高考第一轮文科数学（人教A版）课时规范练59　不等式的证明

课时规范练59不等式的证明基础巩固组1.(2020全国Ⅲ,文23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥342.(2022陕西西安二模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-2|.(1)求不等式f(x)≤4的解集;(2)若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a+b=m,求证:1a+2+3.(2022安徽安庆二模)已知函数f(x)=|2x+4|+|x-1|.(1)求不等式f(x)>6的解集;(2)设函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a2+9b2=m,求证:a+3b≥26ab.综合提升组4.已知f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)≤x+3的解集;(2)若f(x)的最小值为m,正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:1a5.已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4;(2)当x≠0,x∈R时,证明:f(-x)+f1x≥2.6.已知函数f(x)=|x+m2|+|2x-m|(m>0).(1)当m=1时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若f(x)的最小值为32,且a+b=m(a>0,b>0),求证:a+2b创新应用组7.(2022江西南昌三模)已知函数f(x)=|x-2|+|x-4|,不等式f(x)≥kx(k>0)恒成立.(1)求k的最大值k0;(2)设a>0,b>0,求证:aa8.已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥8的解集;(2)设a,b,c∈R,且a+b+c=1,证明:a3bc

参考答案课时规范练59不等式的证明1.证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-12(a2+b2+c2)<(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由bc≤(b+c)24,可得abc≤a34,故a≥34,所以2.(1)解当x<2时,f(x)=4-x+2-x=6-2x≤4,解得1≤x<2;当2≤x≤4时,f(x)=4-x+x-2=2≤4,解得2≤x≤4;当x>4时,f(x)=x-4+x-2=2x-6≤4,解得4<x≤5.综上,不等式f(x)≤4的解集为[1,5].(2)证明由(1)得,当x<2时,f(x)=6-2x>2;当2≤x≤4时,f(x)=2;当x>4时,f(x)=2x-6>2,所以a+b=m=2.又a,b为正实数,所以0<b<2,故1a+2+13.解(1)由条件可知原不等式可化为①x②-③x解①得x>1;解②得x∈⌀;解③得x<-3,所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)因为f(x)=|2x+4|+|x-1|=3所以当x=-2时,函数f(x)的最小值为m=3,于是a2+9b2=3,∵a>0,b>0,而3=a2+9b2≥2a·3b=6ab,于是0<ab≤12∵a+3bab=1∴a+3b≥26ab,原不等式得证.4.(1)解①当x≤-1时,2-2x≤x+3,解得x≥-13,则不等式的解集为空集②当-1<x≤3时,4≤x+3,解得1≤x≤3;③当x>3时,2x-2≤x+3,解得x≤5,则3<x≤5.综上,不等式的解集为{x|1≤x≤5}.(2)证明因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x+3|=4,当且仅当(x+1)·(x-3)≤0时,等号成立.所以m=4,所以a+b+c=m=4,1a+b+1b+c+1c+a=18[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·1a+b+1b+c+1c+a=5.(1)解由f(x)+f(x+1)≥4得|x-1|+|x|≥4,当x>1时,得2x-1≥4,解得x≥52当0≤x≤1时,得1≥4,此时不等式无解;当x<0时,得-2x+1≥4,此时x≤-32所以不等式的解集为xx≥52或x≤-32.(2)证明f(-x)+f1x=|x+1|+1x-1,由绝对值三角不等式,得|x+1|+1x-1≥x+1x,又因为x,1x同号,所以x+1x=|x|+1x,由基本不等式得|x|+1x≥2,当且仅当|x|=1时,等号成立,所以f(-x)+f1x≥2.6.(1)解当m=1时,原不等式为|x+1|+|2x-1|≤6,则x或-或x解得-2≤x<-1或-1≤x≤12或12<x≤2,∴原不等式f(x)≤6的解集为{x|-(2)证明由题意得f(x)=-∴f(x)min=fm2=m2+12m=32,∴m=1或m=-32(∴a+b=1,令a=cos2θ,b=sin2θ0<θ<π2,则a+2b=cosθ+2sinθ当θ=π2-φ0<φ<π2,且tanφ=12时,上述不等式等号成立7.(1)解当x≤2时,f(x)=2-x+4-x=6-2x;当2<x<4时,f(x)=x-2+4-x=2;当x≥4时,f(x)=x-2+x-4=2x-6.由此可得f(x)的图象如下图所示,∵f(x)≥kx(k>0)恒成立,则由图象可知,当y=kx过点(4,2)时,k取得最大值k0,∴k0=12(2)证明由(1)知,只需证明aa令m解得a=2n-m3,b=2m-n3当且仅当2nm=2mn,即m=n时,等号成立,8.(1)解由题意得,f(x)=|2x-4|+|x+1|=3不等式f(x)≥8,可转化为3解得x≤-53或x≥11故不等式的解集为xx≤-53或x≥113.(2)证明a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,三式相加得a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又因为a2b2+b2c2≥2ab2c,a2b2+c2a2