高中数学《空间图形的公理(二)》导学案

4.2空间图形的公理(二)

［学习目标］1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异

面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.

|课前自主学习|

【主干自填】

1.公理4

(1)文字表述：回一平行于同一直线的两条直线互相平行.

(2)符号表述：,a〃"且b〃c0a〃c.

(3)含义：揭示了空间平行线的圆传递性.

2.等角定理

(1)研究对象：在空间中的两个角.

(2)条件：两边分别圆对应平行.

(3)结论：这两个角明相等或互补.

3.异面直线所成的角

前提两条异面直线a力

…、，作法经过空间任一点O作直线

定义—

―我们把，与〃'所成的圜锐角(或直角)叫

结论

作异面直线a与6所成的角(或夹角)

范围记异面直线a与1所成的角为8,则应］0°〈收90°

特殊

当。=郦0°时，a与6互相垂直,记作画a_U)

情况----------

【即时小测】

1.思考下列问题

(1)两条互相垂直的直线一定相交吗？

提示：不一定.只要两直线所成的角是90°,这两直线就垂直，因此，两直

线也可能异面.

(2)公理4及等角定理的作用是什么？

提示：公理4又叫平行线的传递性.作用主要是证明两条直线平行.等角定

理的主要作用是证明空间两个角相等.

2.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()

A.相交B.异面

C.相交或异面D.平行

提示：C如图所示的长方体45。一48。1。1中，直线441与直线BICI是

异面直线，与平行的直线有AOi,AD,BC,显然直线与4。，AO相

交，与异面.

3.空间中有两个角a,夕，且角a,4的两边分别平行.若a=60。,则夕=.

提示：60。或120°因为a与夕两边对应平行，但方向不确定，所以a与4

相等或互补.

课堂互动探究

＞题型一公理4的应用

例1如图，已知E,F,G,”分别是空间四边形A8CO的边A8,BC,CD,

DA的中点.

⑴求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)若四边形EFG”是矩形，求证：ACLBD

［证明］⑴如题图，在△A3。中，

是△A3。的中位线，

J.EH//BD,EH=^BD.

又FG是△CB。的中位线，J.FG//BD,FG=^BD,

：.FG//EH,：.E,F,G,"四点共面，又FG=EH,

二四边形EFG"是平行四边形.

(2)由(1)知同理AC〃GH.又；四边形E/G”是矩形，：.EH1GH,

J.ACLBD.

类题通法

空间中证明两直线平行的方法

(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成

比例线段证平行等.

(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.

［变式训练1］已知棱长为a的正方体ABCO-A'B'CD'中，M,N分

别为。，AO的中点.

求证:四边形MNA'C是梯形.

证明连接AC.

'：M,N为CD,AO的中点,

:.MN咄AC.

由正方体性质可知AC耀A'C,：.MN^A'C'.

二四边形MNA'C是梯形.

＞题型二等角定理的应用

例2如图，在正方体ABCO-AiBiCDi中，E,F,E\,为分别是棱AB,

AD,BiCi,GDi的中点.求证：Z£AIF=ZFICEI.

［证明］如图，取AH的中点连接BM,BM,则触86,又

融BC,所以MB触BC

所以四边形BMFC为平行四边形，所以BM〃CR.

因为4加=/18,BE=^AB,且48触AB,

所以4M触BE,所以四边形BM4E为平行四边形，

所以3M〃4E,所以4E〃。/i.

同理可证Ai尸〃CEi.

因为/E4R的两边与/乃CEi的两边分别对应平行，且方向都相反，所以/

EA\F=ZF\CEi.

类题通法

求证两角相等的两种方法

(1)应用等角定理，在证明的过程中常用到公理4,注意两角对应边方向的讨

论.

(2)应用三角形全等或相似.

［变式训练2］长方体ABCD-A\B\C\D\中，E,F分别为棱AAi,CCi的中

点.

求证：(1)D1E〃防;

(2)NBiBF=NDiEAi.

证明（1）取BB\的中点M,连接EM,C\M.

在矩形A8B1A1中，

易得触AiBi,

二四边形EMGOi为平行四边形,

：.D\E//C\M.

在矩形8CC1B中，易得MB耀C1F,

：.BF//C\M,：.D\E//BF.

(2)'：ED\//BF,BB\//EA\,

又NBB尸与NDiEAi的对应边方向相同,

：.ZBiBF=ZDiEA\.

）题型三异面直线所成角

例3如图所示，正方体ABCD-Ai止万。1中,E、尸分别是A闰、3cl的中

点，求异面直线08与EF所成角的大小.

［解］解法一：如图所示，连接4C,B\D\,并设它们相交于点0,取DCh

的中点G,连接0G,AiG,CiG.

则0G//BiD,EF//A\C\.

...NGOAi为异面直线DB\与所成的角或其补角.

'：GA\=GC\,。为4G的中点，：.GO±AsCi.

...异面直线DB\与EF所成的角为90°.

解法二：如图所示，连接40,取4。的中点”，连接HE,则"E照。

D_________C

4IE从

于是NHE尸为所求异面直线08与a所成的角或其补角.

连接〃巴设AAi=l,则E/=乎，"£=乎，

取4G的中点/,连接IF,则

:.HF2=HI2+IF2=1.

又产十底=点：.HF2=EF2+HE^.

：.ZHEF=90°.

.,.异面直线DB\与EF所成的角为90°.

类题通法

求两条异面直线所成的角的一般步骤

(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性

质)作出异面直线所成的角或其补角.

(2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角.

(3)计算：求角度，常利用三角形.

(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求

出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

［变式训练3］如图所示，空间四边形A8CD中，A3=CO,ABVCD,E、F

分别为8C、AO的中点，求EE和4?所成的角.

解如图所示，取8。的中点G,连接EG、FG.

■:E、F分别为BC、AO的中点，

:.EG*CD,GF^AB,

或其补角就是异面直线EF与所成的角.

"：AB±CD,：.EG±GF,：.ZEGF=90°.

,:AB=CD,：.EG=GF,

:AEFG为等腰直角三角形.

：.ZGFE=45°,即异面直线EF与AB所成的角为45。.

培优部落

易错点〉不能从空间考虑图形致误

［典例］在空间中有三条线段A3、3c和CD,且NABC=N3C。，那么直

线与CO的位置关系是()

A.AB//CD

B.AB与C£＞是异面直线

C.A3与C。相交

D.AB〃C£＞或AB与C。异面或A8与CO相交

［错解］如图，NABC=NBCD,

.•.AB〃CD故选A.

［错因分析］错解的原因在于，认为线段AB,BC,CD在同一个平面内，考

虑问题不全面.

［正解］D构造图形：(1)在同一个平面内NABC=NBC。(如图(1))；

(2)在同一个平面内NA8C=N88(如图(2))；

(3)将图⑵中直线CD绕着BC旋转,

使NA8C=NBCD

由(1)知AB//CD,

由(2)知与CO相交，

由(3)知AB与CD是异面直线.

(1)⑵

课堂小结

1.平行公理又称平行线的传递性，它表明空间中平行于同一条直线的所有直

线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三

条直线作为联系两条直线的中间环节.

2.要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件.

|随堂巩固训练|

1.空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形

是（）

A.梯形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

答案C

解析因为空间四边形的两条对角线长度相等，所以根据三角形中位线的性

质可知，得到的四边形的四条边相等且对边互相平行，故选C.

2.设P是直线/外一定点，过点P且与/成30。角的异面直线（）

A.有无数条B.有两条

C.至多有两条D.有一条

答案A

解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，

过点P作直线/'//I,以/'为轴，与/'成30。角的圆锥面的所有母线都与/

成30。角.满足条件的直线有无数条，故选A.

3.如图，正方体ABCD—AiBiGDi中，E,尸分别是棱BC,CG的中点，则

异面直线EF与B\D\所成的角为.

答案60°

解析连接3Ci,BD,DCi,因为£尸〃BCi,B\D\//BD,所以NC山。即为

异面直线E尸与BDi所成的角或其补角.因为△GBO为正三角形，所以NG8D

=60°,即异面直线与8。所成的角为60。.

4.在正方体ABCD-AiBGU中，E为CQi的中点，则异面直线AE与4以

所成的角的余弦值为.

答案3

解析设棱长为1,因为所以NAEDi就是异面直线AE与43

1

ryF21

所成的角或其补角.在△AEG中，cosNAE。产三胃二工二工.故异面直线AE与A\B\

An3.3

2

所成的角的余弦值为g.

|课后课时精练|

®时间：25分钟

1.若直线。〃4bHc=A,则。与c的位置关系是（）

A.异面B.相交

C.平行D.异面或相交

答案D

解析。与c不可能平行，若a〃c,又因为。〃b,所以。〃c,这与Z?Cc=A

矛盾，而a与c异面、相交都有可能.

2.如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）

B

A.2对B.3对

C.4对D.6对

答案B

解析据异面直线的定义可知共有3对.AP与8C,CP与AB,BP与AC.

3.如图所示，在长方体木块ABCO—AiBiG。中，E,尸分别是8。和CO

的中点，则长方体的各棱中与打平行的有（）

A.3条B.4条C.5条D.6条

答案B

解析由于E、尸分别是BO、CO的中点，故EF〃BC,因为和棱囱。

平行的棱还有3条：AD,BC、所以共有4条.

4.异面直线a,b,有a,Z?枭尸且aCS=c,则直线。与a,Z?的关系

是（）

A.c与a,。都相交

B.c与a,8都不相交

C.c至多与a,8中的一条相交

D.c至少与a,〃中的一条相交

答案D

解析若c与。、。都不相交，与a在a内，：.a〃c.

又c与8都在用内，：.b//c.

由基本性质4,可知。〃乩与已知条件矛盾.

如图，只有以下三种情况.

故直线c至少与a,。中的一条相交.

5.已知E,F,G,"分别为空间四边形A8CD的各边AB,BC,CD,DA

的中点，若对角线8。=2,AC=4,则EG2+M的值是（平行四边形的对角线的

平方和等于四条边的平方和X）

A.5B.10C.12D.不能确定

答案B

解析如图所示,

D

B

由三角形中位线的性质可得E”^380,FG*BD,再根据公理4可得四边

形EFG”是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG?

+HF2=2X（l2+22）=10.

6.如图所示的是正三棱锥的展开图（。，E分别为PB,出的中点），则在正

三棱锥中，下列说法正确的是（）

A.直线。E与直线AF相交成60。角

B.直线OE与直线AC相交

C.直线。E与直线A8异面

D.直线AR与直线8C平行

答案A

解析将题中的展开图还原成正三棱锥，如图所示,

点口与点尸重合，易知在△POE中，PD=PE=DE,APOE是等边三角形,

故NPED=60。，即直线OE与Ab相交成60。角，A项正确.由图易知其余选项

均错误.

7.如图所示，在三棱锥A-8CO中，M,N分别为AB,CD的中点，则下列

结论正确的是（）

A.MN^AC+BD)

B.MN^(AC+BD)

C.MN=^(AC+BD)

D.MN<g(AC+BD)

答案D

解析如图所示,

NE,则ME=%C,NE=gBD,所以ME+NE=

取8C的中点E,连接ME,

；(AC+B。).在△MNE中，有ME+NE>MN,所以MN<g(AC+B。).

8.如图，在正方体ABCD-A\B\C\D\中，3。和B\D\是正方形ABCD和

AIBGDI的对角线，

(l)NOBC的两边与的两边分别平行且方向相同;

(2)NDBC的两边与的两边分别平行且方向相反.

答案(l)NDiBG(2)ZBiDiAi

解析(1)8。1〃8。,81。1〃8。并且方向相同，所以/。8。的两边与/。出。

的两边分别平行且方向相同；

Q)