2025高考物理复习万有引力与宇宙航行教案练习题

三年考情开普勒行星运动定律2022·湖南卷·T8、2022·浙江1月选考·T8、2021·全国甲卷·T18、2021·天津卷·T5、2021·北京卷·T6、2021·福建卷·T8万有引力定律及其应用2023·浙江6月选考·T9、2023·山东卷·T3、2023·辽宁卷·T7、2022·全国乙卷·T14、2022·辽宁卷·T9、2022·河北卷·T2、2022·广东卷·T2、2021·全国乙卷·T18、2021·山东卷·T5人造卫星宇宙速度2023·浙江1月选考·T9、2023·新课标卷·T17、2023·湖南卷·T4、2023·湖北卷·T2、2023·江苏卷·T4、2022·湖北卷·T2、2022·山东卷·T6、2021·湖南卷·T7命题规律目标定位本章主要考查开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解及应用，人造卫星的发射、运行、回收及宇宙速度的理解及应用，命题常与现代航天技术的实际情境相联系，常以选择题形式呈现。第1讲开普勒三定律与万有引力定律[课标要求]1．通过史实了解开普勒行星运动定律和万有引力定律的发现过程。2．知道万有引力定律，认识发现万有引力定律的重要意义。3．认识科学定律对探索未知世界的作用。4．掌握计算天体质量和密度的方法。考点一开普勒定律的理解开普勒定律内容图示或公式开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量自主训练1开普勒三定律的理解(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是()A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上B．火星绕太阳运行过程中，速率不变C．土星比地球的公转周期大D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等答案：AC解析：根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，土星比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。故选AC。自主训练2开普勒第二定律的应用如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是()学生用书第90页A．夏至时地球的运行速度最大B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的eq\f(1,4)C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则eq\f(a3,T2)＝k，地球和火星对应的k值是不同的D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上答案：D解析：根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心的连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝eq\f(1,2)r·vΔt，可知地球近日点离太阳最近，地球在近日点的运行速度最大，地球在远日点离太阳最远，地球在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，故A错误；根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的eq\f(1,2)，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的eq\f(1,4)，故B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有eq\f(a3,T2)＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，故C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。故选D。自主训练3开普勒第三定律的应用(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案：C解析：在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))R火，得Teq\o\al(2,1)＝eq\f(4π2R火,g火)，根据开普勒第三定律，有eq\f(Req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l远,2)))\s\up8(3),Teq\o\al(2,2))，代入数据解得l远≈6×107m，故C正确。对开普勒定律的三点理解1．开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动，同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。2．由开普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，即eq\f(1,2)v1Δtr1＝eq\f(1,2)v2Δtr2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，在近日点速度最大，在远日点速度最小。3．开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能适用于环绕同一中心天体的运动天体。考点二万有引力定律的理解1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。2．表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。【高考情境链接】(2023·江苏高考·改编)如图所示，“嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)。判断下列说法的正误：(1)“嫦娥五号”探测器受到月球的万有引力大小为mg。(×)(2)“嫦娥五号”探测器受到月球的万有引力方向一定指向月球的中心。(√)(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。(×)(4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)学生用书第91页1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力Fn的矢量和。2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空某高度h处的重力加速度g′由于mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)。3．万有引力定律的“两个推论”(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对它的万有引力，即F＝Geq\f(Mm,r2)。考向1万有引力定律的应用(2023·山东高考)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))答案：C解析：设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球绕地球公转有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，联立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故选C。考向2重力与万有引力的关系(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是()A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)答案：AC解析：在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜Geq\f(Mm,R2)，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则弹簧测力计读数F3＜Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故D错误。考向3不同天体表面万有引力的比较火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5答案：B解析：万有引力表达式为F＝Geq\f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火req\o\al(2,地),M地req\o\al(2,火))＝0.4，故B正确。学生用书第92页考向4地球表面某高度处与地表下某深度处重力加速度的比较如图是某矿区打出的一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为()A．eq\f(R－d,R) B．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)C．eq\f(R2－d2,R) D．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R2)答案：B解析：根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为g＝eq\f(GM,R2)，设离地面高度为d处的重力加速度为g′，由万有引力定律有g′＝eq\f(GM,（R＋d）2)，两式联立得g′＝eq\f(R2g,（R＋d）2)。在地面上质量为m的物体，根据万有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，从而得g＝eq\f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝Gρ·eq\f(4,3)πR；根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则水井底部的物体只受到其以下球体对它的引力，同理有g″＝eq\f(GM′,（R－d）2)，式中M′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，联立得g″＝eq\f(R－d,R)g。所以eq\f(g″,g′)＝eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)，故B正确。考点三天体质量和密度的计算1．利用“天体表面的重力加速度g和天体半径R”——“自力更生法”(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．利用绕行天体的“周期和轨道半径”——“环绕法”(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出近地卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。考向1“自力更生法”计算天体质量和密度某人在地球表面以某一竖直速度跳起，其重心可上升的高度为0.5m，假设该人以同样的速度在水星表面竖直跳起，其重心可上升1.3m，而在火星表面同样可上升1.3m。已知地球的半径为R，水星的半径约为0.38R，火星的半径约为0.53R，可估算出()A．火星的质量为水星质量的eq\f(53,38)倍B．火星与水星的密度相等C．地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的eq\r(,2.6)倍D．火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的eq\r(,\f(53,38))倍答案：D解析：根据g＝eq\f(v2,2h)，因人以同样的速度在火星和水星上跳起的高度相等，可知g火＝g水，根据Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，eq\f(M火,M水)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R火,R水)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53,38)))2，选项A错误；根据ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，可得eq\f(ρ火,ρ水)＝eq\f(R水,R火)＝eq\f(38,53)，选项B错误；根据g＝eq\f(v2,2h)，可得eq\f(g地,g火)＝eq\f(h火,h地)＝eq\f(1.3,0.5)＝2.6，选项C错误；根据meq\f(v2,R)＝mg，可得v＝eq\r(,gR)，可得eq\f(v火,v水)＝eq\r(,\f(R火,R水))＝eq\r(,\f(53,38))，选项D正确。考向2“环绕法”计算天体的质量和密度(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2C．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2答案：D解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，其中eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，联立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2，故选D。学生用书第93页对点练．(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出()A．地球的质量m地＝eq\f(gR2,G)B．太阳的质量m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))C．月球的质量m月＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,1),GTeq\o\al(2,1))D．太阳的平均密度ρ＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,2))答案：AB解析：对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝Geq\f(m地m0,R2)，所以地球质量m地＝eq\f(gR2,G)，故A正确；地球绕太阳运动，有Geq\f(m太m地,Leq\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))L2，则m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))，故B正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D错误。运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。应用1．有一质量为M、半径为R的密度均匀的球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点。先从M中挖去一半径为eq\f(R,2)的球体，如图所示，则剩余部分对质点的万有引力大小为()A．Geq\f(Mm,9R2) B．Geq\f(Mm,4R2)C．Geq\f(41Mm,450R2) D．Geq\f(7Mm,36R2)答案：C解析：半径为R的密度均匀的完整球体对距离球心O为3R的质点产生的万有引力为F＝Geq\f(Mm,r2)＝Geq\f(Mm,（3R）2)，挖去部分的质量为M′＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(1,8)M，挖去部分对质点产生的万有引力为F1＝Geq\f(M′m,r′2)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2R＋\f(1,2)R))\s\up8(2))＝eq\f(1,50)Geq\f(Mm,R2)，则剩余部分对质点的万有引力大小为F′＝F－F1＝Geq\f(41Mm,450R2)，故选C。应用2．如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球的球心、大球的球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)答案：D解析：由题意知，所挖出小球的半径为eq\f(R,2)，质量为eq\f(M,8)，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))\s\up8(2))＝eq\f(GM2,18R2)，将所挖出的其中一个小球填在原位置，填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),（2R）2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，则大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，故D正确。课时测评22开普勒三定律与万有引力定律eq\f(对应学生,用书P392)(时间：45分钟满分：60分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)(选择题每题5分，共60分)1．某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点，a、c在长轴上，b、d在短轴上。若该行星运动周期为T，则该行星()A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间C．a到b的时间tab＞eq\f(T,4)D．c到d的时间tcd＞eq\f(T,4)答案：D解析：由开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为eq\f(T,2)，可得tab＝tda＜eq\f(T,4)，tbc＝tcd＞eq\f(T,4)，C错误，D正确。2．如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点，M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是()A．B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球的引力将先增大后减小B．地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积C．卫星B的周期是卫星A的周期的8倍D．1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合答案：D解析：根据万有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，可知B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球的引力逐渐减小，A错误；根据开普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f(（2R）3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积小于椭圆面积，B、C错误；1轨道圆心在地心，2轨道的一个焦点也在地心，所以二者重合，D正确。3．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A．质量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的万有引力大小答案：C解析：根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相等；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相等。故选C。4．(2022·山东高考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))答案：C解析：地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得GM＝gR2，根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝eq\f(T,n)，根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T′2)(R＋h)，联立解得h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R，故选C。5．(多选)(2021·福建高考)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU(太阳到地球的距离为1AU)，S2的运行周期约为16年。假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出()A．S2与银河系中心致密天体的质量之比B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比C．S2在P点与Q点的速度大小之比D．S2在P点与Q点的加速度大小之比答案：BCD解析：设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率0.87＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(c,a)，且由题知Q与O的距离约为120AU，即a－c＝120AU，由此可得出a与c。由于S2是围绕致密天体运动，根据万有引力定律，Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，即Geq\f(M,r2)＝ω2r，与m无关，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；根据开普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝k，式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比，所以，对S2围绕致密天体运动有eq\f(a3,Teq\o\al(2,S2))＝k致∝M致，对地球围绕太阳运动有eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))＝k太∝M太，两式相比，可得eq\f(M致,M太)＝eq\f(a3Teq\o\al(2,地),req\o\al(3,地)Teq\o\al(2,S2))，因S2的半长轴a、周期TS2、日地之间的距离r地、地球围绕太阳运动的周期T地都已知，故由上式，可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；根据开普勒第二定律有eq\f(1,2)lPRP＝eq\f(1,2)lQRQ，则有eq\f(1,2)vPtRP＝eq\f(1,2)vQtRQ，eq\f(1,2)vPeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\f(1,2)vQeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))，解得eq\f(vP,vQ)＝eq\f(a－c,a＋c)，因a、c已求出，故可以求出S2在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；S2不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，因P点到O点的距离为a＋c，Q点到O点的距离为a－c，解得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))2)，因a、c已求出，故可以求出S2在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。故选BCD。6．(2023·安徽蚌埠一模)如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则()A．eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1)) B．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(veq\o\al(2,1)req\o\al(2,2),veq\o\al(2,2)req\o\al(2,1)) D．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)答案：A解析：由于哈雷彗星做的不是圆周运动，在近日点做离心运动，在远日点做近心运动，因此不能通过万有引力充当向心力计算其在近日点和远日点的线速度之比，需通过开普勒第二定律求解，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，即有eq\f(1,2)v1Δt·r1＝eq\f(1,2)v2Δt·r2，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，故eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1))，故A正确，B错误；对近日点，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))＝ma1，对远日点，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,2))＝ma2，联立解得eq\f(a1,a2)＝eq\f(req\o\al(2,2),req\o\al(2,1))，故C、D错误。故选A。7．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))eq\s\up8(2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))eq\s\up8(2)答案：A解析：如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，故g＝eq\f(4,3)πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝eq\f(4,3)πρG(R－d)，联立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，故A正确。8．中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是()答案：D解析：设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(M′,\f(4,3)π（R－h）3)，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有Geq\f(M′m,（R－h）2)＝mg，联立以上两式并整理可得g＝eq\f(GM,R3)(R－h)＝－eq\f(GM,R3)h＋eq\f(GM,R2)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误。9．(2024·四川成都模拟)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的质量为eq\f(gR2,G)C．地球自转的角速度为eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度为eq\f(3g,4πGR)答案：C解析：设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有Geq\f(Mm,R2)＝mg0，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B错误；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D错误。10．如图为“天问一号”探测器进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)示意图。若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离为L2，已知探测器在轨道上运行的周期为T，L1＋L2≈18R，引力常量为G。则火星的密度约为()A．eq\f(3000π,GT2)B．eq\f(2187π,GT2)C．eq\f(300π,GT2)D．eq\f(243π,GT2)答案：A解析：设火星近地卫星的周期为T0，天问一号的半长轴为r＝eq\f(L1＋L2＋2R,2)＝10R，由开普勒第三定律可得eq\f(r3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,0))，解得T0＝eq\r(\f(T2,103))，对近地卫星，万有引力提供向心力，则有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up8(2)R，解得M＝eq\f(4π2R3,GTeq\o\al(2,0))，火星的体积V＝eq\f(4,3)πR3，则火星的密度约为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3000π,GT2)，故A正确，B、C、D错误。11．(多选)(2024·河南南阳模拟)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回到原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则()A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80答案：AD解析：设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝eq\f(2v0,g)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，故A正确，B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，则eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′Req\o\al(2,星),gReq\o\al(2,地))＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(2)＝eq\f(1,80)，故C错误，D正确。12．科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M答案：B解析：可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由题图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1000R，地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up8(2)R，解得太阳的质量为M＝eq\f(4πR3,GTeq\o\al(2,0))，同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知Geq\f(Mxm′,r2)＝m′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up8(2)r，解得黑洞的质量为Mx＝eq\f(4πr3,GT2)，综上可得Mx≈4×106M，故B正确。第2讲宇宙航行相对论[课标要求]1．会计算人造地球卫星的环绕速度。2．知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。3．知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。4．初步了解相对论时空观。考点一卫星(天体)运行参量的分析1．人造地球卫星(1)特点：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供。(2)轨道：卫星的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和任意轨道。①赤道轨道卫星：轨道平面与赤道平面共面；②极地轨道卫星：轨道平面与地轴共面，经过南北两极正上方，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。③任意轨道卫星：轨道平面与地轴成任意夹角。2．地球同步卫星(1)定义：地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处，周期与地球自转周期相同。学生用书第94页(2)其中一种的轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同。因其相对地面静止，也称静止卫星。3．近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r≈R(地球半径)，运行速度大小等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T≈85min(人造地球卫星的最小周期)。【高考情境链接】(2022·天津高考·改编)2022年3月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400公里左右的轨道上运行，其运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000公里左右的地球静止轨道卫星(同步卫星)。判断下列说法的正误：(1)中国空间站“天宫二号”的运行速度小于7.9km/s。(√)(2)我国的中继卫星可以定点在北京正上空。(×)(3)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合。(×)(4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。(√)1．卫星各物理量随轨道半径变化的规律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))即r越大，v、ω、a越小，T越大。2．地球静止卫星的六个“一定”注意：地球同步卫星不一定在赤道正上方。考向1卫星运行参量的分析(2022·广东高考)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A．火星公转的线速度比地球的大B．火星公转的角速度比地球的大C．火星公转的半径比地球的小D．火星公转的加速度比地球的小答案：D解析：由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，结合C选项分析，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝eq\f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。故选D。对点练．(多选)(2022·辽宁高考)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则()A．水星的公转周期比金星的大B．水星的公转向心加速度比金星的大学生用书第95页C．水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm∶sinβmD．水星与金星的公转线速度之比为eq\r(sinαm)∶eq\r(sinβm)答案：BC解析：根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，a＝eq\f(GM,R2)，因为水星的公转半径比金星的小，故可知水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为R水，地球的公转半径为R地，当α角最大时有sinαm＝eq\f(R水,R地)，同理可知有sinβm＝eq\f(R金,R地)，所以水星与金星的公转半径之比为R水∶R金＝sinαm∶sinβm，故C正确；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，结合前面的分析可得v水∶v金＝eq\r(sinβm)∶eq\r(sinαm)，故D错误。故选BC。考向2同步卫星的理解(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是()A．它的周期与地球自转周期相同B．它的周期、高度、速度大小都是一定的C．地球同步卫星必须在赤道正上方D．我国发射的同步通讯卫星必须定点在赤道上空答案：ABD解析：地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，故A正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，但是地球同步卫星的轨道不一定要在赤道正上方，故B正确，C错误；我国发射的同步通讯卫星要求对地面提供稳定的信号，必须相对地面静止，即同步通讯卫星应该是静止卫星，因此同步卫星必须定点在赤道上空，故D正确。对点练．(2023·黑龙江大庆模拟)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，至此北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成。北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)以及中圆地球轨道(MEO)，如图所示。以下关于北斗导航卫星的说法中，正确的是()A．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相等B．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度C．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方D．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度答案：A解析：卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为r，卫星运行的速度大小为v，引力常量为G。根据万有引力定律及物体做圆周运动的规律有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道半径相等，故两卫星的运行速度大小相等，A正确；根据万有引力定律及牛顿第二定律，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝Geq\f(M,r2)，中圆轨道卫星的运行轨道半径小于地球静止轨道卫星的运行轨道半径，故中圆轨道卫星的加速度大于地球静止轨道卫星的加速度，B错误；倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C错误；近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，题中三种卫星运行轨道半径均大于近地卫星，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，三种卫星的运行速度均小于第一宇宙速度，D错误。考点二宇宙速度第一宇宙速度v1＝7.9km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度v2＝11.2km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度【基础知识判断】1．第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。(×)2．由地球的第一宇宙速度公式v1＝eq\r(gR)可知其大小与地球质量无关。(×)3．若物体的发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，则物体绕地球以椭圆运行。(√)4．若卫星发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则卫星可绕太阳运行。(√)1．第一宇宙速度的理解(1)第一宇宙速度的推导表达式一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.40×106))m/s≈7.9km/s。表达式二：由mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.40×106)m/s≈7.9km/s。学生用书第96页说明：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))≈5078s≈85min。(2)第一宇宙速度v1与第二宇宙速度v2的关系：v2＝eq\r(2)v1。2．卫星的发射速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。(2)7.9km/s＜v发＜11.2km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2km/s≤v发＜16.7km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动。(4)v发≥16.7km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。(2020·北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案：A解析：火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得，v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得，g火＝Geq\f(M火,Req\o\al(2,火))＝Geq\f(0.1M地,（0.5R地）2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。对点练1．经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是()A．eq\f(3c2,4πG)B．eq\f(3c2,8πG)C．eq\f(4πG,3c2)D．eq\f(8πG,3c2)答案：B解析：设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对于太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得太阳的第一宇宙速度为v＝eq\r(\f(GM,R))；由题意可知，第二宇宙速度大于等于光速，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，得c≤eq\r(2)v；又根据太阳演变成一个黑洞后的质量M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，联立解得ρR2≥eq\f(3c2,8πG)，故B正确，A、C、D错误。对点练2.(2023·山东德州模拟)2023年2月10日，中国火星探测器“天问一号”已经“上岗”满两周年，取得了大量的探测成果。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是()A．若在火星上发射一颗绕火星表面运动的卫星，其速度至少需要7.9km/sB．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶eq\r(5)D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案：C解析：卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq\r(5)，所以在火星上发射一颗绕火星表面运动的卫星，其速度至少需要v火＝eq\f(7.9,\r(5))km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于或等于11.2km/s，故B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝mg可得，g地＝Geq\f(M地,Req\o\al(2,地))，g火＝Geq\f(M火,Req\o\al(2,火))，联立可得g地＞g火，故D错误。考点三相对论时空观1．狭义相对论的两个基本假设(1)狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的，光速和光源、观测者间的相对运动没有关系。2．时间延缓效应如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，则有Δt＝eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up8(2)))。3．长度收缩效应如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0_eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up8(2))。学生用书第97页自主训练1时间延缓效应(多选)接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有()A．飞船上的人观测到飞船上的钟较快B．飞船上的人观测到飞船上的钟较慢C．地球上的人观测到地球上的钟较快D．地球上的人观测到地球上的钟较慢答案：AC解析：相对论告诉我们，运动的钟会变慢，由于飞船上的人相对飞船上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观测到飞船上的钟相对于地球上的钟快，故A正确，B错误；同样，地球上的人观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞船上的钟快，故C正确，D错误。自主训练2长度收缩效应一艘太空飞船静止时的长度为30m，它以0.6c(c为光速)的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是()A．飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30mB．地球上的观测者测得该飞船的长度小于30mC．飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于cD．地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c答案：B解析：飞船上的观测者测得飞船的长度不变，仍为30m，由l＝l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))\s\up8(2))＜l0可知，地球上的观测者测得该飞船的长度小于30m，故A错误，B正确；由光速不变原理可知C、D错误。1．两种时空观(1)经典时空观空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。(2)相对论时空观物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。2．狭义相对论的有用结论(1)运动的时钟变慢了。(2)运动的尺子长度缩短了。以上结论均为相对观察者运动时产生的现象。如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。比较项目近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2＞r1＝r3角速度ω1＞ω2＝ω3线速度v1＞v2＞v3(v1等于第一宇宙速度)向心加速度a1＞a2＞a3应用1．(多选)地球静止卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，地球的第一宇宙速度为v2，地球半径为R。则下列关系式正确的是()A．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,R2) B．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)C．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r)) D．eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R)答案：BC解析：因为地球静止卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，根据公式a＝ω2r，则有eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，故A错误，B正确；对于地球静止卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力得到meq\f(v2,r)＝Geq\f(Mm,r2)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))，故C正确，D错误。应用2．有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星。设地球自转周期为24h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是()A．a的向心加速度等于重力加速度gB．c在4h内转过的圆心角为eq\f(π,6)C．b在相同的时间内转过的弧长最长D．d的运动周期可能是23h答案：C解析：同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大；由Geq\f(Mm,r2)＝ma知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由于c为同步卫星，所以c的周期为24h，因此4h内转过的圆心角为θ＝eq\f(4,24)·2π＝eq\f(π,3)，故B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运行的线速度最大，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，故C正确；d的运行周期比c要长，所以其周期应大于24h，故D错误。课时测评23宇宙航行相对论eq\f(对应学生,用书P394)(时间：45分钟满分：60分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)(选择题每题5分，共60分)1．(2023·北京高考)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是()A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/sC．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离答案：A解析：因为“夸父一号”轨道要始终保持被太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。故选A。2．(2024·浙江温州模拟)我国成功发射“神舟七号”载人飞船，随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了“伴飞”小卫星。载人飞船在固定的轨道上做匀速圆周运动，“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，“伴飞”小卫星有多种伴飞模式，图1和图2是其中的两种伴飞模式，则下列说法正确的是()A．载人飞船的速度大小介于7.9km/s到11.2km/s之间B．图1的伴飞模式下，“伴飞”小卫星的线速度大于载人飞船的线速度C．图2模式下“伴飞”小卫星只需向后喷出气体，加速后，就可以和载人飞船对接D．图1和图2这两种伴飞模式下“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的答案：D解析：第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，则载人飞船的速度小于7.9km/s，故A错误；“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，可知题图1和题图2这两种伴飞模式下“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的，都与载人飞船的角速度大小相等，根据v＝ωr，题图1的伴飞模式下，由于“伴飞”小卫星的轨道半径小于载人飞船的轨道半径，则“伴飞”小卫星的线速度小于载人飞船的线速度，故B错误，D正确；题图2模式下“伴飞”小卫星向后喷出气体，加速后将做离心运动，变轨到更高的轨道，不可能与载人飞船对接，故C错误。故选D。3．“嫦娥六号”是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥六号的质量为m，离月球中心的距离为r。根据以上信息可求出()A．月球的第一宇宙速度为eq\r(gr)B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为eq\f(mgR2,2r)C．月球的平均密度为eq\f(3g,4πGR3)D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为2πeq\r(\f(r3,gR))答案：B解析：月球表面，忽略自转有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得GM＝gR2，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，可得月球的第一宇宙速度为v1＝eq\r(gR)，故A错误；“嫦娥六号”绕月运行时根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(gR2,r))，“嫦娥六号”绕月运行的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(mgR2,2r)，故B正确；由eq\f(GMm,R2)＝mg解得月球的质量为M＝eq\f(gR2,G)，月球的平均密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，故C错误；“嫦娥六号”绕月运行时根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，“嫦娥六号”绕月运行的周期为T＝2πeq\r(\f(r3,gR2))，故D错误。故选B。4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球半径为R，自转周期为T，地球同步卫星离地高度约为地球半径的5.6倍，引力常量为G，下列说法正确的是()A．同步卫星的运行速度大于7.9km/sB．三颗同步卫星的向心加速度相同C．据以上数据可计算地球质量约为eq\f(4π2（5.6R）3,GT2)D．若地球自转周期变小，仍仅用三颗同步卫星实现上述目的，则地球自转的最小周期为T′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3.3)))eq\s\up8(\f(3,2))T答案：D解析：第一宇宙速度是航天器的最小发射速度、是航天器围绕地球运行的最大速度。同步卫星环绕速度一定小于7.9km/s，故A错误；三颗同步卫星向心加速度大小相等，但方向不同，故B错误；根据Geq\f(Mm,（6.6R）2)＝meq\f(4π2,T2)(6.6R)得地球的质量M＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6.6R))3,GT2)，故C错误；三颗同步卫星刚好覆盖地球，则每颗卫星覆盖120°，可得轨道半径为地球半径的2倍，根据开普勒第三定律可得eq\f(（6.6R）3,T2)＝eq\f(（2R）3,T′2)，解得T′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3.3)))eq\s\up8(\f(3,2))T，故D正确。故选D。5．(多选)(2024·安徽安庆模拟)我国发射的第10颗北斗导航卫星是一颗倾斜地球同步轨道卫星，该卫星的轨道平面与地球赤道平面有一定的夹角，它的运行周期是24小时。图中的“8”字是该卫星相对地面的运行轨迹，它主要服务区域为亚太地区，已知地球半径为R，地球同步卫星的轨道距地面高度约为地球半径的6倍，地球表面重力加速度为g。下列说法中正确的是()A．该北斗卫星的轨道半径约为7RB．该北斗卫星的线速度小于赤道上物体随地球自转的线速度C．图中“8”字交点一定在赤道正上方D．依题可估算出赤道上物体随地球自转的向心加速度大小约为eq\f(1,73)g答案：ACD解析：该北斗卫星的轨道半径约为r＝6R＋R＝7R，故A正确；该卫星的周期等于地球自转的周期，故卫星的角速度等于地球自转的角速度，根据v＝ωr可知，该北斗卫星的线速度大于赤道上物体随地球自转的线速度，故B错误；该卫星是一颗倾斜地球同步轨道卫星，绕地球做圆周运动，圆心为地心，根据几何关系知，题图中“8”字交点一定在赤道正上方，故C正确；对卫星，有Geq\f(Mm,（7R）2)＝meq\f(4π2,T2)(7R)，根据黄金代换公式为GM＝gR2，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度a＝eq\f(4π2,T2)R，联立解得a＝eq\f(1,73)g，故D正确。故选ACD。6．(2024·湖北荆州模拟)设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯直通太空站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系。关于相对地面静止且在不同高度的宇航员，下列说法正确的有()A．随着r增大，宇航员的角速度增大B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度D．随着r增大，宇航员对太空舱的压力增大答案：B解析：宇航员站在“太空电梯”上，相对地面静止，故角速度与地球自转角速度相同，在不同高度角速度不变，故A错误；当r＝r0时，引力加速度正好等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，若宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的同步卫星，即r0为地球同步卫星的轨道半径，故B正确；宇航员在r＝R处时在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度远小于第一宇宙速度，故C错误；宇航员乘坐太空舱在“太空电梯”的某位置时，有Geq\f(Mm,r2)－FN＝mω2r，其中FN为太空舱对宇航员的支持力，大小等于宇航员对太空舱的压力，则F压＝FN＝eq\f(GMm,r2)－mω2r＝ma引－ma向＝m(a引－a向)，其中a引为地球引力对宇航员产生的加速度大小，a向为地球自转而产生的向心加速度大小，由题图乙可知，在R≤r≤r0时，(a引－a向)随着r增大而减小，则宇航员对太空舱的压力随r的增大而减小，故D错误。7．(2022·河北高考)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星“羲和”的质量是太阳质量的2倍，若将“望舒”与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等，则“望舒”