高中数学-椭圆的简单几何性质二教学设计学情分析教材分析课后反思

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）

本节课选自人教A版新教材高中数学选择性必修一课本第三章第一节的第

二课时，在学了椭圆的概念以及范围、对称性、顶点、离心率四方面的简单几何

教性质后的进一步探究。引导学生探究可以生成椭圆的另一种方法，进而得到椭圆

材

的第二定义，在此过程中使学生理解通径、准线的概念以及相关公式，除此之外，

分

析类比前面所学习的点、直线与圆的位置关系来探究点、直线与椭圆的位置关系，

并针对相交这一种位置关系，进一步探究弦长公式，并尝试应用。

1.了解椭圆的第二定义；

教

2.理解通径、准线的概念、含义；

学

3.掌握通径长公式、弦长公式的内容；

目

.运用椭圆的定义以及简单的几何性质解决相关问题.

标4

教

学

重

占重点：椭圆的几何性质；

小

、难点：椭圆性质的理解和应用.

难

点

教

学

方

法

和导、思、议、展、评、检循环过程，应用多媒体课件和显示仪

手

段

教学过程活动

［导］

通过复习上节课学过的椭圆的性质和范围、对称性、顶点、离心率四方面

的简单几何性质的内容使学生进入学习状态，并提出问题：除了第一节课

学习的椭圆的定义之外，是否还有其他的方法能够生成椭圆呢？椭圆还有

其他性质吗？引出主题-椭圆的简单几何性质(2),同时，学生齐读学习教师板书课题：

目标，了解重难点。3.1.2椭圆的简单几

［学］何性质(2)

二分钟时间，学生研读例1,并且思考解题思路是什么。学生研读例1,填写

［展+评］导纲。

展：学生大胆展示解题思路.

评：此题的解题思路很关键，通过椭圆上的点与焦点构成直角三角形，再

运用椭圆的定义，到两焦点的距离之和为2”，利用勾股定理求得a,进而

求出b,得出椭圆的标准方程.在此题中，从实际生活的背景中，抽取出数

学模型-椭圆，会发现有一条线段很特殊，线段BC经过焦点人并且垂直

与焦点所在的直线，引出通径的概念。

［思］学生在思考后，同

如何求出通径的长？思考时间：2分钟.桌合作讨论。

［议］

对议：通径的长的推导方法.1分钟教师巡视并了解讨

［展+评］论的情况与信息，

学生展示讨论内容，我展示！我补充！我回答！鼓励学生大胆展示，大胆对个别学生进行解

提问，大胆质疑。答。

展：学生1大胆展示：类比例1的解题方法，构成直角三角形，先求通径

长的一半，最后乘以2即可得到通径长；

学生2大胆展示：因为线段BC经过焦点Q,因此三者的横坐标是相同的，

直接代入焦点在x轴上的椭圆标准方程中，求得y有两个值，分别是8,C

的纵坐标，它们的距离即为通径长.

评：推导通径长的方法有多种，同学们要勤于动脑.这是焦点在X轴上的椭

圆通径长，如累:是焦点在y轴上的椭圆通径长又是多少呢？是同样的.

［导+练］

学生研读例2,并且独二工完成解题过程.时间：5分钟.

［展］

学生通过实物技影仪来进行讲解.

曲教师启发询问学

思考：生：题目中的定值

4254

1.题目中的定彳直一实乐上是所求椭圆的什么？直线%=—又可以用一实际上是所求椭

545

a,h,c怎样表示呢？圆的什么？直线

?+2

2.对于椭圆的原始方程，+,X-C。,变形后得到25

+?=2%=——又可以用

4

Q_C)2+>2_

222

a-cx=aJ(x-c)+v.再变形为q怎样表不

ayh,c

a

X-呢？

C

如果将它一般化

程的几何意义如何？

呢？

［展］

学生大胆展示思考成果.

［评］

教师带领同学一起

此过程就是动点生成椭圆的其中一种方法，于是:我们可以得到椭圆的第二

完成导纲，填写基

定义.着重注意等=*=e(O＜e＜1).

本概念.

［思+议］

思考：由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质有哪些?

-y2

①椭圆)+—=1(。＞〃＞。)的准线方程是什，么？

ah

22

②椭圆与+*=1(4＞。＞())的准线方程是什,么？

ab1

③两准线间距离是多少？焦点到相应的准线的建:离是多少？

［议］1分钟

22

组议：①椭圆5+4=13＞人＞0）的准线方程是什么？

ab

22

②椭圆5+，=1（。＞6＞0）的准线方程是什么？

ab

③两准线间距离是多少？焦点到相应的准线的距离是多少？

展：小组展示讨论内容，我展示！我补充！我回答！鼓励学生大胆展示，

大胆提问，大胆质疑.学生自己完成例3,

［学］点、直线与椭圆的位置关系教师巡查学生完成

［思+展］情况，并规范解题

思考：类比点、直线与圆的位置关系，点、直线与桶圆的位置关系有几种？步骤。

分别是什么？

展：学生展示思考成果.

［练］

学生独立完成例3.

［展］

学生通过实物投影仪来进行讲解.

［思+议］

fV2学生自己完成问

思考：设直线y=kx+b交椭圆-方+一=1（。〉人〉0）于点Pi

ah题，学生在黑板上

（Xl,yi）/2（X202）两点,则弦长IP1P2I是多少?演示解题步骤。

组议：针对弦长公式推导过程进行讨论.1分钟

［练］

［例4］己知椭圆5。+9/45,椭圆的右焦点为F,求过点尸且斜率为1的

直线被椭圆截得的弦长.

［评］

引导学生总结求弦长的过程，期间重要的方法是设而不求，要灵活运用韦

达定理.

［小结］

学生讨论本节课学习目标的完成情况。

作［布置作业］

业3.1.2的限时训练.

3.1.2椭圆的简单几何性质(2)

2b2

1、通径，通径长：——;

板a

\ME\\MF\小八

2、第二定义：d=d2=e(()<e<D.

书

3、准线

设

4、点、直线与椭圆的位置关系

计5、弦长公式：d=++%2)2

1[1+?）（凶+为）2-4%为］

教

学

后

记

学情分析

首先，本人所任教这个班级，学生基础较好，成绩较好，主动性较强。其次，以前面学

习的直线与圆的方程为铺垫，类比直线与圆的研究，学生对用代数方法研究儿何问题的方法

和思路有了一定的了解。并且，前几节课学习椭圆的概念以及范围、对称性、顶点、离心率

时强调了重难点，夯实了基础，通过做限时训练来看，学生掌握的还是不错的。因此，进一

步学习椭圆简单的几何性质对于这个班的学生来说难度不是很大，可以考虑把更多的主动权

交到学生手里。

这个班的学生也存在一定的不足之处：计算能力有待加强，尤其遇到计算量大的题目，

容易产生浮躁心理，这是一个必须要改正的缺点。

效果分析

本节课实现了学习目标，重难点得到突破，完成了教学任务。学生参与度高，课堂氛围

比较活跃。学生能够通过自主思考以及合作学习将通径长度、椭圆第二定义、准线方程、点

以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式独立推导出来，达到了深度思考、自我突破的目的。

在整堂课中都是采用问题引领的方式，启发学生一步一步思考，以及如何用所学知识解

决相关问题。尤其在练习题方面，采用了教师点出需要注意的地方，学生独立想思路，自主

完成解题步骤，最后学生自己上黑板将整道题完成清晰地讲出来，其他学生在听的过程中提

出需要改进或者需要纠正的的地方，达到全部学生能够动脑思考，全部参与。

从整体上来说，学生能够在轻松活跃的氛围里达到学会新知识并且可以运用知识解决相

关问题的目的。

教材分析

本节课选自人教A版新教材高中数学选择性必修一课本第三章第一节的第二课时，在

学了椭圆的概念以及范围、对称性、顶点、离心率四方面的简单几何性质后的进一步探究。

在课本中，只是给出了三个例题：例5、例6、例7,例5是一道应用题，反映了椭圆

在实际生活中的应用。由于实际生活的背景与数据往往较为复杂，因此培养学生提取数学模

型和计算的能力。在此题中，从生活背景中抽取出数学模型-已知椭圆通径一半的长度，再

结合2c求出a,进而求出椭圆标准方程的过程。通过例5的解题过程，可以提炼出通径的

定义以及通径长的公式。

例6是求动点M的运动轨迹，其目的是引导学生探究可以生成椭圆的另一种方法，感

受椭圆的另外一种定义方式，进而得到椭圆的第二定义。

例7是以直线与椭圆的位置关系为背景，其目的有三个：第一，让学生认识到直线与椭

圆有几种位置关系：第二，通过次题的解题过程，让学生进一步感受直线与椭圆相交、相切、

相离的三种位置关系；第三，在解题过程中归纳总结判断直线与椭圆位置关系的判断方法和

思路，更好地掌握运用方程研究曲线问题的基本思路和方法。

附加上的例题是针对直线与椭圆相交的这一种位置关系产生的弦设计的，如何求弦长是

一个重要的问题。因此在解决此题时要注意引导求弦长的方法，通过例题最后总结出求弦长

的步骤，让学生亲自体会设而不求的魅力，进一步体会用代数方程解决几何问题的思路和方

法。

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）

班级姓名小组号

【学习目标】

1.知道椭圆的第二定义；

2.知道通径、准线的概念、含义；

3.熟记通径长公式、弦长公式的内容；

4.会运用椭圆的定义以及简单的几何性质解决相关问题.

【重点难点】

重点：椭圆的几何性质；

难点：椭圆性质的理解和应用.

【授课过程】

一、基础感知

研读课本113页到114页的内容，思考并完成以下问题。时间5/〃山。

1.通径

【例11如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成反

的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点Bg

上，片门位于另一个焦点E上.由椭圆一个焦点Q发出的光线，经过旋转椭圆面反射后中

集中到另一个焦点人.已知BCLRFzjF出=2.8cm,|1=4.55/.试建立适当的平面'

直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.Ic/w）.

椭圆的通径

（1）过椭圆的焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段叫做椭圆的____,如图,

线段—即为通径；

思考：通径长是多少？如何推导？/

X

通径长公式为.

2,准线

例2:点M(x,y)与定点尸(4,0面距离和它到直线，：x=竺的距离的比是常数上求点M的

—轨迹F45

思考：对于椭圆的原始方程，J(%+c)2+y2+J(无_c)2+y2=2Q,变形后得

到a2-cx=a\(x-c)2+y，再变用为、(x_c、)-+y2=c这个方程的几何意

a'

x——

义如何？

椭圆的第二定义

(1)平面内与一个定点F的距离和到一条定直线I的距离之比为常数e(0<e<l)

的点的轨迹为椭圆.定点/为椭圆的.定直线I叫做椭圆的,常数

e是椭圆的.如图

思考：由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质有哪些？

①椭圆.+

=1(“>6>0)的准线方程是什么？

②椭圆^2+=1(«>&>0)的准线方程是什么？

③两准线间距离是多少？焦点到相应的准线的距离是多少？

3.直线与椭圆的位置关系，弦长公式

思考：类比点、直线与圆的位置关系，点、直线与椭圆的位置关系有几种？分别

是什么？

直线与椭圆的相交弦：

思考：设直线y=kx+b交椭圆=1(a>b>0)于点Z(X],必),P(x,y),两

a2b1222

点,那么，弦长|P1P2|等于多少?

90

【例3】已知椭圆5x+9），=45,椭圆的右焦点为F,求过点尸且斜率为1的直线被椭圆截得

的弦长.

二'小结

独立思考并小组讨论本节课目标的达成情况.

请写出本节课自己的收获：

课后反思

本节课的学习目标完成的比较好，重难点得到突破。学生能够通过自主思考以及合作学

习将通径长度、椭圆第二定义、准线方程、点以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式独立推

导出来，达到了深度思考、自我突破的目的。

在整堂课中都是采用问题引领的方式，启发学生一步一步思考，以及如何用所学知识解

决相关问题。尤其在练习题方面，采用了教师点出需要注意的地方，学生独立想思路，自主

完成解题步骤，最后学生自己上黑板将整道题完成清晰地讲出来，其他学生在听的过程中提

出需要改进或者需要纠正的的地方，达到全部学生能够动脑思考，全部参与。

还有需要改进的地方，最一道题最好的解决方案应该是教师点明需要注意的点，学生完

成解题步骤，小组