平面与平面垂直的性质高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.3平面与平面垂直第2课时

平面与平面垂直的性质引入

上一节课我们在定义了二面角的基础上，给出平面与平面垂直的定义，并学习了平面与平面垂直的判定定理.

你还能想平面与平面垂直的判定定理是怎样的吗？

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

即简述：(2)作用：判定平面与平面垂直直.

将平面与平面的垂直的问题转化为直线与平面垂直的问题.(1)内容：

接下来，我们自然就应该研究平面与平面垂直的性质，那么你认为到底要研究什么样的问题呢？

以两个平面垂直为条件，研究一个平面内的直线与另一个平面及这个平面内直线的位置关系，重点是平行和垂直情况.知识探究(一)

问题1：如图，设α⊥β，α

∩

β=

a，现在

β

内任意画一条直线

b

(但不同于a)，则直线

b

与

a

是什么位置关系？

b

与平面

α

是呢？为什么？直线

b

与

a

有两种位置关系：平行或相交①当

b//a

时,b//α.②当

b

与

a

相交时,b与

α

也相交.

思考(1)：由于交线

a

是联系平面α

和β

的纽带，因此我们要特别重视这条直线的作用.那么当当

b

⊥

a

时，b

与

α

又有怎样的位置关系？你能证明吗？

b

⊥

α.

在

α

内过点

A作直线

c⊥a(如图)，则

∠BAC为二面角

B-a-C的平面角.∵

α

⊥

β，

∴∠BAC=90°,即

b⊥

c又∵

b⊥

a，且a⊂α，

c⊂α，a∩

c=A，∴

b⊥

α.

证明：

思考(2)：我们把以上这个结论叫“平面与平面垂直的性质定理”，你能用三种语言来叙述吗？面面垂直的性质定理(1)内容：

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．即简述：(2)作用：思考(3)：这个定理的本质是什么？

两个平面垂直时，在一个平面一定存在直线垂直于另一个平面，即平面与平面垂直中蕴含着直线与平面垂直.利用面面垂直这个条件找出平面的垂线返回练习知识探究(二)

问题2：

刚才我们研究了两个平面垂直时，一个平面内地直线与另一个平面的关系，接下来我们自然就应该考虑：如果过一个平面内的点作另一个平面的垂线，那么这条垂线与这个平面的关系.

设平面α⊥平面

β，点P

在平面α

内，过点P

作平面β

的垂线

a，则直线

a

与平面α具有什么位置关系？∴直线a与直线b重合，即

a⊂α．设α∩β＝c．过点P在平面α内作直线

b⊥c．由平面与平面垂直的性质定理可知，

b⊥β．∵过一点有且仅有一条直线与平面β垂直，结论

当两个平面垂直时，若过一个平面内的点作另一个平面的垂线，则这条垂线必在这个平面内.例析

例1.已知平面

α⊥平面

β，不在平面

α内的直线

a⊥β，判断

a与α的位置关系．

∵α⊥β，且b⊂α

∴a//α，在α

内作垂直于α

与β

的交线的直线

b．又

a⊥

β，又

a⊄α

,b⊂

α

即直线a

与平面α平行.∴b⊥β.解：∴

a//b.

思考(1)：反过来，你认为成立吗?即若平面

α⊥平面

β，直线

a//α

，那么垂直于

β吗?不一定

过a作平面与α

相交于直线b,则

b//a,

但b不一定垂直α与β的交线，即a也不一定垂直于交线，从而不一定垂直平面β.练习1.判断下列结论的正误√√×√×√例2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．

PABC

思考(1)：要证明直线垂直平面，我们有哪一些思路?

一是利用线面垂直的判定定理：

即证明BC垂直于平面PAB中的两条相交直线.

二是利用线面垂直的性质定理

即一方面证明BC所在的平面垂直平面PAB.另一方面证明BC垂直于这两平面的交线思考(2)：对于本题，你认为哪一种思路简单一些?

思路一相对来说简单一些

因为在思路2中，虽然已知了“平面PAB⊥平面PBC”，但要证明即证明BC⊥PB的并不容易.事实上，若能轻易证明BC⊥PB，由“PA⊥平面ABC”可得出

BC⊥PA便可直接证明”BC⊥平面

PAB”.例2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．

PABC

思考(3)：结合“平面PAB

⊥平面PBC”，说说如何才能得出BC垂直于平面PAB内的另外一条直线?

可在平面PAB内作交线的垂线AE，则

AE⊥

平面PBC

得，从而BC⊥AE.证明：

在平面PAB内作AE⊥PB于E例析练习证明：∵AC⊥AB，CC1⊥AB，且

AC、CC1⊂平面ACC1A1，AC∩CC1=C∵AC=CC1∴AB⊥平面AA1C1C.∴平面ABC1⊥平面AA1C1C，且交线是AC1∴四边形AA1C1C为菱形，又∵AB⊂平面ABC1即A1C⊥AC1.又∵A1C⊂平面AA1C1C∴A1C⊥平面ABC1证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD=AB又∵BC⊂面PBC而AB⊥BC，BC⊂面ABCD∴BC⊥面PAB∴平面PBC⊥平面PAB2.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是等边三角形，且面PAB⊥面ABCD．

求证：平面PBC⊥平面PAB课堂小结1.平面与平面垂直的性质定理是怎样的？2.平面与平面垂直还有哪一些性质，我们可以从哪一些元素及其关系去发现值得研究的问题？

研究平面与平面垂直的性质时，我们可以两个平面垂直为前提条件，研究一个平面内的元素，如点、线与另一个平的相互关系，在此基础上再拓展到不在平面内的其它空间元素。

(1)当两个平面垂直时，若过一个平面内的点作另一个平面的垂线，则这条垂线必在这个平面内.3.空间中的线面垂直关系如何转化？线线垂直线面垂直面面垂直作业

1.如图

,

α⊥β

,

α∩

β

=l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE

⊂β，BC⊥DE.

求证：AC⊥DE.ABCDE

2.如图，平面AED

⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形.(1)求证：EA⊥CD