第18讲 尺规作图与定义、命题、定理（原卷）初中数学

第十八讲一一尺规作图与定义、命题、定理

考向一基本作图

典例引领

1.（2020•陕西中考真题）如图，已知△ABC,AC>AB,NC=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一

点、P,使/P8C=45°.（保留作图痕迹.不写作法）

2.（2020•湖北襄阳市•中考真题）如图，RhABC中，ZABC=9O°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论

B.AB=AEC./EDC=/BACD.ADAC=AC

3.（2020•浙江台州市•中考真题）如图，已知线段AB,分别以A,B为圆心，大于24B同样长为半径画弧,

2

两弧交于点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法错误的是（）

1

A.AB平分NCADB.CD平分NACBC.AB±CDD.AB=CD

变式拓展

1.（2020•湖南湘西•中考真题）已知NAQB,作NAO3的平分线OM,在射线上截取线段OC,分别

以0、C为圆心，大于」OC的长为半径画弧，两弧相交于E,F.画直线所，分别交于D,交08于

2

G.那么，AODG一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

2.（2020•广东深圳市•中考真题）如图，已知AB=AC,BC=6,尺规作图痕迹可求出B£>=（）

C.4D.5

2

3.（2020•河北中考真题）如图1,已知NA3C,用尺规作它的角平分线.如图2,步骤如下,

第一步：以3为圆心，以。为半径画弧，分别交射线区4,8c于点£）,E；

第二步：分别以。，E为圆心，以〃为半径画弧，两弧在NA8C内部交于点P

第三步：画射线射线BP即为所求.下列正确的是（）

B.a>0,的长

2

C.。有最小限制，》无限制D.a>0,的长

2

考向二复杂作图

典例引领

1.（2020•福建中考真题）如图，C为线段AB外一点.

AB

（1）求作四边形ABC。，使得CD//AB,且8=248；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形ABCO中，AC,8。相交于点P,AB,8的中点分别为”,N,求证：M,P,N

三点在同一条直线上.

2.（2020•柳州市柳林中学中考真题）通过如下尺规作图，能确定点。是边中点的是（）

3

变式拓展

1.（2020•浙江衢州市•中考真题）过直线/外一点P作直线/的平行线，下列尺规作图中错误的是（）

2.（2020•甘肃兰州市•中考真题）如图，在RSABC中.

（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P,使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长;

（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD.

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

考向三圆中的作图问题

典例引领

1.（2020•浙江嘉兴市•中考模拟）如图，已知蠢④鼐〉应徵=硼的.

（1）在图中，用尺规作出解I酬的内切圆醺，并标出口涯与边盘;，.獴窗，寿:的切点感：，卦声（保

留痕迹，不必写作法）；（2）连接，谡出，盛软，求展盔辎的度数.

4

2.（2020•浙江嘉兴市•中考真题）如图，在等腰aABC中，4B=AC=26,BC=8,按下列步骤作图:

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交A8,AC于点E,F,再分别以点E,尸为圆心，大于工

2

EF的长为半径作弧相交于点H,作射线AH；②分别以点A,B为圆心，大于!48的长为半径作弧相交于

点M,N,作直线MN,交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段04长为半径作圆.则。O的半径为（）

A.275B.10C.4D.5

变式拓展

1.（2020•黑龙江绥化市•中考真题）（1）如图，已知线段A3和点。，利用直尺和圆规作△43C,使点。

是AA6c的内心（不写作法，保留作图痕迹）；

O

AB

（2）在所画的AAbC中，若NC=90°,AC=6,BC=8,则AABC的内切圆半径是

5

2.（2020•江苏盐城市•中考真题）如图，点。是正方形，ABCD的中心.

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点。），使得磴=EC;（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接EB、EC、EO,求证：ZBEO=ZCEO.

考向四逻辑推理

典例引领

1.（2020•北京中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,

4,5.每人选座购票时一，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、

乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票

后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种

满足条件的购票的先后顺序.

6

2.（2020•北京平谷区•九年级二模）如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O为圆心

的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能

力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下儿个推断：

①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；

③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力；④乙的综合评分比甲要高.其中合理的是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

变式拓展

1.（2020•北京门头沟区•九年级一模）疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧

撑.为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划.

首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有占，%,看，

%，*5便于记录.可翱回北.赛J具体游戏规则如下：

甲同学：同时翻开修，/，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，七，%，/按原顺序记

录在表格中；

乙同学：同时翻开演，々，》3,将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，％，/按原顺序记

录在表格中；

以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中.

7

下表记录的是这四名同学五天的训练计划:

星期一星期二星期三星期四星期五

甲同学血/

乙同学X2*3*匕工5

丙同学

X

丁同学%5X2工3

根据记录结果解决问题：

（1）补全上表中丙同学的训练计划；

（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个.

①如果々=36,毛=40,那么占所有可能取值为：

②这四名同学星期做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为个.

考向五真命题'假命题

典例引领

1.（2020•云南昆明市•中考真题）下列判断正确的是（）

A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查

B.一组数据6,5,8,7,9的中位数是8

C.甲、乙两组学生身高的方差分别为S,2=2.3,S/=i.8.则甲组学生的身高较整齐

D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形''是真命题

2.（2020•内蒙古通辽市•中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）

（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解公2一。=。（％+1）（%一1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展

开图的周长一定是14cm；（4）弧长是2（brcm,面积是ZdO/rcn?的扇形的圆心角是1200.

8

1

A.B.D.1

变式拓展

1.（2020•广西贵港市•中考真题）下列命题中真命题是（）

A.4的算术平方根是2B.数据2,0,3,2,3的方差是1

C.正六边形的内角和为360。D.对角线互相垂直的四边形是菱形

2.（2020•湖南岳阳市•中考真题）下列命题是真命题的是（）

A.一个角的补角一定大于这个角B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.等边三角形是中心对称图形D.旋转改变图形的形状和大小

考向六互逆命题与互逆定理

典例引领

1.（2020•上海市九年级期中）下列定理中，没有逆定理的是（）.

A.两直线平行，同旁内角互补B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

C.等腰三角形两个底角相等D.同角的余角相等

2.（2020•内蒙古包头市・）下列命题：（1）对于y=4（kH0）,当左〉0时，y随x的增大而减小；（2）菱

X

b

形的对角线互相垂直；（3）若一＞—c,贝h活〉ac；（4）若加=四，则“2=〃；其中原命题和逆命题均

aa

为真命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

变式拓展

1.（2020•广东广州市•）下列命题的逆命题成立的是（）

9

A.全等三角形的对应角相等B.两个角都是45。，则这两个角相等

C.有两边相等的三角形是等腰三角形D.菱形的对角线互相垂直

2.（2020•安徽滁州市•九年级二模）命题"等边三角形的重心与内心重合”的逆命题

考向七反证法

典例引领

1.（2020•安徽宿州市♦）为了说明命题”等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是.

2.（2020•吉林长春市•）用反证法证明命题“若。。的半径为r,点P到圆心的距离为d,且则点P

在。。的外部”，首先应假设.

变式拓展

1.（2020•湖北宜昌市•中考真题）能说明“锐角a,锐角£的和是锐角”是假命题的例证图是（）.

2.（2020•浙江宁波市•九年级一模）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假

设这个四边形中（）

A.没有一个角是锐角B.每一个角都是钝角或直角C.至少有一个角是钝角或直角D.所有角都是锐角

10

、亨点冲关充

1.（2020・上海九年级二模）现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于

同一条直线的两直线互相平行.其中真命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2019•湖南郴州市•中考真题）如图，分别以线段AB的两端点A,B为圆心，大于‘AB长为半径画弧，

2

在线段AB的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P（不与O重合），连

接PA,PB,则下列结论不一定成立的是（）

B.OA=OBC.OP=OFD.POLAB

3.（2020•浙江嘉兴市•中考模拟）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线1和1外一点P,

用直尺和圆规作直线PQ,使PQL1与点Q分别作出了下列四个图形.其中做法错误的是（）

•P

4.（2020•湖北宜昌市•中考模拟）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是

11

5.（2020•河北中考模拟）尺规作图要求：I、过直线外一点作这条直线的垂线；II、作线段的垂直平分线;

IH、过直线上一点作这条直线的垂线；IV、作角的平分线.

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是（）

A.①-w,②-II,③-I,④-inB.①-W,②-in,③-n,I

c.①-n,②-M③-in,ID.①-W,②-I,③-H,©-III

6.（2019•辽宁铁岭市•中考真题）如图,NM4N=60°,点8为AM上一点，以点A为圆心、任意长为半

径画弧，交AM于点E,交AN于点D再分别以点。，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于

2

点F.作射线AF，在AF上取点G,连接8G,过点G作GCLAN,垂足为点C.若AG=6,则BG的长

可能为（）

A.1B.2C.V3D.273

7.（2019•广西中考真题）如图，在AABC中，AC=BC,NA=40°,观察图中尺规作图的痕迹，可知ZBCG

的度数为（）

12

A.40°B.45°C.50°D.60°

8.（2019•内蒙古巴彦淖尔市•中考真题）如图，在中，NB=90'，以点A为圆心，适当长为半径

画弧，分别交AB、AC于点2E,再分别以点。、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点尸，

2

作射线4尸交边8。于点36=1,4。=4,则A/^76的面积是（）

C.2

9.（2019•新疆中考真题）如图，在AABC中，ZC=90°,NA=30。，以点B为圆心，适当长为半径的画弧,

分别交BA,BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于!MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作

射线BP交AC于点D,则下列说法中不正确的是（）

A.BP是NABC的平分线B.AD=BDC.S^CBD:S^ABD=1:3D.CD=^-BD

10.（2019•山东潍坊市•中考真题）如图，已知按照以下步骤作图：①以点。为圆心，以适当的长

为半径作弧，分别交NAO3的两边于C,。两点，连接CD.②分别以点C,。为圆心，以大于线段OC

13

的长为半径作弧，两弧在NAO3内交于点E,连接C£,DE.③连接0E交CO于点下列结论中错

误的是（）

A.ZCEO=ZDEOB.CM=MDC./0CD=4ECDD.S四边形。虑。=；CD•OE

11.（2009•黑龙江鸡西市•中考真题）尺规作图作NAO3的平分线方法如下：以。为圆心，任意长为半径画

弧交Q4、03于C、D，再分别以点C、。为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P,作射

线OP,由作法得△OCP<AQDP的根据是（）

C.AASD.SSS

12.（2020•渠县崇德实验学校九年级一模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C

三个选项中，只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：

第一题第二题第三题第四题第五题得分

甲CCABB4

乙CCBBC3

丙BCCBB2

TBCCBA—

（1）则丁同学的得分是;

（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）

14

13.（2020•安徽九年级三模）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题是.

14.（2020•安徽滁州市•九年级其他模拟）命题“若两个三角形全等，则它们关于一条直线对称”的逆命题是：

15.（2020•安徽合肥市•九年级二模）命题:“如果m是自然数,那么它是有理数”,则它的逆命题为:.

16.（2020•北京九年级二模）用一个。的值说明命题“若/>1,则是假命题，这个值可以是。=

15

17.（2020•丰台区•北京十八中九年级零模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C

三个选项中，只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：

第一题第二题第三题第四题第五题得分

甲CCABB4

乙CCBBC3

丙BCCBB2

丁BCCBA

（1）则甲同学错的是第_______题；（2）丁同学的得分是；

（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）.

18.（2020•山东德州市•中考模拟）有公路h同侧、12异侧的两个城镇A,B,如下图.电信部门要修建一座

信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路h,L的距离也必须相

等,发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.（保留作图痕迹，

19.（2019•甘肃中考真题）如图，在aABC中，点P是AC上一点，连接BP,求作一点M,使得点M到

AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

16

20.（2020•山东临沂市•）已知0a的半径为小O。？的半径为与，以。|为圆心，以八+弓的长为半径画弧，

再以线段002的中点P为圆心，以;0Q的长为半径画弧，两弧交于点A，连接。①，O.A,。①交。。

于点B,过点B作Q4的平行线交。02于点C.

（1）求证：8c是。。2的切线；（2）若｛=2,弓=1,002=6,求阴影部分的面积.

21.（2020•山西中考真题）阅读与思考

下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.

X年X月X日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上

画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C,作出A3的垂线，用锯子进行裁割，然而

手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在A5上量出C£）=30cm，然后分别以。，C为圆心，以

50的与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E,作直线CE,则ZDCE必为90°.

17

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板

上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动，将木棒绕点N

旋转，使点M落在ABt,在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取

线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则NHCS=90°.

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

任务：

(1)填空；“办法一”依据的一个数学定理是；

(2)根据“办法二”的操作过程，证明NRCS=90°；

(3)①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出A3的垂线(在木板上保留作图痕迹，不写作法);

②说明你的作法依据的数学定理或基本事实(写出一个即可)

22.(2020•山东青岛市•中考真题)已知：△A3C..

求作：。。，使它经过点5和点C,并且圆心。在NA的平分线上,

18

23.(2020•青海中考真题)如图，在R/AABC中，NC=9()°.(1)尺规作图：作的外接圆；

作NACB的角平分线交。。于点D,连接AD.(不写作法，保留作图痕迹)(2)若AC=6,BC=8,求

AD的长.

19

直通》考其

1.（2020•广西中考真题）如图，在AAbC中，BA=BC,ZB=SO°,观察图中尺规作图的痕迹，则ZDCE

2.（2020•贵州贵阳市•中考真题）如图，也AABC中，ZC=90°,利用尺规在8C，84上分别截取防,

BD，使BE=BD；分别以。，E为圆心、以大于'OE为长的半径作弧，两弧在NCB4内交于点F；

2

作射线BE交AC于点G,若CG=1,尸为AB上一动点，则GP的最小值为（）

3.（2020•四川雅安市•中考真题）下列四个选项中不是命题的是（）

A.对顶角相等B.过直线外一点作直线的平行线

C.三角形任意两边之和大于第三边D.如果a=c,那么b=c

4.（2020•安徽中考真题）已知点在。。上.则下列命题为真命题的是（）

A.若半径03平分弦AC.则四边形Q43c是平行四边形

B.若四边形是平行四边形.则NA5C=120。

C.若NA3C=120°.则弦AC平分半径OB

D.若弦AC平分半径03.则半径OB平分弦AC

20

5.（2020•四川凉山彝族自治州•中考真题）下列命题是真命题的是（）

A.顶点在圆上的角叫圆周角B.三点确定一个圆

C.圆的切线垂直于半径D.三角形的内心到三角形三边的距离相等

6.（2020•辽宁盘锦市•九年级一模）下列命题中，是假命题的是（）

A.正十七边形的外角和等于360。B.方程9+%+1=0无实数根

C.位似图形必定相似D.样本方差越大，数据波动越小

7.（2020•北京八中九年级月考）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题.例

如：如果。>2,那么/>4.下列命题中，具有以上特征的命题是（）

A.两直线平行，同位角相等B.如果⑷=1,那么。=1

C.全等三角形的对应角相等D.如果那么〃状>阳

8.（2020•河北邢台市•九年级二模）能说明命题“关于X的不等式组《x-l<0.的解集为无解”是假命题的

x-m>3

反例是（）

A.m=-3B.m=-2C.m--\D.m=0

21

9.（2020•河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等

如图1,若ABHCD,且AB、8被EF所截，求证：ZAOF=NEO'D

理论依据1：内错角相等，两直线平行；

理论依据2：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

以下是打乱的用反证法证明的过程

①如图2,过点O作直线A'B,使=

②依据理论依据1,可得A'B'〃CD,

③假设ZAOF丰NEOD,

ZAOF=AEOD.

⑤与理论依据2矛盾，••・假设不成立.

证明步骤的正确顺序是（）

A.①②③④⑤B.①③②⑤④C.③①④②⑤D.③①②⑤④

10.（2020•浙江衢州市•中考模拟）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于己知角；②作一个角

的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的

是（）

22

11.（2020•湖南郴州市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，4）=4,AB=8.分别以点B,。为圆心，以

大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和尸.作直线族分别与交于点则

2

MN=________.

12.（2020•湖北荆州市•中考真题）已知：△A3C,求作5c的外接圆，作法：①分别作线段BC,AC

的垂直平分线EF和MN,它们交于点O；②以点。为圆心，OB的长为半径画弧，如图。。即为所求，以

上作图用到的数学依据是.

23

13.（2020•宁夏中考真题）如图，在△A6C中，NC=84。，分别以点A、B为圆心，以大于‘A3的长为

2

半径画弧，两弧分别交于点M、N,作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、

BC于点、E、F,再分别以点E、F为圆心，大于，£厂的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线5P,此时

2

射线恰好经过点D,则NA=_____度.

14.（2020•广东九年级一模）小明背对小亮按小列四个步骤操作：

（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；

（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；

（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；

（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地

说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是.

15.（2020•杭州市九年级期中）命题“对顶角相等”的逆命题是.

16.（2020•安徽九年级其他模拟）命题“如果。-匕=0,那么的逆命题为.

17.（2020•北京平谷区•九年级二模）用一个。的值说明命题“一4一定表示一个负数''是错误的，。的值可以

是.

18.（2020•吉林长春市•九年级零模）用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线