人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题10平行四边形经典折叠问题专训(36道)(原卷版+解析)

专题10平行四边形经典折叠问题专训（36道）【平行四边形经典折叠问题专训】1．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．2．（2022秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴、y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若点，点，则点D的坐标是（）A． B． C． D．3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（

）①；②；③和的面积相等；④和的面积相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③4．（2022秋·广东深圳·九年级期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长交于点，则和的面积之比为（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点．若，，则的长为（

）A．2 B．4 C． D．6．（2022·重庆南岸·校考模拟预测）如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接现在有如下四个结论：；；③；其中结论正确的个数是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（

）A． B． C． D．9．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（）A．2 B． C． D．110．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP=45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP=30°时，△OAD的面积为15；③当OD⊥AD时，BP=2．其中结论正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．（2021秋·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接现有如下4个结论：①；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③12．（2022秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考开学考试）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：①若延长DP，则DP⊥FB；②若连接CE，则；③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；其中正确有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个13．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的长度是___________，的最小值是___________．14．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，小实同学先将正方形纸片沿对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形的对角线，再把边沿折叠，使得A点落在上的H点处，若，则________．15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在长方形纸片中，，；将该纸片沿折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点处，则折痕的长为_____．16．（2022·山东泰安·校考二模）已知在矩形中，，，点G、F、H、E是分别边、、、上的点，分别沿，折叠矩形恰好使、都与重合，则_______．17．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接交于点Q，对于下列结论：①；②；③；④若P是的中点，则矩形为正方形．其中正确的是_______（填序号）．18．（2022秋·天津和平·九年级校考期中）如图，现有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接，下列结论：①；②四边形是菱形；③P，A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．19．（2022秋·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）小明将一张长方形纸片翻折的过程中发现：如果点E、F分别是OC、OA边上的点，将沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，若，那么在这个过程中BD长度的取值范围是______．20．（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为BC上一动点，把沿AE折叠，当点B的对应点落在或的角平分线上时，则点到BC的距离为______________．21．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当为等腰三角形时，BC=________．22．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．23．（2022春·云南红河·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为___________．24．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为______．25．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F．(1)求证：；(2)若，．求点F至的距离．26．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕两端点分别在，上（含端点），且，．设．(1)当的最小值等于______时，才能使点B落在上一点E处；(2)当点F与点C重合时，求的长．(3)当时，点F离点B有多远？27．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）长方形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠使点C落在Cʹ处，BCʹ交AD于点E．(1)试找出一个与全等的三角形，并加以证明．(2)求DE的长．(3)若P为线段BD上的任意一点，，垂足为G，，垂足为H，试求的值，并说明理由．28．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）综合与实践问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．独立思考：(1)在图1中，若，，则的长为______；实践探究：(2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由；问题解决：(3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由．29．（2021秋·福建泉州·八年级校考期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片．(1)操作发现：如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，交于点M，若，，则____．(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．(3)实践探究：如图4，将图3中的EF隐去，点G为边上一点，且，将纸片沿折叠，使点B落在点处，延长与的延长线交于点H，则与有何数量关系？并说明理由．30．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，四边形中，AD//BC，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．且．(1)求证：；(2)求证：；(3)若点是的中点，，求的长．31．（2022春·吉林·八年级期中）（1）【探究】如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作于点O，交BC于点F．求证：；（2）【应用】如图②，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，直线FG分别交AD、BC、DE于点F、G、O，将正方形ABCD沿FG折叠，使点D的对称点与点E重合，点C的对称点为．若，求线段FG的长．32．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G．（1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果）（2）连接BG，若，求BG的长．【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：．【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．33．（2022春·河北保定·八年级统考期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．(1)奋进小组用图1中的矩形纸片，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，则与重合部分的三角形的形状是______．(2)勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠（如图3），使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．(3)创新小组用图4中的矩形纸片进行操作，其中，，先沿对角线对折，点C落在点的位置，交于点G，则的长为______．34．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在项目化学习“折纸中的数学”中，有同学以“矩形纸片的折叠”开展探究活动．现有矩形纸片，点在线段上，折痕为，点的对应点为点，分别按以下操作回答问题．(1)如图，若点落在线段上，则四边形是哪类特殊四边形？答：______．(2)如图，若点落在矩形纸片内，满足CF∥AE，此时线段与有怎样的数量关系，并说明理由．(3)如图，点落在对角线上，点为矩形的对称中心，且，求的度数．35．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）（1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则°；（2）小明手中有一张长方形纸片，，．【画一画】如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）；（3）【算一算】图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A，B分别落在点，处，若，求的长．36．（2022·全国·八年级专题练习）【推理】如图①，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点．求证：．【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点．若点是的中点，则线段______．【拓展】如图③，在【推理】条件下，，交于点，取的中点，连接，则的最小值是______．专题10平行四边形经典折叠问题专训（36道）【平行四边形经典折叠问题专训】1．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，∵是翻折而成，∴，是直角三角形，∴，在中，，设，在中，，即，解得，故选：C．【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．2．（2022秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴、y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若点，点，则点D的坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据矩形的性质可知再利用折叠的性质得，由勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．【详解】解：∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∵将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处．∴，由勾股定理得，，∴，设，则，在中，解得，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（

）①；②；③和的面积相等；④和的面积相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③【答案】A【分析】先判断出是直角三角形，再利用三角形的外角判断出①正确，进而判断出，得出是的中位线判断出②正确，利用等式的性质判断出④正确．【详解】如图，连接，∵点是中点，∴，由折叠知，，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确，由折叠知，，∴，∵，∴是的中位线，∴，故②正确，∵，∴，由折叠知，，∴，∴，故④正确，无法判断和的面积是否相等，∴③不正确，故选：A．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．4．（2022秋·广东深圳·九年级期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长交于点，则和的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由折叠的性质可知，，，；根据点是的中点可知，再结合角平分线的性质可知，即可证明，由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式即可求得和的面积之比．【详解】解：根据题意，由折叠的性质可知，，，，∵点是的中点，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，，∵是的平分线，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，即和的面积之比为．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点．若，，则的长为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】解：是的中点，，沿折叠后得到，，，，在矩形中，，，在和中，，，，设，则，，在中，，即，解得：，即；故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．6．（2022·重庆南岸·校考模拟预测）如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接现在有如下四个结论：；；③；其中结论正确的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】①正确．证明,得到，结合可得结果．②错误．可以证明，不是等边三角形，可得结论．③正确．证明，即可．④错误．证明，求出的面积即可．【详解】解：如图，连接，四边形是正方形，，，由翻折可知：，，，，，，，∴，，，，故正确，设，在中，，，，，，是等腰三角形，易知不是等边三角形，显然，故错误，，，，，，，，故正确，，：：，∴，，故正确，故选：C．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先延长交于点G，根据三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到，设，则，在中，依据勾股定理可得，进而得出方程，解方程即可．【详解】解：如图所示，延长交于点G，∵四边形是菱形，，∴，∴由折叠的性质可知，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，设，则，∴，在中，依据勾股定理可得，∴，解得，（负值已舍去）∴，故选B．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．8．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由折叠及性质可知，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后再中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长．【详解】解：设与交于H，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，由折叠的性质可得，垂直平分，∴，∴，又∵，∴，在与中，∴，∴，在中，，∴，∴∴．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能灵活运用正方形的性质和折叠的性质．9．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由勾股定理和折叠的性质可求，，由三角形的三边关系，，则当点在上时，有最小值为，由三角形的中位线定理可求解．【详解】解：如图，连接，，，，，将沿折叠，，在△中，，当点在上时，有最小值为，，分别为，的中点，，的最小值为1，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，求出的最小值是解题的关键．10．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP=45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP=30°时，△OAD的面积为15；③当OD⊥AD时，BP=2．其中结论正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】①由矩形的性质得到∠OBC=90°，根据折叠的性质得到OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，得到OA=10，OB=6，根据直角三角形的性质得到DH=3，根据三角形的面积公式得到△OAD的面积为OA•DH=×3×10=15，故②正确；③根据已知条件推出P，D，A三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB=∠POA，等量代换得到∠OPA=∠POA，求得AP=OA=10，根据勾股定理得到BP=BC-CP=10-8=2，故③正确．【详解】解：①∵四边形OACB是矩形，∴∠OBC=90°，∵将△OBP沿OP折叠得到△ODP，∴OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，∵∠BOP=45°，∴∠DOP=∠BOP=45°，∴∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OBP=∠ODP=90°，∴四边形OBPD是矩形，∵OB=OD，∴四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，∵点A（10，0），点B（0，6），∴OA=10，OB=6，∴OD=OB=6，∠BOP=∠DOP=30°，∴∠DOA=30°，∴DH=OD=3，∴△OAD的面积为OA•DH=×3×10=15，故②正确；③∵OD⊥AD，∴∠ADO=90°，∵∠ODP=∠OBP=90°，∴∠ADP=180°，∴P，D，A三点共线，∵OA∥CB，∴∠OPB=∠POA，∵∠OPB=∠OPD，∴∠OPA=∠POA，∴AP=OA=10，∵AC=6，∴CP==8，∴BP=BC-CP=10-8=2，故③正确；故选：D．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．11．（2021秋·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接现有如下4个结论：①；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可得EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE，求出DA＝DF，证明Rt△ADG≌Rt△FDG，可得AG＝FG，∠ADG＝∠FDG，故①正确；根据∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45°，可知③正确；求出△BGE的周长＝BG＋BE＋AG＋EC＝AB＋AC，可知④正确；当F是GE的中点时，可得AG＝GF＝FE＝EC，故②错误．【详解】解：根据折叠的意义，得：△DEC≌△DEF，∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE，∵DA＝DC，∴DA＝DF，又∵DG＝DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG＝FG，∠ADG＝∠FDG，故①正确；∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45°，故③正确；∵△BGE的周长＝BG＋BE＋GE，GE＝GF＋EF＝AG＋EC，∴△BGE的周长＝BG＋BE＋AG＋EC＝AB＋AC，即△BGE的周长是定值，故④正确，当F是GE的中点时，可得AG＝GF＝FE＝EC，故②错误；∴正确的结论是①③④，故选：A．【点睛】此题考查了翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用各性质进行推理论证是解决此题关键．12．（2022秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考开学考试）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：①若延长DP，则DP⊥FB；②若连接CE，则；③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；其中正确有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】证明△DCP≌△BCF，利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理可判断①，证明DP⊥EC，结合BF⊥DP，可判断②，当E，P，F共线时，求解∠DPC＝∠DPE＝．在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝，DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，可得x+x＝4，解方程可判断③，连接CE，BD．由③可知，当CF＝4﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝，证明点E在DB上，EA＝EC，可得∠ECF＞∠EFC，EF＞EC，可判断④，从而可得答案．【详解】解：①如图1中，延长DP交BF于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，在△DCP和△BCF中，，∴△DCP≌△BCF（SAS），∴∠CDP＝∠CBF，∵∠CPD＝∠BPH，∴∠DCP＝∠BHP＝90°，∴DP⊥BF，故①正确．②∵C，E关于DP对称，∴DP⊥EC，∵BF⊥DP，∴，故②正确．③如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝．在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝，∴∴∠JDP＝∠JPD＝，∴DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，∴x+x＝4，∴x＝4﹣4，∴CF＝4﹣4，故③错误，④如图3中，连接CE，BD．由③可知，当CF＝4﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝，∴∠CDE＝，∴点E在DB上，∵A，C关于BD对称，∴EA＝EC，∵∠ECF＞∠EFC，∴EF＞EC，∴EF＞EA，∴此时△AEF不是等腰三角形，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，二次根式的除法运算，轴对称的性质，熟练的应用以上知识解题是关键．13．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的长度是___________，的最小值是___________．【答案】

【分析】在直角中，根据勾股定理即可求出的长；连接，如图1，则根据三角形的三边关系可得：，显然，当D、、E三点共线时，最小，据此解答即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵E是边的中点，∴，在直角中，根据勾股定理，得：．连接，如图1，则，显然，当D、、E三点共线时，最小，如图2，∵，∴．故答案为：、．【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理和三角形的三边关系等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．14．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，小实同学先将正方形纸片沿对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形的对角线，再把边沿折叠，使得A点落在上的H点处，若，则________．【答案】##【分析】设，则可得．连接，即可构造和，依据勾股定理得到，进而得出关于x的方程，通过解方程即可得到的长．【详解】解∶如图所示，连接，在中，∴，又∵，∴，设，则，由折叠可得，，∴，在和中，，即，解得，∴．故答案为∶．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及翻折变换(折叠问题)以及勾股定理，折叠的本质属于轴对称变换，关键是抓住折叠前后的对应边和对应角相等．15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在长方形纸片中，，；将该纸片沿折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点处，则折痕的长为_____．【答案】2【分析】根据矩形的性质可得，，设，则，由翻折可得，根据勾股定理求出x的值，然后证明是等边三角形，进而可以解决问题．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵，，设，则，由翻折可知：，在中，根据勾股定理得：，∴，解得，∴，∴，∴，由翻折可知：，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．16．（2022·山东泰安·校考二模）已知在矩形中，，，点G、F、H、E是分别边、、、上的点，分别沿，折叠矩形恰好使、都与重合，则_______．【答案】7【分析】设，根据折叠的性质得出．过E作于M，则，．在中根据勾股定理得出，即，解方程即可．【详解】解：设，∵分别沿，折叠矩形恰好使都与重合，∴．过E作于M，则四边形是矩形，∵，，∴，，，在中，∵，∴，即，解得，则，∴．故答案为：7．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，列出关于x的方程是解题的关键．17．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接交于点Q，对于下列结论：①；②；③；④若P是的中点，则矩形为正方形．其中正确的是_______（填序号）．【答案】①③【分析】先由与的关系，得出与的关系为．再由折叠得到,．由于是直角三角形，可知．最后在几个直角三角形中，利用的角所对直角边是斜边的一半，求出各线段长度的关系，进而判断出结论正确与否．【详解】∵四边形是矩形∴∵，∴．∵是由折叠得到的，∴,，，，∴在中，，∴，∴∴∴∴在中,，∴故①正确,②错误．∵在中，,∴是等边三角形∴∴同理可得：∴∴故③正确．∵P是的中点∴又∵∴即矩形不是正方形故④错误．故正确的是①③．【点睛】本题考查了折叠的性质和直角三角形中，的角所对直角边是斜边的一半．主要利用了转化思想和等量代换．18．（2022秋·天津和平·九年级校考期中）如图，现有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接，下列结论：①；②四边形是菱形；③P，A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．【答案】②③##③②【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得进而得，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过D点时，求得四边形的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．【详解】解：如图1，∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，故②正确；∴，，∴，∵，若，则，∴，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2所示：设，则，在中，，即，解得，∴，，∴，∴，∴．故③正确；当过点D时，如图3所示：此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，∴，故④不正确．故答案为：②③．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．19．（2022秋·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）小明将一张长方形纸片翻折的过程中发现：如果点E、F分别是OC、OA边上的点，将沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，若，那么在这个过程中BD长度的取值范围是______．【答案】##【分析】根据矩形的性质得∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，当折痕EF移动时点D在BC边上也随之移动，由此可以得到，当点E与C重合时，BD最小，当F与A重合时，BD最大，据此画图求解即可.【详解】解：∵四边形OABC是矩形∴∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，当点E与C重合时，最小，如图所示：此时，∴.当F与A重合时，最大，如图所示：此时，∴，∴的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理等等，解题的关键在于确定E、F的位置.20．（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为BC上一动点，把沿AE折叠，当点B的对应点落在或的角平分线上时，则点到BC的距离为______________．【答案】2或1或【分析】过点作于M，延长交于点H，则于点H，则，，分点B的对应点落在的角平分线上和点B的对应点落在的角平分线两种情况，利用勾股定理列方程，即可求得答案．【详解】解：四边形是矩形，，过点作于M，延长交于点H，则于点H，则，，①当点B的对应点落在的角平分线上时，连接，∴设，则，又由折叠的性质知，∴在直角中，由勾股定理得到：，即，解得：，则点到的距离为或．②当点B的对应点落在的角平分线上时，∴设，又由折叠的性质知，∴在直角中，由勾股定理得到：，即，解得：（不合题意，舍去），则点到的距离为．故答案为：2或1或．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、矩形的性质、解一元二次方程等知识点，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．21．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当为等腰三角形时，BC=________．【答案】18或15或21.9【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．【详解】解：∵沿EF折叠C落在处，∴，，，∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，∴，当时，CE=AE=13，∴BC=BE+CE=18；当时，过点A作于点G，则，∵AE⊥EF，∴，∵，∴，∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，∴，∴EG=BE=5，∴，∴CE=10，∴BC=BE+CE=15；当时，过点作于点M，连接交EF于点N，连接AF，则AE=2ME，，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴此时点落在AD上，，∴，设DF=x，则，∵，∴，解得：，∴，设CE=a，则AD=BC=5+a，∵，∴，解得：a=16.9，∴BC=21.9；综上所述，BC=18或15或21.9．故答案为：18或15或21.9【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．22．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．【答案】15【分析】连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折叠的性质求得CG⊥BD，点F为BC中点，利用面积法求得CG=6，据此求解即可得到BGF的面积．【详解】解：连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，∵平行四边形ABCD中，∠A=45°，∴∠DCB=∠A=45°，∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，∴DH=HC，由勾股定理得DH=HC=，∵BC=10，∴BH=10-=，由勾股定理得BD=5，

由折叠的性质得EG=EC，FG=FC，∵点E为DC中点，∴EG=EC=DE，∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，∴∠EGC+∠EGD=90°，∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，∵FG=FC，∴∠FCG=∠FGC，

∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，∴∠FGB=∠FBG，∴FG=FB，∴FG=FB=FC，即点F为BC中点，∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，∴CG=6，∴BG=2，∵点F为BC中点，∴==××2×6=15．故答案为：15．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，证明CG⊥BD是解题的关键．23．（2022春·云南红河·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为___________．【答案】8或【分析】分为两种情况，当∠CFE=90°和∠CEF=90°时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．【详解】解：如图，当∠CFE=90°时，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC==13，由折叠性质可得：AF=AB=5，∠AFE=∠B=90°，∵∠CFE=90°，∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=180°，∴A、F、C三点共线，∴FC=AC-AF=13-5=8，如图，当∠CEF=90°时，∴∠BEF=90°，由折叠性质可得：∠AFE=∠ABE=90°，EF=BE，∴四边形ABEF为正方形，∴BE=EF=AB=5，∴CE=BC-BE=12-5=7，在Rt△CEF中，∴CF=综上，CF=8或，故答案为：8或．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形．24．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为______．【答案】2.4或6【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可.【详解】解：①如图1，当E点在线段上时，连接,∵四边形是正方形，∵折叠后，又(HL)∴

设,则，在Rt中，

解得②如图2，E点在线段上时，连接,

设,则，在Rt中解得

故答案为：2.4或6【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识并根据勾股定理列方程是解题的关键.25．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F．(1)求证：；(2)若，．求点F至的距离．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由翻折的性质和矩形的性质得到条件证明，即可得到结论；（2）根据勾股定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，．∵四边形是矩形，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，∴，由（1）知，∴，是等腰三角形，∵，∴，∴，过F作于H，∴，∴，故点F至的距离为．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键．26．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕两端点分别在，上（含端点），且，．设．(1)当的最小值等于______时，才能使点B落在上一点E处；(2)当点F与点C重合时，求的长．(3)当时，点F离点B有多远？【答案】(1)6(2)(3)【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据垂线段最短原理，当时，最小，此时四边形是正方形，从而得到的最小值等于，计算即可．（2）根据折叠性质，勾股定理得，根据，引入未知数，建立等式计算即可．（3）过点F作，垂足为H，判定四边形是矩形，根据勾股定理，得，计算即可．【详解】（1）解：根据折叠的性质，得，根据垂线段最短原理，当时，最小，因为矩形纸片，所以，所以四边形是正方形，所以，故答案为：6．（2）解：根据折叠的性质，得，因为矩形纸片，，，所以，，，，所以，所以，因为，所以，解得，所以．（3）解：如图，过点F作，垂足为H，因为矩形纸片，，所以，所以四边形是矩形，所以，根据折叠的性质，得，设，则，因为，所以，所以，根据勾股定理，得，所以，解得，所以点F离点B的距离为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的判定，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．27．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）长方形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠使点C落在Cʹ处，BCʹ交AD于点E．(1)试找出一个与全等的三角形，并加以证明．(2)求DE的长．(3)若P为线段BD上的任意一点，，垂足为G，，垂足为H，试求的值，并说明理由．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据翻转的性质和长方形的性质，可推出，，进一步可证明；（2）根据，可得，设，在中，根据勾股定理即可解出DE的长；（3）连接PE，由即可求出．【详解】（1）解：，证明如下：在矩形ABCD中，由翻转变换的性质可知，，，∵，，∴，，在和中，∴．（2）解：∵，∴，设，则，在中，，即，解得，，即．（3）解：连接PE，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查翻转的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等．熟知相应的性质并灵活进行边和角的等量代换是解题的关键．28．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）综合与实践问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．独立思考：(1)在图1中，若，，则的长为______；实践探究：(2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由；问题解决：(3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)四边形是菱形，理由见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长，再根据勾股定理即可求解；（2）根据折叠的性质以及等腰三角形等边对等角可得，，，结合三角形的内角和即可得出结论；（3）先根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．【详解】（1）解：∵在中，点D是的中点，∴，根据勾股定理可得：，故答案为：．（2）．理由如下：方法一：∵，，∴．∴，．设，则，．∴．由折叠可得：，，∴，．∴．∴．∴．∴．方法二：∵，，∴．∴．设，则，．由折叠可得：，，∴，．∴．∴．∴．（3）四边形CDAE是菱形方法一：∵，，∴．∵，∴是等边三角形．∴，．∴．由折叠可得：，，∴，．∴．∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．方法二：∵，，∴．∴．∵，∴，是等边三角形．∴，．∴．由折叠可知：，，∴，．∴．∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，折叠的性质，等腰三角形的性质，以及平行线的判定和菱形的判定；解题的关键是熟练掌握各个知识点，明确折叠前后对应边对应角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行线的判定定理和菱形的判定定理．29．（2021秋·福建泉州·八年级校考期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片．(1)操作发现：如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，交于点M，若，，则____．(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．(3)实践探究：如图4，将图3中的EF隐去，点G为边上一点，且，将纸片沿折叠，使点B落在点处，延长与的延长线交于点H，则与有何数量关系？并说明理由．【答案】(1)5(2)以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）利用折叠的性质和角平分线定义以及勾股定理解答即可得出结论；（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；（3）先判断出，进而判断出，得出，最后判断出即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠知，，∴，∴是等腰三角形，∴，由折叠性质得出，，，，设为x，，由勾股定理可得：，即，解得：，∴．故答案为：5．（2）解：菱形，理由：如图3，连接，设与的交点为M，由折叠知，，，∴，，∵四边形是矩形，∴，∴，，∴（ASA），∴，∴，∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形；（3）解：，理由：∵四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠知，，，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活应用所学知识解决问题是解本题的关键．30．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，四边形中，AD//BC，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．且．(1)求证：；(2)求证：；(3)若点是的中点，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由折叠的性质得出∠BGE=∠A，AE=GE，可证明Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）证明四边形ABCD是矩形，得出AB=CD，则可得出结论；（3）由全等三角形的性质得出GB=2GF，由勾股定理可得出答案．（1）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∠A=∠D=90°，∴△ABE≌△GBE，∴∠BGE=∠A=90°，AE=GE，∵∠A=∠D=90°，∴∠EGF=∠D=90°，∵EA=ED，∴EG=ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）证明：由折叠性质可得，AB=BG，∵ADBC，∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∴BG=DC；（3）解：由折叠可知AB=GB，由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF，又∵∠C=90°，AB=CD，FD=CF，∴GB=2GF，BF+GF=3GF，∵，∴，∴GF=2，∴CD=2GF=4．【点睛】本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握翻折变换是轴对称变换，变换前后图形互相重合是解题的关键．31．（2022春·吉林·八年级期中）（1）【探究】如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作于点O，交BC于点F．求证：；（2）【应用】如图②，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，直线FG分别交AD、BC、DE于点F、G、O，将正方形ABCD沿FG折叠，使点D的对称点与点E重合，点C的对称点为．若，求线段FG的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用正方形的性质和可以证得（ASA），得到结论；（2）过点F作于点H．证明△ADE≌△HFG（ASA），得，AB＝3AE＝3,求得，．在中，由勾股定理得＝10，即可求得答案．【详解】（1）证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴，∵，∴∠AOD＝90°，∴，∴，∴（ASA），∴．（2）解：如图②，过点F作于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴，，ADBC，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴△ADE≌△HFG（ASA），∴，∵，∴，．在中，，由勾股定理，得＝10，∴．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．32．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G．（1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果）（2）连接BG，若，求BG的长．【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：．【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．【答案】（1），（2）6【初步探究】见解析【基本应用】【分析】特例感知：（1）由“SAS”可证△ADE≌△DCF，即可得出结论；（2）由“AAS”可证△ADE≌△BHE，可得AD=BH，由直角三角形的性质可求解；初步探究：由“ASA”可证△ADE≌△DCH，可得DE=CH=FG；基本应用：由全等三角形的性质可证PQ=AM，由勾股定理可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵点E，F是AB，AD的中点，∴AE=AB，DF=AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴DE⊥CF，故答案为：DE=CF，DE⊥CF；；（2）解：延长DE交CB的延长线于H，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，又∵，∴；【初步探究】证明：如图2，过点C作，交AD于H，交DE于N，∵，，∴四边形FHCG是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴；【基本应用】如图3，过点Q作于H，则四边形ABQH中，由翻折变换的性质得，∵，，∴∵四边形ABCD是正方形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵点M是CD的中点，∴，在中，由勾股定理得，，∴的长为.【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．33．（2022春·河北保定·八年级统考期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．(1)奋进小组用图1中的矩形纸片，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，则与重合部分的三角形的形状是______．(2)勤学小组将图