2024届高考数学一轮复习强化练第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义导数的运算

第1讲导数的概念及其意义、导数的运算1.已知f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）（x－6），则f'（3）＝－12.解析易得f'（x）＝（x－3）'[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]＋（x－3）·[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]'，则f'（3）＝2×1×（－1）×（－2）×（－3）＝－12.2.[2021新高考卷Ⅰ]若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（D）A.eb＜a B.ea＜b C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea解析解法一（数形结合法）设切点为（x0，ex0），则切线方程为y－ex0＝ex0（x－x0），因为切线过点（a，b），所以b－ex0＝ex0（a－x0），ex0（1－x0＋a）＝b，则由题意知关于x0的方程ex0（1－x0＋a）＝b有两个不同的解.设f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a）.由f'（x）＝0得x＝a，当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea.当x＜a时，a－x＞0，所以f（x）＞0，当x→－∞时，f（x）→0，当x→＋∞时，f（x）→－∞，（提示：判断函数极值点左右两侧的图象特征很重要，需掌握用极限思想判断函数图象的趋势，从而能准确作出草图）则函数f（x）＝ex（1－x＋a）的大致图象如图1所示.因为f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜ea.故选D. 图1 图2解法二（用图估算法）作出曲线y＝ex，如图2所示，过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则点（a，b）在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0＜b＜ea.故选D.3.[命题点2角度2]若点P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的图象上，且过点P仅能作一条直线与f（x）的图象相切，则a的取值范围为（－∞，0）∪（12，＋∞）解析点P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的图象上，则f（1）＝1－a≠a，即a≠12.P（1，a）的直线与f（x）＝x3－ax的图象切于点Q（t，t3－at），f'（x）＝3x2－a，则切线的斜率k＝f'（t）＝t3－at－at－1，即3t2－a＝t3－at－atg（t）＝2t3－3t2＋2a仅有1个零点.g'（t）＝6t2－6t，令g'（t）＝0，得t＝0或t＝1，所以g（0）·g（1）＞0，（数形结合可得）即2a（2a－1）＞0，所以a＞12或a＜4.已知函数f（x）＝｜ex－1｜，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则｜AM｜｜BN｜的取值范围是（解析解法一（构造函数法）f（x）＝｜ex－1｜＝ex－1，x≥0f'（x）＝ex，f'（x2）＝ex2；当x＜0时，f'（x）＝－ex，f'（x1）＝－ex1.因为函数f（x）的图象在点A，B处的两条切线互相垂直，所以－ex1ex2＝－1，即ex1＋x2＝1，所以x1＋x2＝0.因为A（x1，1－ex1），B（x2，ex2－1），所以函数f（x）的图象在点A，B处的切线方程分别为y－（1－ex1）＝－ex1（x－x1），y－（ex2－1）＝ex2（x－x2），分别令x＝0，得M（0，x1ex1＋1－ex1），N（0，－x12＋（x1ex1）2（－x1）2＋（－x1e－x解法二（不等式性质法）当x＞0时，f（x）＝ex－1，f'（x）＝ex，所以kBN＝ex同理可得kAM＝－ex1所以ex2（－ex1）＝－1，所以x1＋x2＝所以｜AM｜｜BN｜＝1+因为x2＞0，所以0＜1ex2＜1，即｜AM｜｜5.[2023河南省部分重点中学联考]已知函数f（x）＝lnx的图象在点P（1，f（1））处的切线也是函数g（x）＝aex的图象的一条切线，则a＝e－2.解析由f（x）＝lnx，得f（1）＝0，f'（x）＝1x，所以切线的斜率k＝f'（1）＝1，切线方程为y－0＝1·（x－1），即y＝x－1.设