中考数学二轮复习重难点与压轴题型专项突破训练专题06 填空题中之分类讨论思想(教师版)

专题06填空题中之分类讨论思想【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】 1【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】 7【考向三与矩形有关的分类讨论问题】 10【考向四与菱形有关的分类讨论问题】 18【考向五与正方形有关的分类讨论问题】 23【考向六与圆的分类讨论问题】 28【考向七与相似有关的分类讨论问题】 33【直击中考】【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】例题：（2022·四川广安·统考中考真题）若（a﹣3）2+SKIPIF1<0=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．【答案】11或13##13或11【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得SKIPIF1<0的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．【详解】解：∵（a﹣3）2+SKIPIF1<0=0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为腰时，周长为：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为腰时，三角形的周长为SKIPIF1<0，故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式训练】1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为_____．【答案】3或SKIPIF1<0．【分析】分两种情况，先证明SKIPIF1<0，再根据全等三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0的右边，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等边三角形SKIPIF1<0的边长为3，如图，SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0的左边，同上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等边三角形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，故答案为：3或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明SKIPIF1<0是解题的关键．2．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，有一个锐角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为_______．【答案】SKIPIF1<0或9或3【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当点P在线段AB上时，如图，∵SKIPIF1<0，∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，∴SKIPIF1<0；当点P在AB的延长线上时，∵SKIPIF1<0，∠PBC=∠PCB+∠CPB，∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，∴PB=BC=3，∴AP=AB+PB=9；当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴∠APC=60°，∴∠ACP=60°，∴∠APC=∠PAC=∠ACP，∴△APC为等边三角形，∴PA=AC=3．综上所述，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或9或3．故答案为：SKIPIF1<0或9或3【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0长为半径作弧，交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是______．【答案】10°或100°【分析】分两种情况画图，由作图可知得SKIPIF1<0，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：如图，点SKIPIF1<0即为所求；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由作图可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由作图可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上所述：SKIPIF1<0的度数是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了作图SKIPIF1<0复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．4．（2022·青海西宁·统考中考真题）矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E在AB边上，SKIPIF1<0．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5，点P在边AD上时，由勾股定理可求得底边PE的长；②当PE=AE=5，点P在边BC上时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP即可．【详解】解：∵矩形ABCD∴∠A=∠B=90°，分两种情况：当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所示：∵∠BAD=90°，∴PE=SKIPIF1<0=5SKIPIF1<0；当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示：∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，∴PB=SKIPIF1<0=4，∴底边AP=SKIPIF1<0；综上，等腰三角形AEP的底边长是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．5．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，点B在x轴正半轴上，若SKIPIF1<0为等腰三角形，且腰长为5，则SKIPIF1<0的长为__________．【答案】5或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），设A（a，SKIPIF1<0）（a>0），∵OA=5，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=SKIPIF1<0或AB=SKIPIF1<0；综上所述，AB的长为5或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：5或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】例题：（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根据题意，由于SKIPIF1<0类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：①高在三角形内部，如图所示：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②高在三角形边上，如图所示：可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P为斜边SKIPIF1<0上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作SKIPIF1<0，垂足分别为点D和点E，连接SKIPIF1<0交于点Q，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为直角三角形时，SKIPIF1<0的长是_____________【答案】3或SKIPIF1<0【分析】根据题意，由SKIPIF1<0为直角三角形，可进行分类讨论：①当SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵当SKIPIF1<0为直角三角形时，可分情况进行讨论①当SKIPIF1<0时，如图：则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；在直角△ACP中，由勾股定理，则SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，如图∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形CDPE是矩形，∴CQ=PQ，∵AQ⊥CP，∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=SKIPIF1<0综合上述，SKIPIF1<0的长是3或SKIPIF1<0；故答案为：3或SKIPIF1<0；【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题．2．（2022·河南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，SKIPIF1<0，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0##SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分SKIPIF1<0点在线段SKIPIF1<0上和SKIPIF1<0的延长线上，且SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0即可．【详解】如图，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点SKIPIF1<0的位置是解题的关键．【考向三与矩形有关的分类讨论问题】例题：（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，点E为边SKIPIF1<0上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，点C的对应点为点F，过点F作SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0于点G，交直线SKIPIF1<0于点H．若点G是边SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0的长是____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据题意可得四边形SKIPIF1<0是平行四边形，证明SKIPIF1<0，等面积法求得SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的长，进而即可求解．【详解】①如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0SKIPIF1<0折叠SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0②如图，当SKIPIF1<0时，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折痕EF的长是_____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分两种情况，分别画出图形：当G在AC上时，连接DG交EF于M，证明∠AGD＝90°，从而EF∥AC，得EF是△ADC的中位线，可得EF＝SKIPIF1<0；当G在BD上，设BD交EF于N，证明△ABD∽△DEF，可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，EF＝SKIPIF1<0．【详解】解：当G在AC上时，连接DG交EF于M，如图甲所示：∵E是AD中点，∴AE＝DE，∵将△DEF沿EF折叠，∴DE＝GE，∠DME＝∠GME＝90°，∴AE＝DE＝GE，∴∠EAG＝∠EGA，∠EDG＝∠EGD，∵∠EAG+∠EGA+∠EDG+∠EGD＝180°，∴2∠EGA+2∠EGD＝180°，∴∠EGA+∠EGD＝90°，即∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠DME，∴EF∥AC，∵E是AD中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝SKIPIF1<0AC，∵AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝5，∴EF＝SKIPIF1<0；当G在BD上，设BD交EF于N，如图乙所示：∵将△DEF沿EF折叠，∴∠DNF＝90°，∴∠DFN＝90°﹣∠FDN＝∠ADB，∵∠EDF＝90°＝∠BAD，∴△ABD∽△DEF，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵BD＝AC＝5，DE＝SKIPIF1<0AD＝2，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴EF＝SKIPIF1<0，综上所述，折痕EF的长是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握翻折的性质．2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在长为2，宽为x（SKIPIF1<0）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可．【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则第一次操作后，剩下矩形的宽为SKIPIF1<0，所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为SKIPIF1<0，另一边为：SKIPIF1<0，∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，分以下两种情况进行讨论：①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，第三次操作后剩下的矩形的宽为SKIPIF1<0，长是SKIPIF1<0，则由题意可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，第三次操作后剩下的矩形的宽为SKIPIF1<0，长是SKIPIF1<0，由题意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键．3．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．【答案】SKIPIF1<0或4【分析】由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，证明SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，再分两种情况讨论求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，∴∠DMN=∠GNM，由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，∴GM=GN，又∠GHE=∠NHE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：①若SKIPIF1<0时，则有：SKIPIF1<0∴EH=SKIPIF1<0，GF=2NE=4，由勾股定理得，SKIPIF1<0,∴GH=2NH=SKIPIF1<0∴GM=GN=GH+NH=SKIPIF1<0，∴MD=MF=GM-GF=SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0时，则有：SKIPIF1<0∴EH=SKIPIF1<0，GF=SKIPIF1<0NE=1，由勾股定理得，SKIPIF1<0,∴GH=SKIPIF1<0NH=SKIPIF1<0∴GM=GN=GH+NH=5；∴MD=MF=GM-GF=SKIPIF1<0综上，MD的值为SKIPIF1<0或4．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键．4．（2022·黑龙江·统考中考真题）在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E在边CD上，且SKIPIF1<0，点P是直线BC上的一个动点．若SKIPIF1<0是直角三角形，则BP的长为________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或6【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，如图，当∠APE=90°时，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：BP=6；如图，当∠AEP=90°时，∴∠AED+∠PEC=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAE=∠PEC，∵∠C=∠D=90°，∴△ADE∽△ECP，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，∴四边形ABPF为矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，∴∠DAE=∠APF，∵∠F=∠D=90°，∴△APF∽△EAD，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；综上所述，BP的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或6．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或6【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．【考向四与菱形有关的分类讨论问题】例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，已知在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一个动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，使点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处，当SKIPIF1<0是直角三角形时，SKIPIF1<0的长为____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分两种情形①当SKIPIF1<0与O重合时，SKIPIF1<0是直角三角形，此时SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是直角三角形，此时SKIPIF1<0，列出方程即可解决问题．【详解】解：如图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于O．∵四边形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0翻折得到，∴SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0与O重合时，SKIPIF1<0是直角三角形，此时SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是直角三角形，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上所述，满足条件的SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，是由中考填空题中的压轴题．【变式训练】1．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知，抛物线SKIPIF1<0上有两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为SKIPIF1<0，点B的对应点为SKIPIF1<0，且四边形SKIPIF1<0刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为_____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】利用待定系数法求得函数的解析式得到顶点坐标，由四边形SKIPIF1<0为菱形，得出SKIPIF1<0，即可得出向右平移5各单位的得到新抛物线，进而即可求得平移后的抛物线的顶点坐标．【详解】解：根据题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴顶点为SKIPIF1<0，∴当抛物线向右平移5个单位的抛物线的顶点为SKIPIF1<0．当抛物线向左平移5个单位是抛物线顶点为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键．2．（2022·河南信阳·校考一模）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0的对称点为点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为等腰三角形时，SKIPIF1<0的长为______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分类讨论：如图SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，如图SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，如图SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，分别求出即可．【详解】解：如图SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合或在点SKIPIF1<0处．当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也重合，此时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如图SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合或在SKIPIF1<0处，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分线，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如图SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上所述：当SKIPIF1<0为等腰三角形时，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且四边形SKIPIF1<0为菱形，若线段SKIPIF1<0的中点为点SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】两种情况：①由矩形的性质得出SKIPIF1<0，由菱形的性质得出SKIPIF1<0，由勾股定理求出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0；②同①得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0的长．【详解】解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为菱形，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵M是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如图2所示：同①得：SKIPIF1<0，∵M是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；综上所述：线段SKIPIF1<0的长为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【考向五与正方形有关的分类讨论问题】例题：（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）正方形SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，连结SKIPIF1<0交对角线SKIPIF1<0于点G，若SKIPIF1<0恰好平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0或4【分析】延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于R，作SKIPIF1<0于T，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可证得SKIPIF1<0是等腰三角形，可推出SKIPIF1<0，进而表示出SKIPIF1<0，然后解SKIPIF1<0，从而求出x的值，进而可得结果．【详解】解：如图，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于R，作SKIPIF1<0于T，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恰好平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0或4，故答案为：SKIPIF1<0或4．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造出等腰三角形．【变式训练】1．（2022秋·山东日照·九年级校考期末）等腰SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的两个顶点在SKIPIF1<0的一边上，另两个顶点在SKIPIF1<0的另两边上，则正方形SKIPIF1<0的边长为____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分两种情况讨论：①正方形的边SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，根据正方形的性质，证明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再利用等腰三角形的性质，得到SKIPIF1<0，由勾股定理得到SKIPIF1<0，即可求出正方形边长；②正方形的边SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，作SKIPIF1<0，利用三角形的面积，求出SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，利用相似比SKIPIF1<0，即可求出正方形边长．【详解】解：①如图1，正方形的边SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，P、N分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，过D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，设正方形边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②如图2，正方形的边SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，P、N分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，过D作SKIPIF1<0于点D，作SKIPIF1<0于点G，设正方形边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，综上所述，正方形的边长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的额判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．2．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，正方形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上，边SKIPIF1<0在第一象限，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将正方形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0对应点SKIPIF1<0恰好落在坐标轴上，则点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0的坐标为___________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】由正方形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上，边SKIPIF1<0在第一象限，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0长，进而得出SKIPIF1<0，画出图形：当正方形SKIPIF1<0绕点A顺时针旋转SKIPIF1<0，分两种情况，①点B的对应点SKIPIF1<0恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点SKIPIF1<0恰好落在y轴负半轴上时．【详解】解：∵正方形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上，边SKIPIF1<0在第一象限，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，画图如下：当正方形SKIPIF1<0绕点A顺时针旋转SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴于E，分两种情况①点B的对应点SKIPIF1<0恰好落在x轴正半轴上时，如图，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在△AB′O和△EB′C′中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴点C的对应点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；②点B的对应点SKIPIF1<0恰好落在y轴负半轴上时，如图，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴点C的对应点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；综上所述：点C的对应点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，掌握正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，利用分两种情况考虑点SKIPIF1<0的位置求点SKIPIF1<0坐标是解题关键．3．（2021秋·北京东城·九年级校考期末）如图，正方形SKIPIF1<0的面积为3，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一点，SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转，使点SKIPIF1<0落在直线SKIPIF1<0上，落点记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根据正方形的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据旋转的性质可得SKIPIF1<0，然后利用“SKIPIF1<0”证明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0全等，根据全等三角形对应边相等可得SKIPIF1<0，然后分点F在线段SKIPIF1<0上和SKIPIF1<0的延长线上两种情况讨论求解即可．【详解】解：SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0的面积为3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据旋转的性质可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①点F在线段SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，②点F在SKIPIF1<0的延长线上时，SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出全等三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论．【考向六与圆的分类讨论问题】例题：（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，将一块三角板放置在SKIPIF1<0中，点A、B在圆上，SKIPIF1<0为直角，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的度数是_____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根据点P的位置分两种情况讨论，即可得出答案．【详解】解：如图：当点P在优弧SKIPIF1<0上时，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当点SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上时，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为圆内接四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上分析可知，SKIPIF1<0