光学设计作业

目录

1光学系统像质评价方法........................................................1

1.1几何像差...............................................................1

1.1.1色差.............................................................2

1.1.2轴上像点的单色像差..............................................3

1.1.3轴外像点的单色像差..............................................4

1.1.4正弦差、像散、畸变.............................................6

1.2垂轴像差...............................................................6

2光学自动设计方法...........................................................8

2.1光学自动设计程序的数学过程............................................8

2.2阻尼最小二乘法光学自动设计程序.......................................10

2.3适应法光学自动设计程序...............................................12

3望远镜......................................................................15

3.1望远镜物镜设计........................................................15

3.1.1选择初始结构....................................................15

3.1.2优化............................................................16

3.2望远镜目镜设计.......................................................16

3.2.1参数计算........................................................17

3.2.2选择初始系统：.................................................17

3.2.3优化..........................................................18

3.3物镜目镜组合..........................................................19

4照相物镜设计................................................................21

4.1选择初始结构..........................................................21

4.2优化..................................................................22

5变焦系统设计...............................................................24

现代光学设计方法

1光学系统像质评价方法

要求：掌握采用常用评价指标评价光学系统成像质量的方法，对几何像差和垂轴

像差进行分类和总结。

任何一个光学系统都不可能理想成像，因此存在一个光学系统成像质量优劣

的评价问题，从不同的角度出发会得到不同的像质评价指标。

在检测阶段的像质评价指标有星点检测、分辨率检测。

在设计阶段的像质评价指标，可以分为以下两类：1、几何光学方法，包括

几何像差、波像差、点列图和几何光学传递函数。2、物理光学方法，包括点扩

散函数、相对中心光强、物理光学传递函数。

1.1几何像差

「垂轴色差

（色差<

L轴向色差

〃细光束弧矢场曲

像散

轴上一球差

几何像差\弧矢球差

畸变C弧矢

弧矢场曲

正弦差

<弧矢慧差

单色像差\轴外

〃细光束子午场曲

子午球差

I子午

子午场曲

I子午慧差

图1-1几何像差的分类

1

现代光学设计方法

1.1.1色差

光波实际上是波长为400〜760nm的电磁波，不同波长的光在真空中传播的

速度都是光速，但在介质中的传播速度随波长而改变，由n=c/v可知，光学系统

中介质对不同波长的光的折射率不同。薄透镜的焦距公式为：

由于折射率n随波长的不同而变化，因此焦距尸也随之变化。当对无限远

的轴上物体成像时，不同颜色光线所成像的位置也就不同。我们把不同颜色光线

理想像点位置之差称为近轴位置色差，通常用C和F两种波长光线的理想像平

面间的距离来表示近轴位置色差，也成为近轴轴向色差。若乙和（分别表示F

与C两种波长光线的近轴像距，则近轴轴向色差""为：

△/尸C=/尸，—

当焦距随波长改变时，像高V也随之改变，不同颜色光线所成的像高也

不一样。这种像的大小的差异称为垂轴色差，它代表不同颜色光线的主光线和同

一基准像面交点高度（即实际像高）之差。通常这个基准像面选定为中心波长的

理想像平面。若和Vzc分别表示F和c两种波长光线的主光线在D光理想像

平面上的交点高度，则垂轴色差为：

FC~VZF—yzc

2

现代光学设计方法

1.1.2轴上像点的单色像差

轴上有限远同一物点发出的不同孔径的光线通过系统后不再交于一点，成像

不理想。为了表示这些对称光线在光轴方向的离散程度，采用不同孔径光线的聚

交点对理想像点4的距离44。、44-85等等来表示，称为球差，用符号瓦表

示，&的计算公式是：

8L=L'-r

式中，Z代表一宽孔径高度光线的聚交点的像距；/'为近轴像点的像距。如果系

统理想成像，则所有出射光线均交于理想像点4,球差

0

应仰=驾.85=^0.7071=孔。5=心3=.反之，球差值越大，成像质量越差。

3

现代光学设计方法

1.1.3轴外像点的单色像差

轴外物点发出的通过系统的所有光线在像空间的聚交情况比轴上点复杂。为

了能够简化问题，同时又能定量地描述这些光线的弥散程度，从整个入射光束中

取两个相互垂直的平面光束，用这两个平面光束的结构来近似地代表整个光束的

结构。将系统的对称面称为子午面，如下图中的平面将过主光线与子

午面垂直的平面称为弧矢面，如下图中的平面3。十。一平面。用来描述这两个平

面光束结构的几何参数分别成为子午像差和弧矢像差。

1.1.3.1子午像差

子午光线对通过系统后的所有光线都应交在理想像平面上的同一点。由于有

像差存在，光线对的交点既不在主光线上，也不在理想像平面上。为了表示这种

差异，我们用子午光线对的交点瓦离理想像平面的轴向距离X?表示此光线对交

点偏离主光线的程度，成为“子午场曲”。如下图所示。用光线对交点屏离开主

光线的垂直距离表示此光线对交点偏离主光线的程度，成为“子午彗差”。当

光线对对称地逐渐向主光线靠近，宽度趋于零时，它们的交点耳趋近于一点瓦，

瓦显然应该位于主光线上，它离开理想像平面的距离称为“细光束子午场曲”，用

为表示。不同宽度子午光线对的子午场曲和细光束子午场曲天之差（Xr-xJ,

代表了细光束和宽光束交点前后位置的差。此差值成为“轴外子午球差"，用

4

现代光学设计方法

表示:

SLrp=XT—xt

1.1.3.2弧矢像差

如下图所示，阴影部分所在平面即为弧矢面。把弧矢光线对的交点用到理

想像平面的距离用Xs表示，称为“弧矢场曲”；瓦到主光线的距离用K,s表示，

称为“弧矢彗差”。主光线附近的弧矢细光束的交点瓦到理想像平面的距离用“】

表示，称为“细光束弧矢场曲”；X；-%称为“轴外弧矢球差，，，用区s表示：

5

现代光学设计方法

1.1.4正弦差、像散、畸变

对于某些小视场大孔径的光学系统来说，由于像高本身较小，彗差的实际数

值更小，因此用彗差的绝对数值不足以说明系统的彗差特性。一般改用彗差与像

高的比值来代替系统的彗差，称正弦差，用符号S。'表示：

SC'-

y

sc'的计算公式为：

兀_sinU.，/'-/；］

sinU勿1V-lz

对于用小孔径光束成像的光学系统，它在理想像平面上的成像质量由细光束

子午和弧矢场曲西，X；决定。二者之差反映了主光线周围的细光束偏离同心光束

的程度，称为“像散”，代表了主光线周围细光束的成像质量，用符号/表示：

把成像光束的主光线和理想像平面交点的高度作为光束的实际像高，那么它

和理想像高的差值称为“畸变”。畸变不影响像的清晰度，只影响像的变形。

1.2垂轴像差

利用不同孔径子午、弧矢光线在理想像平面上的交点和主光线在理想像平面

上的交点之间的距离来表示的像差，称为垂轴几何像差。

为了表示子午光束的成像质量，在整个子午光束截面内取若干对光线，一般

取±LOh,±0.85h,±0.7071h,±0.5h,±0.3h,Oh这11条不同孔径的光线，计算

出它们和理想像平面交点的坐标，由于子午光线永远位于子午面内，因此在理想

像平面上交点高度之差就是这些交点之间的距离。求出前10条光线和主光线（0

孔径光线）高度之差即为子午光束的垂轴像差，如下图所示。

为'=了一%

为了用垂轴像差表示色差，可以将不同颜色光线的垂轴像差用同一基准像面

6

现代光学设计方法

和同一基准主光线作为基准点计算各色光线的垂轴像差。一般情况下，我们采用

平均中心波长光线的理想像平面和主光线作为基准计算各色光光线的垂轴色差。

为了了解整个像面的成像质量，同样需要计算轴上点和若干不同像高轴外点的垂

轴像差。对轴上点来说，子午和弧矢垂轴像差是完全一样的，因此弧矢垂轴像差

没有必要计算0视场的垂轴像差。

7

现代光学设计方法

2光学自动设计方法

要求：学习光学自动设计和两种常用自动设计程序的原理，掌握阻尼最小二乘法

自动设计程序的使用方法，或掌握ZEMAX软件中的自动设计程序使用方法

2.1光学自动设计程序的数学过程

随结构参数改变的参数。它们包括代表系统成像质量的各种几何像差或波像

差。同时也包括某些近轴光学特性参数，如焦距尸，放大率/，像距J出瞳距

等等。为了简单起见，将第二类参数统称为像差，用符号片，…，乙代表。

系统的结构参数用符号毛，…，Z代表。两者之间的函数关系可用下列形式表

fl(%i,x.)=6

fm(X[％—Fr

式中，力，…，力"分别代表像差片，…，工■与自变量/，…，%之间的函数关

系。上式称为像差方程组。光学设计问题从数学角度来看，就是建立和求解这个

像差方程组。

要找出符合条件的解，关键的问题还是要给出像差和结构参数之间的函数关

系。但这里找不出像差和结构参数之间具体函数形式。在这种情况下，工程数学

中最常用的方法是把函数表示成自变量的哥级数，根据需要和可能，选到一定的

嘉次，然后通过实验或数值计算的方法，求出若干抽样点的函数值，列出足够数

量的方程式，求解出越级数的系数，这样函数的累级数形式即可确定。最简单的

情形是只选取越级数的一次项，即把像差和结构参数之间的函数关系，近似用下

列线性方程来代替

-X0n)

8

现代光学设计方法

式中，品为原始系统的像差值；（X。"""。"）为原始系统的结构参数；/为像差的

目标值；（五「为像差对各个自变量的一阶偏导数。

求'次"这些偏导数的方法是通过像差计算求出函数值对各个结构

参数的差商1派—‘灰），用差商来近似地代替这些偏导数。具体的步骤是把原

始系统的某个结构参数改变一个微小的增量加，使x=%+加，重新计算像差值

造名

得到相应的像差增量吁=/一心。用像差对该自变量的差商加代替微商派。对

每个自变量重复上述计算，就可以得到各种像差对各个自变量的全部偏导数。利

用这些近似的偏导数值就能列出一个像差和自变量之间的近似的线性方程组

_上01A上LA

五F1=%F+—♦+...+£%

『仆言必+…+看此

上式称为像差线性方程组，用它来近似代替像差方程组（2-1）。这就是光学自

动设计的基本出发点。

为了简单可以用矩阵形式来表示上述方程组，设：

&cn

Ax】xQ—x01AF]Fx—F01A_

,组

-...—...—...—...

X-xAFF-F

non，mmOm，

这样像差线性方程组的矩阵形式为：

AAx=AF

求解上述线性方程组，得到一组解盘，然后用一个小于1的常数。乘心得到:

Ax?=Ax-p

9

现代光学设计方法

按&P对原系统进行修改，当P足够小时，总可以获得一个比原系统有所改

善的新系统。因为当P足够小时，像差线性方程组能近似反映系统的像差性质。

把新得到的系统作为新的原始系统，重新建立像差线性方程组后进行求解。这样

不断的重复，知道各种像差符合要求为止。这就是目前绝大多数光学自动设计程

序所采用的主要数学过程。

2.2阻尼最小二乘法光学自动设计程序

当像差数大于自变量数的情形：m>n,这时方程组是一个超定方程组，它不

存在满足所有方程式的准确解，只能求它的近似解一最小二乘解。

首先定义一个函数组，他们的意义如以下公式所示：

…-M

加dx„

.=善用+.“+善此一

沃1dxn

cpm称为“像差残量”，写成矩阵形式为：

（P=AAx-AF

取各像差残量的平方和构成另一个函数①（'）：

①（一）=-一=:m嬷

Z=1

①（Ax）在光学自动设计中成为“评价函数,，，能够使0（'）=°的解（即

6=•••=91n=0）,就是像差线性方程组的准确解。当m>n时，它实际上是不存

在的。这里改为①（心）的极小值解，作为方程组的近似解，称为像差线性方程组

的最小二乘解。

将（P代入评价函数得：

minO（Ax）=min，嬷=min［（AAx-AF）r（AAr-AF）］

10

现代光学设计方法

①（Ax）=（AAx—AF）r（AAx—AF）

=［（AAx）r-AFr］（AAr-AF）

=（A/Ar-AFr）（AAr-AF）

=AxrArAAr-AFrAAx-ArrArAF+AFrAF

根据多元函数的极值理论，①（以）取得极小值解的必要条件是一价偏导数等

VO（Ar）=0

运用矩阵求导规则求一阶偏导数：

VO（Ar）=2ArAAr-ArAF一ArAF=2（ArAAr-ArAF）=0

ArAAx-ArAF=0

只要方阵ATA为非奇异矩阵，即它的行列式值不等于零，则逆矩阵（ATA）-l

存在，方程式有解，解的公式为：

Ax=（ArA）-1ArAF

要使ATA非奇异，则要求方程组的系数矩阵A不产生列相关。即像差线性

方程组中不存在自变量相关。在光学设计中，由于像差和结构参数之间的关系是

非线性的。同时在比较复杂的光学系统中作为自变量的结构参数很多，很可能在

若干自变量之间出现近似相关的现象。这就使矩阵ATA的行列值接近于零,ATA

接近奇异，按最小二乘法求出的解很大，大大超出了近似线性的区域，用它对系

统进行修改，往往不能保证评价函数的下降，因此必须对解向量的模进行限制。

改为求下列函数的极小值解：

L=①（Ax）+

这样做的目的是，既要求评价函数①（心）下降，又希望解向量的模

=AxrAx

，不要太大。经过这样改进的最小二乘法，称为阻尼最小二乘法,

常数p称为阻尼因子。上述函数L的极小值解得必要条件为：

L=2ArAAx-2ATAF-2pAx=0

或者:

11

现代光学设计方法

（ATA+=ATAF

上式为阻尼最小二乘法的法方程组。式中，/为单位矩阵；”为阻尼因子。解的

公式为：

Ax=（ArA+pl^A^^F

以上公式中的逆矩阵（A'A+"厂永远存在。在像差线性方程组确定后，即

A和AF确定后，给定一个p值就可以求出一个解向量及。p值越大心的模越

小，像差和结构参数之间越接近线性，越有可能使中（心）下降。但是心太小，

系统改变不大，①（心）下降的幅度越小。因此必须优选一个p值，使①（心）达到

最大的下降。具体的做法是，给出一组p值，分别求出相应的解向量及，用它

们分别对系统结构参数进行修改以后，用光路计算的方法求出它们的实际像差

m

①

值，并计算出相应的评价函数值，，公式中"为系统实际像差和目标

值的差，即实际的像差残量。比较这些小值的大小，选择一个使中达到最小的P

值，获得一个新的比原始系统评价函数有所下降的新系统。然后把这个新系统作

为新的原始系统，重新建立像差线性方程组，这样不断重复直到评价函数①（'）

不再下降为止。采用上述求解方法的光学自动设计称为“阻尼最小二乘法”。

2.3适应法光学自动设计程序

当像差线性方程组中，方程式的个数m小于自变量个数n时，方程组是一

个不定方程组有无穷多组解，这时选用解向量的模为最小的那组解，因为解向量

的模越小，像差和自变量之间越符合线性关系。相当于在满足像差线性方程组的

n

^）（八丫）—〉）八丫2——丫，八丫

条件下，求-'的极小值解。把像差线性方程组作为一个约

束方程组，求函数①3）=&&的极小值。

12

现代光学设计方法

min①（Ax）=min（AxrAx）

同时满足约束方程组：

AAx=AF

构造一个拉格朗日函数L：

L=①（Ar）+X（AAr—AF）

拉格朗日函数L的无约束极值，就是①的约束极值。函数L中共包含有AX和入

两组自变量，其中©为〃个分量，而2为他个分量，共有机+〃个自变量。根据

多元函数的无约束极值条件为乙=0,得：

aLr

ax=2Ax+A2=0

aL

a/l=AAx—AF=0

求解AX：

1T

Ax=——ATA

2

将其代入前式得：

/L=-2Ar（A4r）-1AF

Ax=Ar（AAr）^AF

上式就是我们所要求的约束极值的解。解存在的条件是逆矩阵（ATA）-l存在，即

ATA为非奇异矩阵，这就要求像差线性方程组的系数矩阵A不发生行相关，即

不发生像差相关。用上面这种方法求解像差线性方程组的光学自动设计方法称为

“适应法”。

当像差数机等于自变量数"时，像差线性方程组有唯一解，系数矩阵A为

方阵，一下关系成立

（A4r）-1=（Ar）-1A-'

带入前式得：

Ax=Ar（Ar）_1A_1AF=A-1AF

显然上式就是像差线性方程组的唯一解。因此该式既适用于m<n的情形，

也适用于m=n的情形。由以上求解过程可以看到，使用适应法光学自动设计程

13

现代光学设计方法

序必须满足的条件是：像差数小于或等于自变量数；像差不能相关。

适应法像差自动校正程序的最大特点是：第一，参加校正的像差个数他必须

小于或等于自变量个数小第二，参加校正的像差不能相关。因为适应法求出的

解，严格满足像差线性方程组的每个方程式。如果m>n,或者某两种像差相关,

像差线性方程组就无法求解，校正就要中断。这是适应法和阻尼最小二乘法的最

大区别。

14

现代光学设计方法

3望远镜

3.1望远镜物镜设计

要求：焦距为200,半视场角为4。，相对孔径为1：5

3.1.1选择初始结构

初始结构如下图所示:

EditSolvesOptionsHelp

该初始结构的焦距为200.49,相对孔径为156,2。=12二

此时的系统结构如下图所示:

15

现代光学设计方法

该系统的MTF函数及点列图如下图所示:

3.1.2优化

选取rl、r2、r3和第一面的厚度设为变量，将焦距设为200,优化后可得系统结

构参数、MTF、点列图如下图所示:

Surf:TypeComaentRadiusThicknessGlassSemi-Diameter

OBJStandardInfinityInfinityInfinity

STOStandard168.420163V10.217385VK920.051849

2Standard-7S.214876V4.000000ZF120.084434

3Standard-173.121963V194.104SS0H20.231458

IMAStandardInfinity14.234605

3.2望远镜目镜设计

要求：与之前的望远镜物镜进行配合，视放大率为6倍，目镜出瞳距离为20。

16

现代光学设计方法

3.2.1参数计算

之前的望远镜物镜相关参数如下：了=200,视场角2仞=8。，相对口径为1：5,

根据望远镜的视放大率公式：

「工工6

D'3

「I—_ta_n__of

可得了，=33.333祖祖，由tan(y,仞=4°,可得万=22.76。

由此得到的目镜相关参数为：

f'e=33,333mm

2仞=45.52°

3.2.2选择初始系统:

Surf:TypeCommentRadiusThicknessGlass

OBJStandardInfinityInfinity

STOStandardInfinity20.000000

2Standard117.8500002.000000ZF1

3Standard27.S1000010.500000K9

4Standard-32.4400000.500000

5Standard3Z.440000P10.500000K9

6Standard-27.510000P2.000000ZF1

7Standard-117.850000P22.115283

IMAStandardInfinity-

该初始结构的焦距为29.93,2«=44°0

该结构的MTF以及点列图如下所示:

17

现代光学设计方法

3.2.3优化

选取优化变量后，优化可得一下结构参数:

Surf:TypeRadiusThicknessGlass

OBJStandardInfinityInfinity

STOStandardInfinity20.000000

2Standard-243.088403V2.008371ZF1

3Standard37.227211V10.543946K9

4Standard-26.528253V0.502093

SStandard26.528253P13.054409K9

6Standard-37.227211P4.016741ZF1

7Standard243.088403P21.900743H

IMAStandardInfinity-

优化后的系统结构图如下所示:

MafKt/rOMM,*,no

LAYOUT

MONNOU212011

TOTALLENGTH：72,02630MM

TELESCOPE_EYE,ZMX

CONFIGURATION1OF1

18

现代光学设计方法

优化后的系统MTF以及点列图如下所示:

so

FER

XHOMATI'C'

IGUPATION*!OJ

3.3物镜目镜组合

将3.1和3.2中所得到的物镜、目镜参数结构一并输入，可得望远系统结构。

LensDataI

EditSolvesOptionsHelp

Surf:TypeCoiment-RadiusThicknessGlass

OBJInfinity

STOStandard168.42016310.217385K9

2Standard-75.2148764.000000ZF1

3Standard-173.1Z1963194.104550

4StandardInfinity21.900743

SStandard-243.0884034.016741ZF1

6Standard37.22721113.614S69EK9

7Standard-26.5282530.502093

8Standard26.5Z8253P10.543946K9

9Standard-37.ZZ7211P2.008371ZF1

10Standard243.088403P20.000000

IMAStandardInfinity-

19

现代光学设计方法

望远系统的结构图如下所示:

t:layout

PrWJnom

LAYOUT

MONNOV212011

TOTALLENGTH：280,908H0MM

丁匚L匚SCOPfZ—CLL.ZMX

CONFIGURATION1OF1

20

现代光学设计方法

4照相物镜设计

要求：焦距为50,半视场角为25。，相对孔径为1：30

4.1选择初始结构

LensData

EditSolvesOptionsHelp

Surf:TypeCommentRadiusThicknessGlass

OBJStandardInfinityInfinity

1St-andard41.3000008.930000ZK11

2Standard95.9400000.200000

3Standard27.4200009.220000ZK7

4Standard66.5300002.3S0000F3

5Standard18.32300016.370000

STOStandardInfinity14.370000

7Standard-21.4300002.350000F5

8Standard169.9000009.9000