古典概型高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册+++

10.1.3古典概型

1.通过具体实例，经历从特殊到一般的过程，会根据古典概型的样本空间及样本点的特征，判断古典概率模型；

2.通过具体实例，理解古典概型概率计算的含义，能应用求古典概型问题的一般思路求事件发生的概率；

3.通过课本例题，理解有放回抽样，无放回抽样，等比例分层抽样下样本空间的差异，体会不同的简单随机抽样在概率求解中的作用．

学习目标提出问题

通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.

研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示.

能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢?回顾思考

在10.1.1节中，我们讨论过这些试验的样本空间.

彩票摇号：样本空间Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

抛掷一枚均匀硬币：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间为Ω={h,t}.

抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数：则样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}.

思考1：这些试验的样本点及样本空间有哪些共性？

请按下暂停键，思考后再听讲哦！归纳共性这些试验的样本点及样本空间具有如下共同特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

下面我们来研究古典概型.思考探究

思考2：考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？（1）一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！思考探究

（1）一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；

对于问题（1），班级中共有40名学生，因为是随机选取，所以选到每个学生的可能性相等.

样本空间中样本点有限个，样本点发生的可能性相等.这是一个古典概型.

抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.

因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量.事件A发生的可能性大小为.思考探究

（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”.

用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”则试验的样本空间Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0）

（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}共有8个样本点，每个样本点是等可能发生，是一个古典概型.

事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.则试验的样本空间Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0）

（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}

所以事件B发生的可能性大小为.抽象定义

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.

思考3：如何定义古典概型下随机事件A的概率？

请按下暂停键，思考后再听讲哦！例题巩固

例7

单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机选择一个答案，答对的概率是多少？

解:

试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，是古典概型.

设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n（M）=1.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率

请按下暂停键，思考后再听讲哦！深入思考

思考4：在标准化考试中也有多选题，多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？

由上题的分析，可知这是一个古典概型.

设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n（M）=1.

考查样本空间包含的样本点个数：Ω={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,

ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}

请按下暂停键，思考后再听讲哦！例题巩固

例8

抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.

（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

（2）求下列事件的概率：

A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！例题巩固

（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；Ⅱ号骰子点数nⅠ号骰子点数m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)由于骰子质地均匀，各个样本点出现的可能性相等.因此，这个试验是古典概型.列出表格直观呈现Ω={(m,n)m,n∈{1，2，3，4，5，6}}，共36个样本点.例题巩固

A=“两个点数之和是5”；Ⅱ号骰子点数nⅠ号骰子点数m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)所以n(A)=4，从而例题巩固B=“两个点数相等”

Ⅱ号骰子点数nⅠ号骰子点数m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)所以n(B)=6，从而例题巩固C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”Ⅱ号骰子点数n

Ⅰ号骰子点数m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)所以n(C)=15，从而概念辨析

思考5：在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

如果不给两个骰子标记号，则不能区分所掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，（1，2）和（2，1）的结果将无法区别.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！概念辨析

思考5：在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

Ⅱ号骰子点数nⅠ号骰子点数m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

比如，（1，2）和（2，1）的结果无法区别.Ω1=，共21个样本点.概念辨析

1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(4,4)(5,4)(6,4)5(5,5)(6,5)6(6,6)事件A=“两个点数之和是5”A={（4，1），（3，2）}所以n(A)=2，从而思考6：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？

请按下暂停键，思考后再听讲哦！概念辨析

由表格不难发现，当两个骰子不加以区分时，（1，1）和（1，2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型，不能用古典概型公式计算，因此不加以区分的结果是错误的.

1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)归纳思路

求解古典概型问题的一般思路：

（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；

（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；

（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.思考7：你能归纳求解古典概型问题的一般思路吗？

请按下暂停键，思考后再听讲哦！例题巩固

例9

袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、三个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：

（1）A=“第一次摸到红球”；

（2）B=“第二次摸到红球”；

（3）AB=“两次都摸到红球”.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！例题巩固

由上例的分析可知，为使样本点出现的可能性相等，应该对五个小球进行编号.解：

将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.

第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×

由于不放回摸球，

n（Ω）=20

A=“第一次摸到红球”n（A）=8

解：

将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.

第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×

由于不放回摸球，

n（Ω）=20

B=“第二次摸到红球”n（B）=8

例题巩固第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×

同时摸出两个球，则可以把(1，2),(2，1)看成同一个结果，则样本点总数为n（Ω）=10，每个样本点可能性相等.思考8：如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少？

分两次不放回摸球，由表格可知摸球结果可以“两两合并”.比如（1，2）,（2，1）AB发生的样本点为(1，2),n（AB）=1.例题巩固

例10

从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2

）中任意抽取两人.

（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间；

（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！例题巩固

例10

从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2

）中任意抽取两人.

（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间；有放回简单随机抽样第一次第二次B1B2G1G2B1(B1,B1)(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)(B2,B2)(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)(G1,G1)(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)(G2,G2)不放回简单随机抽样第一次第二次B1B2G1G2B1×(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)×(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)×(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)×

n（Ω1）=16

n（Ω2）=12例题巩固

例10

从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2

）中任意抽取两人.

（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间；

按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间Ω3={（B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}n(Ω3)=4.例题巩固

例10

从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2

）中任意抽取两人.

（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.有放回简单随机抽样第一次第二次B1B2G1G2B1(B1,B1)(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)(B2,B2)(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)(G1,G1)(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)(G2,G2)

n（Ω1）=16设事件A=“抽到两名男生”对于有放回简单随机抽样，样本点n（A）=4，且Ω1中的每个样本点可能性相等.例题巩固

例10

从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2

）中任意抽取两人.

（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.不放回简单随机抽样第一次第二次B1B2G1G2B1×(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)×(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)×(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)×

n（Ω2）=12设事件A=“抽到两名男生”对于不放回简单随机抽样，样本点n（A）=2，且Ω2中的每个样本点可能性相等.例题巩固

例10

从两名男生（记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2

）中任意抽取两人.

（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.