因为，，所以，则，则故外接球的表面积为.故选：D.2．(2023·甘肃酒泉市）已知三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则外接球的表面积为___________.答案：【解析】如图，在中，由，可得：，所以为直角三角形，由，若要三棱锥的体积最大，则平面时三棱锥的体积最大，由为直角三角形，所以外接圆直径为，所以外接球直径，，所以外接球的表面积，故答案为：3．（2023·江西南昌市）四面体中，，，，则该四面体的外接球表面积为__________．答案：【解析】由题意，，，则，所以，，同理，取中点，则到四点的距离相等，即为外接球的球心，所以球半径为，球表面积为．故答案为：．4．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为答案：【解析】因为矩形中，，点，分别是，的中点，所以四边形和四边形是正方形，又沿将四边形折起，使，所以几何体是正三棱柱，，设球的球心在底面的射影为，因此，显然是等边三角形的中心，，在直角三角形中，，所以球的表面积为，题组七内切球题组七内切球1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（