圆-四点共圆习题

第五讲四点共圆

四点共圆的知识应用很广泛，其作用是在圆中起到角和圆幕的传递，并且在证明线段相等或角相等、

直线平行或垂直、比例或等积式中，常常可以起到化难为易、化繁为简的作用，是条件与结论之间的纽带.

我们熟练地掌握四点共圆地有关知识，能收到良好的效果.

一、基础知识

1、四点共圆的判定方法

(1)利用圆的定义，即：各点与一定点等距离(R),则各点在

以定点为圆心，半径为R的圆上；

(2)若一线段(AB)同侧的两个点C和D,对这条线段的两点

(A和B)的张角相等，则这四点A、B、C、D共圆：

(3)若一线段(AB)异侧的两个点C和D,对这条线段的两点

A、B的张角互补，则A、B、C、D四点共圆；

(4)两线段AB、CD交于E点，若满足AEEB=CEED,则A、

B、C、D四点共圆；

(5)两线段OAB和OCD,若满足OAOB=OCOD,贝！|A、B、

C、D四点共圆；

(6)由四点所构成的凸四边形的一个外角等于内对角，则凸四

边形四个顶点共圆.

二、例题

例1(十)通过两个相交圆得公共弦上的任一点P,引第一个圆的弦KM和第二个圆的弦LN,证明：KLMN

可内接于一圆.

N

>-O2

or

L

例2(★)圆Oi,Ch相交于AB,P是BA延长线上一点，割线PCD交圆Oi于C、D,割线PEF交圆

。2于E、F,求证：C、D、E、F四点共圆.

例3(★)AB为圆直径，过A在AB同侧作弦AP、AQ,交B处的切线于点R、S,求证：P、Q、S、R

四点共圆;

例4(*)A为。O外一点，AB,AC和。O分别切于B、C两点，APQ为。O的一条割线，过B作BR〃AQ

交。O于点R,连结CR交AQ于点M,试证：A、B、C、O、M五点共圆；

例5(★)/ABC中，AB=AC,NA=90。，AM为底边BC上的中线，过M、C两点的圆交AC于E,

交BE于F,求证：AF±BE；

例6(★★)过已知。O的中心作OA垂直于圆外的直线MN,自垂足A作圆的割线交圆于B、C,过B、

C分别作圆的切线交MN于D、E,求证：AD=AE；

例7(★★)AB、AC切。O于B、C,任作割线AEF交圆周于E、F,弦BD平分弦EF交EF于M,求

证：CD/7EF；

例8(**)已知，OO与。(T外切于P,过P点作直线交。O与。O,于A、B,AC是。O的弦，过B

点作。(T的切线交AC的延长线于D,求证：APAB=ADAC；

例9(★★)圆O”。2相交于A、B,从圆6上一点P引直线PA、PB,交圆Ch于C、D,过P作PH

J_CD于H,求证：PH过圆Oi的圆心；

例10如图，AD是圆的直径，直线1是过D的切线，割线AB、AC交1于点B、C,交圆于点E、

F；(1)求证：AEAB=AFAC；(2)如果使直线1向上平行移动成为圆的割线，而AB、AC仍与1交于

点B、C,与圆仍交于点E、F,那么等式AE・AB=AF-AC是否仍成立，为什么？

例11(★★)PA、PB为。O的切线，A、B为切点，连结AB与PO交于M,QR是过M的任意一条弦,

求证：OP平分NQPR；

例12如图，P为。O上任一点，AB为任意弦，过AB作0O的两条切线相交于Q,PDLQA于

D,PEJ_QB于E,PC_LAB于C,求证：PC2=PDPE；

例心(★★★)如图，OO内接/ABC,AQJ_BC于D点，交。。于Q,AD是。O,的直径，OO,交AB

于M,交AC于N,AQ交MN于P,求证：AD2=APAQ；

例14(★★★)在/ABC中边AB=AC,有一个圆Oi内切于/ABC的外接圆O并且与AB、AC分别相

切于P、Q,求证：P、Q连线的中点O是/ABC的内切圆的圆心；

三'练习题

1.(★)锐角/ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中，能组成四

点共圆的组数为()

A.4组B.5组C.6组D.7组

2.(★)在/ABC中，AB=AC,D为BC边中点，且BEJ_AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,

则PA的值为()

A.V3c.V2D.V6

3.98年全国联赛)直线AB和AC与。O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，如图，P到AB、

AC的距离分别为6厘米，4厘米，则P到BC的距离为；

4.89年全国联赛)正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内一点，且NOPB

=45°,PA；PB=5：14,贝！］PB=；

5.(★)已知PA是/ABC的外接圆的切线，PD〃AC且与AB、BC分别交于点E、D,求证：EAEB

=ED-EP；

6.(★)如图，OOi和。Ch相交于A、B两点，过A作一条直线分别交。Oi和。。2于C、D,过C、D

分别作。Oi和。02的切线，它们相交于E,连结BC、BD和BE,求证：ZBCD=ZBED.

7.(★★)已知NACE=NCDE=90。，点B在CE上，CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于

点F,求证：F为/CDE的内心；

老题新作

8.(★)已知：BE、CF是/ABC的两条高，M是BC的中点，N是EF中点，求证：M