初三奥数之旋转变换

专题13旋转变换

阅读与思考

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点

叫旋转中心，转动的角度叫旋转角.

旋转变换不改变图形的形状和大小.通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样

大小的角度.旋转变换前后的图形有下列性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；

（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心.

例题与求解

【例1】如图，边长为1的正△48C1的中心为。，将正△4BCi绕中心0旋转到282c2,使得A2B2

J.BiCi，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为.

（“新知杯”上海市竞赛试题）

解题思路：S*或砌ABCDEF=-3SAB,C。，解题的关键是寻找C8|,CBi,CD,Ci。之间的关系.

【例2】如图，已知AAOB,△C。。都是等腰直角三角形，NAO8=/CQO=90。，N,M,Q,尸分别

为AB,CB,CD,AO的中点.

求证：四边形MWQP为正方形.

解题思路：连结8。，AC,并延长AC交于点E,则△OAC可以看作是由△绕点。逆时针旋转

90°得到的，且NAED=90°,这是证明本例的关键.

【例3】如图，巳知在△ABC中，AB=AC,P为形内一点，且/APBC/APC.

求证：PB>PC.（北京市竞赛试题）

解题思路：以A为中心，将△4PB旋转一个NBAC,使A8边与AC边重合，这时AAPB到了△APC

的位置.

【例4】点B,C,E在同一直线上，点A,。在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,NBAC=NCED,

直线AE,BD交于点、F.

（1）如图1,若NBAC=60。，贝ijNAFB=；如图2,若/B4C=90。，则/AFB=；

（2）如图3,若NBAC=a,则乙4F8=（用含a的式子表示）；

（3）将图3中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A,8重合），得图4或图5.在图4中，NAFB与

/a的数量关系是:在图5中，NAFB与/a的数量关系是.

请你任选其中一个结论证明.（武汉市中考试题）

图4图5

解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：XABCs/XEDC,XBCDsX

ACE,这是解本例的关键.

【例5】如图，已知凸五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA,NABC=2NDBE.

求证：ZABC=60°.（北京市竞赛试题）

解题思路：将△ABE以2为旋转中心顺时针旋转/ABC,使得AB与BC重合，落在△CBE位置，则

△ABEqACBE',AE=CE',BE=BE',NCBE'=NABE.

【例6】如图，已知正方形ABC。内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为双+遥，求此正

方形的边长.（广东省竞赛试题）

解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换,

把E4,EB,EC连结起来.

能力训练

A级

1.如图，巳知正方形A8CD中，点E在边。C上，DE=2,EC=1,把线段AE绕点A旋转，使点E落

在直线BC上的点尸处，则凡C两点的距离为.（上海市中考试题）

第3题

2.如图，P是正△A8C内的一点，且以=6,PB=8,PC=10.若将绕点4逆时针旋转后，得

到△P4B,则点P与点P'之间的距离为,ZAPB=.

（青岛市中考试题）

3.如图，直角梯形A5CZ）中，AD//BC,AB1BC,40=2,8c=3,ZBCD=45°.将CD以点。为中

心逆时针旋转90。至EZ）,连结AE,则AAQE的面积是.

4.如图，在RtAABC中，已知/C=90。，NB=50。，点。在边BC上，BD=2CD.把△ABC绕着点

。逆时针旋转机（0<m<180）度后，如果点8恰好落在初始RtAABC的边上，那么机=.

（上海市中考试题）

5.如图，将边长为1的正方形ABCO绕点A按逆时针方向旋转60。至ABC。的位置，则这两个正方

形重叠部分的面积是.

（全国初中数学联赛试题）

6.如图，在RSABC中，/4=90。，AB=6cm,AC=8cm.以斜边BC上距离点86cm的点P为中

心，把这个三角形按逆时针方向旋转90。至AQE凡则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为.

（黄冈市竞赛试题）

7.如图，将AABC绕点C（0,-1）旋转180。得到△ASC,设点A的坐标为（a,b）,则点A的坐

标为（）

A.（-a,-b）B.（-a,-b-1）C.（-a,一万+1）D.（-a,-4-2）

（河南省中考试题）

8.如图，已知尸是等边△ABC内部一点，ZAPB-^BPC：ZCM=5：6：7.则以m，PB,PC为

边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）

A.2：3：4B.3：4：5C.4：5：6D.不能确定

（全国初中数学通讯赛试题）

9.如图，在△ABC中，ZBAC=\20°,P是△ABC内一点，则（）

A.PA+PB+PC<AB+AC

B.PA+PB+POAB+AC

C.PA+PB+PC=AB+AC

D.%+RB+PC与4B+AC的大小关系不确定

（武汉市竞赛试题）

10.已知：如图1,。为正方形ABC。的中心，分别延长04到点尸，。。到点E,使0F=20A,OE

=20D.连结EF,将△POE绕点。逆时针旋转a角得到△尸OE(如图2).

图2

(1)探究A£与8F的数量关系，并给予证明；

(2)当a=30。时，求证：ZkAOE为直角三角形.

(南通市中考试题)

11.在△ABC和△£>£：尸中，AB=AC,DE=DF,NBAC=NEDF=a，点、M,N分别是8E,C尸的中

点.

(1)若点A与点。重合，点E,尸分别在A8,AC上(如图1),则AM与AN的数量关系是,

/MAN与a的数量关系是；

(2)将图1中的△£>£尸绕点A(D)旋转(如图2),第(1)间的两个结论是否仍成立？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由.

B级

1.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角N8OC=120。的等腰三角形，NMDN=60。,

则△A.MN的周长=

（重庆市竞赛试题）

2.如图,,MN=x,BN=

n,则以线段x,〃?，〃为边长的三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,机，〃的变化而变化

（安徽省竞赛试题）

4

3.如图，直线y=-§x+4与x轴，y轴分别交于A,8两点，把△A08绕点4顺时针旋转90。后得

到4AO'B',则点夕的坐标是（）

A.（3,4）B.（4,5）C.（7,4）D.（7,3）

（丽水市中考试题）

4.如图，正方形ABCQ中，已知AB=g,点分别在8C,CQ上，且NBAE=30。，ZDAF=15°,求

△AEF的面积.

（“希望杯”邀请赛试题）

第4题第5题

5.（1）如图1,在四边形A8CQ中，AB^AD,ZBAD=60°,NBCQ=120。.

求证：BC+DC=AC；

（2）如图2,在四边形48C。中，AB=BC,ZABC=60°,。为四边形ABCD内一点，且/"力=120。，

求证：PA+PD+PC^BD.

（江苏省竞赛试题）

6.如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,ZkAOE是正三角形，点。在边BC上，已知8。：

DC=2：3,当△ABC的面积是50cm2时，求AADE的面积.

(日本数学奥林匹克试题)

c

7.如图，己知。是锐角三角形ABC内一点，ZAQB=ZBOC=ZCOA=120°,P是△ABC内任一

点.求证：PA+PB+PC^OA+OB+OC.

(杭州市竞赛试题)

8.(1)如图1,已知正方形ABC。和正方形CGEF(CG>BC),B,C,G在同一条直线上，M为线

段AE的中点.探究：线段MF的关系；

(2)如图2,若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°,使得正方形CGEF的对角线CE在正方形

4BC。的边BC的延长线上，例为AE的中点.试问：(I)中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不

成立，请说明理由.

(3)如图3,若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转a,M为AE的中点.试问：第(1)问中探究的结

论是否成立？

(大连市竞赛试题)

图2图3

9.已知正方形ABCD和等腰RtaBEF,BE=EF,ZB£F=90°.按图1的位置，使点尸在8c上，取

力产的中点G,连结EG,CG.

(1)探索EG,CG的数量关系和位置关系并证明;

(2)将图中aBEF绕点B顺时针旋转45。，再连结OF,取OF中点G(如图2),第(1)问中的结论

是否仍然成立？请你证明；

(3)将图1中aBEF绕点8转动任意角度(在0。〜90。之间)，再连结。R取。尸的中点G(如图3),

第(1)问中的结论是否仍成立？不必证明.

10.在平面直角坐标系中，已知。为坐标原点，点A(3,0),8(0,4).以点A为旋转中心，把AAB。

顺时针旋转，得△ACC.记旋转角为a,NA8。为力.

(1)如图1,当旋转后点。恰好落在A8边上时，求点。的坐标;

(2)如图2,当旋转后满足8C〃x轴时，求a与尸之间的数量关系;

(3)当旋转后满足时，求直线CO的解析式.

(天津市中考试题)

图2

第10题

11.如图，在△ABC中，N&4C=60。，A8=2AO,点P在△ABC内，且孙=G，PB=5,PC=2,

求△A8C的面积.

(“《教学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)

专题13旋转变换

例1如图，连接。Bi，0B2,B1B2,则。%=。&,NOBIB2=NOB2H.又NO5C=30°=ZOB2C,AZ

CBIB2=NCB2BI，故CBI=CB2.同理，设CBi=x,则C&=x,CD=出x,DC^DB2=2x,于

是x+5/3x+2x—1=>x=----f=

故S六边形ABCDKF-SA282c2—3s为CD

3+V3

3百

4

11

例2,：N,M分别为线段A8,CB的中点，，MN=LAC.同理MQ=LB。PQ=-AC,PN=-BD.'：

22

AC=BO,，MN=MQ=PQ=PN,...四边形N例0P为菱形.,；MN〃4C,MQ//BD,：.AC1.BD,：.ZNMQ

=90°,...菱形MWQ尸为正方形.

例3APM^AP'C,AP=AP,,ZAPB=ZAP'C,PC=PB.连接PP,由AP=AP得

ZAPP=ZAPP,而ZAPBVZAPC,即NAPCVNAPC,二NPPCVNPTY?,于是POPC,

即PB>PC.

例4(1)60°45°(2)90°--a(3)ZAFB=90°--aZAFB=90°+-a对ZAFB

222

=90°—'a证明如下：：AB=AC,EC=ED,ZBAC^ZCED,：./XABC^^EDC,得NACB=NECD,

2

BCAC

——，ZBCD=NACE,二△BCDs^ACE,得NCBD=ACAE."：ZAQF=NBQC,NCBD=ZCAF,

DCEC

180°—NBA。“01

NAFB=/ACB=------------=90°——a.

22

例5•:/EBE'=ZABC=2/DEB,：./EBD=/E'BD.连接DE'：：BD=BD,ZEBD=/EBD,

BE=BE,：.EBgEBD,ED=E'D=CD=CE',：.CDE'为正三角形,ZDCE'=60°,又

BC=CD=CE',则ZE'BD=-ZDCE'=30°.：.NABUNEBE'=2/E'BD=60°.

2

例6将△ABE绕B点逆时针旋转60°,得△F8G,连接GE,FC,则ABEG为等边三角形，GE=BE,

：.FC^FG+GE+EC,BPFC^EA+EB+EC,为定长，.•.当E点落在FC上时，FC=EA+EB+EC

为最小值.；NFBC=150°,FB=BC,：.ZBCF=ZBFC=\5°,而/GEB=60°,，NEBC=45°,即

x

E在正方形ABC。的对角线8。上.作交CB延长线于，，设BC=x,则FB=x,FH=~,HB=

2

~^~x)在7c中，由(亚+#)2=f1)2+(x+2^_%)2,得犬=2或》=一2(舍去)，即正方形的边

例6题图

A级

1.1或52.6150°3.14.80或1205.2-G提示:如图，过B作MN//AD,分别AB,CD于M,N,点

B，C'交CD于K,则B,M=AB,sin60°=―,AM=-,RtAAKB^RtAAKD,ZKAB'=Z

222

KAD=15°，/ADB，=75°,AADK^ADNB\

—=—,DK=2-g,重叠部分面积=2SAAKD=2x'xlx(2-6)=2—6

6.过P作PMAC于M,PNJ_.DF于N,可证明四边形PMGN为正方形,PM=《,Sm肝S正方形PMGN=

17144

(—)2=——.7.D8.A9.B提示:将ACPA绕点A逆时针旋转60°到△CAP，，连结PP，，△APP,为等边三

525

角形.PB+PP'+P'C=PA+PB+PC>AB+AC'=AB+AC.

1O.(1)AE,=BF,.(2)证法较多，如取OE，中点G,连结AG.11.⑴AM=AN,NMAN=a.(2)第⑴问的结论仍成

立，理由如下:由4ABE丝ZXACF得BE=CF,/ABM=/CAN,进一步可以证明aABM且△CAN.

B级

1.2提示:MN=BM+CN2.B提示：△ACMg/\BCD./ACM=NBCD,CM=CD,NMCN=NNCD95°，又

CN=CN,则△MNC丝△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m，又NDBN=45°+45°=90°，故机2+〃2=f.3.D4.

3-73提示:将4八口尸绕点A顺时针方向旋转90°,到aABG.

的位置，则4AEF空Z\AEG.NAEF=NAEG=/FEC=60",BE=1,EC=BC-BE=6-1,

EF=EG=2(y/3-1),S&AEF=SAABG=-EG•AB=3-73.

2

5.⑴提示诞长BC至E,使CE=CD连结DE,证明△ACDgaBED.(2)将AABD绕点A旋转60°到4

ACB,连结B，D,B，P,则四边形AB'DP符合(1)的条件，于是B'P=PA+PD连结AC,则△ABD^A

ACB'.BD=B'C,B'CWPB'+PC=PA+PD+PC,从而BDWPA+PD+PC.

（第5题图）

6.直接解题有困难，AABC绕点A逆时针旋转120°,240°拼成正AMBC（如图），则正4ADE变为正△

ADjEi和正aADzEz易知,六边形DEDIEID2E2是正六边形，Z\DD|D2是正三角形，其面积是4ADE面积

的3倍..因此，设法由正aMBC面积为150求出△口口口?的面积，问题就解决了.注意到

BD:DC=CDI：D|M=MD2：D2B=2:3,连结DM,PIOS&ADE=^SAABD=36cm2,ffi]S，明。,=S。⑺,=36cm同理，可

2

得S映2=150-3*36=42©!112,故孔人口£=：5DDi„;=14cm.

M

小

BD

(第6题图)

7.如图，将BP,BO,BC绕点B沿顺时针方向旋转60°,变为BP,BO\BC，连结OO，,PP\则

△BOO\ABPP'都是正三角形.因此OO，=OB,PP'=PB,显然△B