材料力学课件：弯曲内力

第四章弯曲应力2２、梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图1、对称弯曲的概念及梁的计算简图３、平面刚架和曲杆的内力图一、弯曲内力

3一、平面弯曲§4－１平面弯曲及梁的计算简图1、弯曲:杆受垂直于轴线的力或力偶矩矢的作用时,

轴

线

变

成了曲

线。3、工程实例2、梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。横向力∶垂直于轴线的力4弯曲变形动画演示56

对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。

非对称弯曲——梁无纵对称面或外力不作用在纵对称面内。

对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。4、平面弯曲：8梁体特点∶梁的横截面有纵向对称轴，梁有纵向对称面。MP2P1q纵向对称面4、平面弯曲：9MP2P1q纵向对称面变形特点∶弯曲变形后，弯曲的轴线仍和外力在纵向对称平面内。受力特点∶外力、外力矩、支反力均在纵向对称平面内。10简支梁二、梁的计算简图

——包括支撑方式和受力形式。

NyRyRx悬臂梁m—分布力偶MRyMRy11超静定梁外伸梁外伸梁NyRyRxNyRyRxN1yRyRxN2yMP12例1.:贮液罐如图，罐长L=5m，内径D=1m，壁厚t=10mm，钢的密度为：7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高0.8m，外伸端长1m，试求贮液罐的计算简图。解：1314§4－2梁的剪力和弯矩２、截面法求内力：3、内力的正负规定:１、弯曲内力:

剪力（FS

）弯矩（M）

、求支反力

、求内力ＰACBabFS153、内力的正负规定:

、剪力FS:

顺时针转为正剪力；反之为负

、弯矩M：

上凹下凸形的为正FS>0FS<0M

≤0M

≥0或者：左上右下为正、

右上左下为负下凹上凸形的为负FS16例2。求下图示梁1--1、2--2截面处的内力。解：截面法求内力∶

1--1截面处剪力、弯矩如图（b）Q1、M1所设方向为正值方向，所得负值表示实际方向与所设方向相反。图（a）q

Lq1122baqLx1M1FS1

A图（b)17FS2、M2的实际方向由X2决定。2--2截面处剪力、弯矩如图（c）图（a）q

Lq1122baq

LqbBx2M2FS2

图（c)18剪力弯矩直接求法：1，自左向右进行；2，向上的Pi

产生的剪力为正；向下的Pj

产生的剪力为负；3，向上的Pi

产生的弯矩为正；向下的Pj

产生的弯矩为负；4，顺时针的外力矩的的弯矩为正；逆时针的弯矩为负。19

RAqaqaaBDCAqa2aRBqaqaaBDCAqa2a例3。求下图示梁AB、BC、CD段的的内力。FS1、M1FS2、M2FS3、M320例4：求下图示梁任意截面处的内力。解：求支反力

求x截面处的内力qoABLqoABRARBx21qoABRARBx22§4－3剪力方程、弯矩方程、剪力图和弯矩图1、内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。2、剪力图和弯矩图：FS=FS(x)剪力方程FS=FS(x)的图线表示剪力图23例5：求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解：求支反力

写内力方程

依方程画内力图PLPYOMOFS(x)M(x)xPFSxMxPL24解：写内力方程

依方程画内力图LFS(x)M(x)xFSx-q

L-qL2/2Mxq25解：求支反力

写内力方程

依方程画内力图x=L/43(qL2/8)/4LqqRARBFS(x)M(x)xFSx-q

L/2q

L/2qL2/8Mx26ACqaaaBDqa2qRBBDRDAC解：求支反力

分段写内力方程FS(x)M(x)xFS(x)M(x)xqa2qRBBDRDAC

依方程画内力图FSx-qa2/2-q

aqa2/4-3qa2/4Mx解：求支反力

内力方程

依方程画内力图q(x)q

oLABFSxqL2/6-qL2/3Mx29q(x)§4－4剪力、弯矩与载荷间的关系一、剪力、弯矩与分布力的关系对dx段进行平衡分析，有：xd

x放大q(x)M(x)FS(x)dxAFS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)30q(x)M(x)FS(x)d

xAFS(x)+d

FS(x)M(x)+d

M(x)二、剪力、弯矩与外力间的关系1，自左向右进行；2，无分布力(q=0)∶Q图水平线，M图斜直线；Q>0，M升；Q<0，M降。3，分布力常数q=C∶Q图斜直线，M图抛物线；

q↑>0∶Q向上斜，M帽形线；q↓<0∶Q向下斜，M碗形线。4，集中力P↓<0∶Q图突变，突变值=P，M图角点连续；

Q右=Q左-P，M右=M左。Q右

M右Q左

M左PQ右

M右Q左

M左M5，集中力矩M(逆时针)∶Q图连续，M图突变，突变值=M；

Q右=Q左，M右=M左-M以上只是线形，不是正负数值！二、剪力、弯矩与外力间的关系水平直线增函数(直线)增函数(直线)自左向右,突变与P同降函数(直线)盆状曲线帽状曲线降函数(直线)无变化FS

<0FS>0FS1FS2FS1-FS2=P自左向右,突变与M反自左向右,折向与P反向外力FSM无外力段均布载荷段集中力点集中力偶q=0q>0ccmccMxcMxMxMxMxMxc图特征图特征FSxFSxFSxFSxFSxFSxq<0PM1M2M1-M2=m33简易作图法:2，利用内力和外力的微分关系判定线形；1，计算特殊点的内力值确定图的起点或中间点或终点；3，计算特殊点的内力值判定图的正确性，是否封闭；341，梁的端点∶自由端、固定端、外伸端、中间铰，等等；特殊点:2，载荷的端点∶分布力的起终端、集中力(力矩)点，等等；3，梁的支座∶固定端、固定铰，滚动铰、中间铰，等等；4，内力的特殊点∶FS=0的M有极值点，等等；计算法∶例6：用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解:1，特殊点内力值∶自由端∶固定端∶A点∶2，线形∶q=0段，FS

水平线，M斜直线。q↑>0段，FS

向上斜，M为帽子形。3，作图∶先作三点，再连线。qaAq

aa-q

aFSxMx-qa2-3qa2/236也可∶先作自由点，画水平斜直线到A；再画斜直抛物线到固定点。4，封闭检查∶解：求支反力ACq

a2qaaaBDq

aRARDACq

a2qaaaBDq

aFSxMx-q

a/2q

a/2-q

a/2-qa2/2qa2/2-qa2/2-3qa2/838§4－5按叠加原理作剪力图和弯矩图※叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力

等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。39※

对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下∶FS

图反对称,M图对称;对称结构在反对称载荷作用下∶FS

图对称,M图反对称.P1P2P1P2M1M2M11M21M12M22+==+M1=M11+M12M2=M21+M22=+例7按叠加原理作弯矩图aaPqaaPaaqqa2/2Pa/2Pa/2qa2/2+M1x=+M2xMx0.5PFS2

xFS1xFSx-0.5P-P-0.5PLLPPL=+LLPLLPL0PLLPPL=+LLPLLPL0P-Pa/2Pa/2Pa/2PaM1x=+M2xMx43P=20kN1m1m1m1mABCDEq=30kN/m1mq1m1m1mABCDE=+P=20kNq=30kN/m1mq1m1m1mABCDEFS2

xFS1xFSx-3030-1010-30-10103044P=20kN1m1m1m1mABCDEq=30kN/m1mq1m1m1mABCDE=+P=20kNq=30kN/m1mq1m1m1mABCDEM1x=+M2xMx10-15-15-5解：求支反力ACq

L2qLLLBDq

LMxFSxqa/

2-qa/

2-3qa/

2qL2/23qL2/23qL2/213qL2/8①①②②②②②②①支反力求错，图与之对应，扣5分46②②②②②①①①47-0.5P-1.5P1.5P0.5P-0.5PaaqP=q

aaa/2ABCDFSx48aaqP=q

aaa/2ABCD-Pa0.25PaxM49改内力图之错Aaa2aqq

a2BFSxqa2/43qa2/4Mx约束力为思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。qa2/2MxAaaaBqqaqqaqaqa2/2FSx51qa2/2Mxqaqaqa2FSx52q=2kN/m已知FS图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。5kN1kNFSx2-31（kN）1m1m2mMx1k

N

m-1.25k

N

m-1k

N

m梁上有分布力偶，会怎样？53FSx-10kN10kN20kNm10kN10kNm已知M图，求外载及FS

图54P图（b）P图（a）

例4－5-2独轮车过跳板，若跳板支座B不动，试从弯矩方面考虑支座A在什么位置（a=?）时，跳板受力最合理？设L、P为已知。

解：1、绝对值最大的弯矩越小越合理；2、各峰值弯矩的绝对值相等时合理。即A=L/5时，跳板受力最合理。PLaA独轮车BM1M2-Pa55I.平面刚架——由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。内力：aBAPaCaDAPx1剪力、弯矩、轴力。(M:画于侧受拉)§4-3平面刚架和曲杆的内力图PaPaBACM图受力图中M方向可任意画56aBAPaCaDAPx1(M:画于侧受拉)BACPaPaM图57FS58

作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。59F1aF1刚性结点内力规律根据平衡条件B刚性结点B（B两侧取无限小段）无外力时有集