《微积分（第4版）》 习题课课件 无穷级数内容概括

返回高等数学GAODENGSHUXUE典型例题分析第十二章无穷级数习题课课堂练习内容概括第八章无穷级数习题课1.了解无穷级数敛散概念及性质,会利用比较法、比值法判别正项级数敛散性,会用莱布尼兹判别法判别交错级数的收敛性,了解绝对收敛与条件收敛概念.2.理解幂级数及收敛半经的概念,掌握简单的幂级数收敛半径及收敛区间的求法.3.会用公式及性质将函数展开成幂级数,了解幂级数的展开应用.一、要求与重点

重点：无穷级数敛散概念,正项级数审敛法,幂级数概念与收敛半径求法，将函数展开成幂级数.第十二章无穷级数习题课

函数项级数数项级数定义与性质无穷级数二、内容结构幂级数正项级数交错级数任意级数幂级数展开幂级数应用收敛域与运算第十二章无穷级数习题课

数项级数必要条件正项级数比值判别法比较判别法敛散性质定义级数发散交错级数任意项级数莱氏判别法判别级数类型绝对收敛判别数项级数敛散性的过程第十二章无穷级数习题课

三、内容概括1.数项级数

定义

若数列u1,u2,···,un,···，按其给定次序用加号将其连接起来所得和式简记为.称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项.称为级数的部分和.若存在，则称级数的收敛，否则发散.第十二章无穷级数习题课

性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

性质3:在级数中加上、减去、更改有限项不影响级数的敛散性.

性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.定理级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质第十二章无穷级数习题课

数项级数审敛法正项级数任意项级数5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛第十二章无穷级数习题课

4.充要条件

定义

若级数的一般项，则称为正项级数.2.正项级数及其审敛法定理第十二章无穷级数习题课

第十二章无穷级数习题课

正项级数比较审敛法

定理

设两个正项级数与如果满足条件则(1)若收敛，则收敛.(2)若发散，则发散.

定理

设两个正项级数与，若极限则与同敛散.常用的比较级数级数敛散性表达式p-级数发散调和级数等比级数级数名称第十二章无穷级数习题课

收敛发散发散收敛第十二章无穷级数习题课

比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)定理设正项级数，如果则时级数收敛;时级数发散;时失效.根值审敛法(柯西判别法)定理

设正项级数，如果则时级数收敛;时级数发散;时失效.定义

正负项相间的级数称为交错级数.即3.交错级数及其审敛法第十二章无穷级数习题课

莱布尼茨定理

如果交错级数满足条件:则级数收敛，且其和，其余项的绝对值

定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4.任意项级数及其审敛法第十二章无穷级数习题课

定理

若收敛，则收敛.定义

若收敛，则称为绝对收敛;若发散,而收敛,则称为条件收敛.5.函数项级数

定义

设是定义在上的函数,则称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.第十二章无穷级数习题课

定义

如果，数项级数收敛，则称为级数的收敛点，否则称为发散点.函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域.

收敛域上级数的和是x的函数称为和函数.

定义形如或的级数称为幂级数.其中为幂级数系数.6.幂级数第十二章无穷级数习题课

幂级数的收敛性

定理(Abel定理)如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切x处绝对收敛;如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切x处发散.

定理如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:第十二章无穷级数习题课

当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;

当时,幂级数可能收敛也可能发散.

定义

正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.第十二章无穷级数习题课

定理

如果幂级数的所有系数且极限则（1）当时（2）当时（3）当时

收敛区间的求法：先求收敛半径，再判别时级数的敛散性，得出收敛区间.a.代数运算性质:（其中

）6.幂级数的运算第十二章无穷级数习题课

（1）（2）b.和函数的分析运算性质第十二章无穷级数习题课

（1）幂级数的和函数在收敛区间内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.

（2）幂级数的和函数在收敛区间内可积,且对可逐项积分.

（2）幂级数的和函数在收敛区间内可导,且对可逐项求导.7.幂级数展开式

定义如果在点处任意阶可导，则幂级数称为在点的泰勒级数.

第十二章无穷级数习题课

称为在点的麦克劳林级数.

定理函数在点的泰勒级数，收敛于的充要条件为第十二章无穷级数习题课

定理如果函数在能展开成的幂级数则其系数且展开式是唯一的.