高中数学：教案：高中数学“数学归纳法”

2.3.1数学归纳法

新洲四中梅四明

一、学习目标：

1.了解数学归纳法的原理，并能以地递推思想作指导，理解数学归纳法的操作

步骤；

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问

题的格式书写；

二、重点难点：数学归纳法在证明数学问题中的应用及递推原理的理解。

三、新课导学

［思考］:在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

新知：数学归纳法

预习成果展示交流（自主学习反馈）

数学归纳法是关于自然数n的命题（相当于多米诺骨牌全部倒下）的证明，我们可以

采用下面方法来证明其正确性：

1°验证n取时命题（递推的基础）；

2°假设当时命题成立的前提下，推出当"1<+1时命题—（递推的依据）.

3°根据1°、2°知，对于一切〃2%的自然数n命题（结论）.

关键：从假设〃=k成立，证得〃=&+1成立.

试一试

1、用数学归纳法证明：如果｛”“｝是一个等差数列，公差为d,那么

%=%+（n-l）d对■―切neN+都成立.

2.下面用数学归纳法的证明是否正确：

求证：1+2+2?+……+2«->=2"-1

证明：假设n=k时成立，即1+2+2?+……+2i=2"一1

那么n-=k+l时.，左边=1+2+2?+……+2*=XI）=2k+,-1

1-2

所以n=k+l时也成立。由（1）和（2）可知原命题对任意"eN*都成立。

典型例题

例L用数学归纳法证明：首项是％,公差是d的等差数列的前n项和公式为

°n(n-l)d

S“=叫+---

小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题

例2.用数学归纳法证明：）+23+3?++n^n^^

4

小结：证n=Hl时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进

行变形.

学习评价

自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

课内训练巩固(同步训练、达标练习)

1某个命题与正整数有关,如果当n=k(k《N*)时，该命题成立，那么可推得n=k+l时，该

命题也成立.现在已知当n=5时，该命题成立，那么可推导出()

A当n=6时命题不成立B当n=6时命题成立

C当n=4时命题不成立D当n=4时命题成立

2.已知f(n)=^+—二+—二+—+3,则下列说法正确的是

nn4-1n+2及”

\11

①f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=-+y

111

②f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)="+r+-

234

11

③f(n)中共有n'-n项，当n=2时，f(2)=5+]

111

④f(n)中共有波叶1项，当n=2时，f(2)=]+§+1

3.用数学归纳法证明l+；+g+…+，~丁<〃(〃€乂且">1),第二步证明从院到

k+1",左端增加的项数是

A.2k-'B.2kC.2k-1D.2k+1

4、用数学归纳法证明：

1111n

-----1------1......F....H=------

1x33x55x7--------(2〃-1)(2〃+1)2几+1

课后作业

1.翊(〃)=工+」+」+……+1(〃eN+)，那勾伏+1)—/伏)=

〃+1〃+2〃+32n

,1八1「11八11

A.-----B.-----C.------------1-------------D.-------------------

2&+12k+22&+12k+22&+12k+2

2.用数学归纳法证