《微积分（第4版）》 课件 2.2 函数的极限

第二章极限与连续第二节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、单侧极限四、函数极限的性质在此可理解为一、自变量趋于无穷大时函数的极限对比数列极限的定义，给出下面函数极限的定义.

自变量趋于无穷大时的几种形式第二节函数的极限定义设函数f(x)在上有定义,A为一个常数.若当

无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.记为xyO几何意义类似的可以定义极限定理设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限减小时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.由图形可知下列基本初等函数的极限

定义

若当（或）时，（C

为常数），即，则称曲线有水平渐近线.例由知为曲线的水平渐近线.二、自变量趋向有限值时函数的极限

自变量趋于有限值时的几种形式自变量趋向有限值分为以下几种形式考察函数当自变量

时的变化趋势.函数变化数据表如下从上述图表中可以看出,当自变量时,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函数当自变量

的变化趋势.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5从上述图表中可以看出,当自变量时,上述两例说明：处没有定义.处有定义.而当时，都有相同的变化趋势.通常称当存在极限值2.

定义对于函数在附近有定义(在处可以有定义也可以无定义）若在的过程中,对应的函数值f(x)无限趋近于确定的数值A,则称A

是函数当时的极限.说明：由定义知极限与函数在点的状况（是否有定义;或有定义时,是否等于A）是无关的.xy由基本初等函数图像可知下列极限成立.在的定义中,若只考虑x从的某一侧(从小于的一侧或从大于的一侧)趋近于时f(x)的变化趋势,则有左极限和右极限的概念.类似可定义左极限定义设函数f(x)在内有定义，A为常数.若当x从的右侧(大于的一侧)趋近于时,f(x)无限趋近常数A,则称f(x)在处的右极限为A.记为三、单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限.根据时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左极限右极限对于分段函数在分段点处是否存在极限通常用此定理进行讨论.函数f(x)在点x=0处的左、右极限都存,在但不相等.所以极限不存在.例解四、函数极限的性质定理(唯一性)定理(局部有界性)定理（保号性）定理（保序性）第二章极限与连续第二节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、单侧极限四、函数极限的性质在此可理解为一、自变量趋于无穷大时函数的极限对比数列极限的定义，给出下面函数极限的定义.

自变量趋于无穷大时的几种形式第二节函数的极限定义设函数f(x)在上有定义,A为一个常数.若当

无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.记为定义

极限定义的几何意义：对任意给定的正数，在直线的上、下方各作一直线，则存在使得在区间与内函数的图形全部落在这两条直线之间.xyO20例

证明证明所以对于任意给定，由于即取则当有类似的可以定义极限定理设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限减小时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.由图形可知下列基本初等函数的极限

定义

若当（或）时，（C

为常数），即，则称曲线有水平渐近线.例由知为曲线的水平渐近线.二、自变量趋向有限值时函数的极限

自变量趋于有限值时的几种形式自变量趋向有限值分为以下几种形式考察函数当自变量

时的变化趋势.函数变化数据表如下从上述图表中可以看出,当自变量时,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函数当自变量

的变化趋势.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5从上述图表中可以看出,当自变量时,上述两例说明：处没有定义.处有定义.而当时，都有相同的变化趋势.通常称当存在极限值2.

定义对于函数在附近有定义(在处可以有定义也可以无定义）若在的过程中,对应的函数值f(x)无限趋近于确定的数值A,则称A

是函数当时的极限.记为说明：由定义知极限与函数在点的状况（是否有定义;或有定义时,是否等于A）是无关的.xy27函数极限定义的精确化定义函数极限定义可以简述为29

极限定义的几何意义：对任意给定的正数，在直线的上、下方各作一直线，则存在使得在区间与内函数的图形全部落在这两条直线之间.xyxy30例

证明证明所以对于任意给定，当时，为使即取则当时，有由基本初等函数图像可知下列极限成立.在的定义中,若只考虑x从的某一侧(从小于的一侧或从大于的一侧)趋近于时f(x)的变化趋势,则有左极限和右极限的概念.类似可定义左极限定义设函数f(x)在内有定义，A为常数.若当x从的右侧(大于的一侧)趋近于时,f(x)无限趋近常数A,则称f(x)在处的右极限为A.记为三、单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限.根据时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.定