专题03 平行线中的拐点问题期末真题汇编【五大模型+提升题】（原卷版）-2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（人教版）

专题03平行线中的拐点问题期末真题汇编之五大模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角.本专题就平行线中的拐点模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角.通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化.模型一：猪蹄模型或锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1模型二：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．模型三：牛角模型图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等.模型四：羊角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB图1图2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.模型五：蛇形模型基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°平行线中的拐点问题之猪蹄模型或锯齿模型例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则．

【变式训练】1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则．

2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是．

平行线中的拐点问题之铅笔头模型例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是．

【变式训练】1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知，则．

2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是．3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．

图中的，图中的，图中的，图中的，据此推测，图中的平行线中的拐点问题之牛角模型例题：（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，已知，，，则的度数为．

【变式训练】1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为．

平行线中的拐点问题之羊角模型例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【变式训练】1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图，已知点是外一点，连接，求的度数．解：过点作，，，又．．【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数．（3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系．2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．

(1)如图①，_______；如图②，_______；如图③，______；如图④，______．(2)得到图②结论的过程如下：（补足理由）过P点作，又∵，∴（同平行于第三条直线的两直线平行）∵，∴_______，________（

）∵（图形性质）∴_______（等量代换）(3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）．平行线中的拐点问题之蛇形模型例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若，则．【变式训练】1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，则图中，，，的数量关系是．一、单选题1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，，记，则m的值为．

4．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则．三、解答题5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．【类比迁移】如图②，、、的数量关系为．（不需要证明）【结论应用】如图③，已知，，，则°．6．（23-24七年级上·云南昆明·期末）（1）如图①，，则_______；如图②，，则_______；（2）如图③，，则_______；（3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点，，求的度数．7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E，F分别为，之间的点．(1)如图1，若，求的度数；(2)若．①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；②如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）综合与探究某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点在，之间，点，分别在直线，上，连接，．(1)如图1，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，，，求出与之间的数量关系．(3)如图3，直接写出，，，，之间的数量关系：__________．9．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案）（）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系；（）图中，，，，求的度数.10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）问题情境1：如图1，，P是内部一点，P在的右侧，探究，，之间的关系？

（1）如图2，过P作，可得，，之间满足______关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，，P是，内部一点，P在的左侧，（2）得，，之间满足______关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知，与两个角的角平分线相交于点F．（3）如图4，若，求的度数；（写证明过程）（4）如图5中，，，写出与之间数量关系并证明结论．11．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，定点E，F分别在直线上，平行线之间有动点P，Q．(1)如图1，当点P在的左侧时，满足数量关系为______；如图2，当点P在的右侧时，满足数量关系为______；(2)如图3，若点P，Q都在的左侧，且分别