天津市塘沽第一中学2022年数学高三上期末联考试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件2．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．3．设，，则（）A． B．C． D．4．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．5．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（）A． B． C． D．7．已知集合，则（）A． B．C． D．8．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（）A． B．C．6 D．9．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④10．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2 B． C． D．11．已知命题若，则，则下列说法正确的是（）A．命题是真命题B．命题的逆命题是真命题C．命题的否命题是“若，则”D．命题的逆否命题是“若，则”12．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.14．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根.15．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．16．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线左支交于两点，，的内切圆的圆心的纵坐标为，则双曲线的离心率为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.18．（12分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望．20．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面积为，周长为8，求b.21．（12分）已知，，，，证明：（1）；（2）.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段上，P是的中点，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.2、D【解析】

首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【详解】，令，得，．其单调性及极值情况如下：x0+0_0+极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）．（图1）（图2）于是可得，故选：D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.3、D【解析】

由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解：因为，，则，且，所以，，又,即,则，即，故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.4、A【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.5、C【解析】

由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】，且，，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.6、C【解析】

原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.【详解】解：由及正弦定理得.因为，所以代入上式化简得.由于，所以.又，故.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.7、C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合，∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.8、D【解析】

先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意，则，，得，由定义知，故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.9、D【解析】

计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10、D【解析】

以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为．故选D．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．11、B【解析】

解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；命题的否命题是“若，则”，C选项错误；命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.12、A【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．14、①②④【解析】

由函数，对选项逐个验证即得答案.【详解】函数，是周期函数，最小正周期为，故①正确；当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.的对称轴方程为，，故②正确；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故③错误；作出函数的部分图象，如图所示方程在区间有6个根，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.15、【解析】

如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，根据正四棱锥的侧面积求出的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.【详解】如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，，，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.16、2【解析】

由题意画出图形，设内切圆的圆心为，圆分别切于，可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义，求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式，即可求得双曲线的离心率.【详解】设内切圆的圆心为，圆分别切于，连接，则，故四边形为正方形，边长为圆的半径，由，，得，与重合，，，即——①，——②联立①②解得：，又因圆心的纵坐标为，.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解析】

(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.18、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）连接，设，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）连接，设，连接，在四棱柱中，分别为的中点，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，四边形为正方形，，，则，，，，，，，设为平面的法向量，为平面的法向量，由得：，令，则，，由得：，令，则，，，，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.19、（1）43，47；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数；（2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为，故，写出分布列即可得解.【详解】（1）中位数为，众数为．（2）被调查的名工人中优秀员工的数量，任取一名优秀员工的概率为，故，，，的分布列如下：故【点睛】此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.20、（1）；（2）【解析】

（1）通过正弦定理和内角和定理化简，再通过二倍角公式即可求出；（2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b的表达式后即可求出b的值.【详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得，结合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，