高中数学讲义-圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

高中数学讲义一圆柱、圆锥、圆台、球,简单组合体

的结构特征

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点1圆柱、圆锥、圆台、球.............................................1

3.知识点2简单组合体.......................................................2

4.知识点3圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征......................3

4.1.旋转体.................................................................3

4.2.简单组合体.............................................................4

5.练习........................................................................4

6.探究点一旋转体的结构特征.................................................5

7.探究点二简单组合体的结构特征............................................6

8.探究点三旋转体的有关计算.................................................7

9.课堂作业.....................................................................9

10.课时作业（二十）圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征.............10

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.（直

观想象）

2.‘握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特

水

平征.（数学抽象）

认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的

3.认识简单组合体的结构特征，了解简

结构特征，能运用这些特征描述现实生活中

单组合体的两种基本构成形式.（数学

简单物体的结构.

抽象、逻辑推理）

水

感受空间实物与模型，增强学生的直

平

观感知.（直观想象）

2.知识点1圆柱、圆锥、圆台、球

分类定义图形及表示

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分类定义图形及表示

设轴

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三

母:

边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做

圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的

线1侧面

圆柱边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行,-

'…为“底面

于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧4

面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边TB

我优用表示圆柱轴的字母表示圆

都叫做圆柱侧面的母线

柱，如图可表示为圆柱00'

b

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋

圆锥转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成

的旋转体叫做圆锥

我们用表示圆锥轴的字母表示圆

锥，如图可表示为圆锥so

在

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面

圆台

与截面之间的部分叫做圆台

我们用表示圆台轴的字母表示圆

台，如图可表示为圆台00'

半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转匕「半径

一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的1§

旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫

球

做球的球心，连接球心和球面上任意一点上多球心

的线段叫做球的半径，连接球面上两点并球常，用球心字母进行表示，如图可

且经过球心的线段叫做球的直径表示・为球0

［点拨］圆柱、圆锥、圆台的关系

0:上底面缩小上底面缩小到一个点

上底面扩大到顶点扩展为与底面平/■

与下底面全等行但不全等的上底面《二&

圆柱圆台圆锥

3.知识点2简单组合体

1.定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

2.简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由

简单几何体截去或挖去一部分而成的.

［点拨］常见的几类组合体

(1)多面体与多面体的组合体;

(2)多面体与旋转体的组合体;

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（3）旋转体与旋转体的组合体.

4.知识点3圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特

征

4.1.旋转体

（1）圆柱①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所

围成的旋转体叫做圆柱.②相关概念（图1）③表示法：圆柱用表示它的轴的字母

表示，图中圆柱表示为圆柱o'0.

圆柱

图1图2

（2）圆锥①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋

转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.②相关概念（图2）③表示法：圆锥用表示

它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥S0.

（3）圆台①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部

分叫做圆台.②相关概念（图3）③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台

表示为圆台00'.

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图3图4

(4)球①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋

转体叫做球体，简称球.②相关概念(图4)③表示法：球常用表示球心的字母表

示，图中的球表示为球0.

4.2.简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组

合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去

或挖去一部分而成.

5.练习

1.判断正误(正确的打，错误的打“义”)

(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.()

(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.()

(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.()

(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)V

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2.（多选）下列几何体中是旋转体的有（）

ABC［由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体.］

3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是

（）

A.圆柱B.圆台

C.球体D.棱台

D［圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形（圆柱）,

不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D」

4.给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；

③空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.

其中正确说法的序号是.

解析：根据球的定义知，①正确，②不正确，③正确.

答案：①③

6.探究点一旋转体的结构特征

例多选）下列说法正确的是（）

A.圆柱的母线一定不相交

B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面

C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交

D.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体

（2）（多选）下列说法正确的是（）

A.用一个平面截一个球，得到的截面一定是圆面

B.过球心的截面圆面积最大

C.用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形

D.过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形

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解析：(1)A正确，圆柱的母线相互平行；B正确，如图所示，

经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；C不正确，圆台的母线

延长相交于一点；D不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是

旋转体.

(2)根据球的定义知，A正确；B正确，因为球的直径必过球心；C不正确，

因为球的任何截面都是圆面；D正确.

答案：(1)AB(2)ABD

方法技巧

1.判断简单旋转体结构特征的方法

(1)明确由哪个平面图形旋转而成；

(2)明确旋转轴是哪条直线.

2.简单旋转体的轴截面及其应用

(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特

征的关键量；

(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思

想.

［对点训练］

下列命题中正确的是()

①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；

②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球

体，半圆的直径叫做球的直径；

③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；

④球面上任意三点可能在一条直线上.

A.①②③B.②③④

C.②③D.①④

C［任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，②正确，

③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误.故选C.］

7.探究点二简单组合体的结构特征

例图《如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()

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ABCD

A［该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.］

方法技巧

简单组合体的识别

(1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要

时也可以指出棱数、面数和顶点数；

(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周

围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想

象能力和识图能力.

［对点训练］

如图，为圆弧8c所在圆的直径，N84C=45°.将这个平面A

图形绕直线A3旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结"\c

构特征.J

解析：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.

8.探究点三旋转体的有关计算

例❸*如图所示，用一个平行于圆锥so底面的平面截这个圆锥，截得的圆

台。。的上、下底面的面积之比为1：16,截去的小圆锥SO的母线长是3cm,

求圆台。，0的母线长.

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a

解析：设圆台。©的母线长为/,由圆台。。的上、下底面

BOA

的面积之比为1：16,可设圆台的上、下底面半径分别为一，4r.

过旋转轴SO作截面，如图所示，

则△SO'A's/SSOA,

的“54O'A'

所以希=市•

又SA'=3,SA=3+/,O'A'—r,OA=4r,

所以J］=%，解得/=9,

即圆台。。的母线长为9cm.

方法技巧

1.求几何体表面上两点间的最小距离的步骤

(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；

(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；

(3)结合已知条件求得结果.

2.与圆锥有关的截面问题的解决策略

(1)画出圆锥的轴截面；

(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面

圆的半径长的等量关系，求解便可.

［对点训练］

有一根长为3兀cm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上

缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长

度.

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解析：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形A8CD（如

图所示）,

c

B

由题意知8C=371cm,A8=4TIcm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,

故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC=yjAB2+BC2=5兀cm,故铁丝的

最短长度为5?rcm.

9.课堂作业

1.截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A.圆柱B.圆锥

C.球D.圆台

C[由球的结构特征知该几何体是球，故选C.]

2.（多选）下列关于球体的说法正确的是（）

A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合

B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合

C.一个圆绕其直径所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体

D.球的对称轴只有1条

BC[空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B

正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，

所以D错误.]

3.一圆锥底面半径为2,母线长为6,有一球在该圆锥内部且与它的侧面

和底面都相切，则这个球的半径为.

解析：如图，由题意，设圆锥底面圆的圆心为0,则圆锥的木

高AO=yl62-22=4y[2.

设8为底面圆上任意一点，连接08,球的球心为。，半径为《[京

r,过点。作DCLAB,交于点C,则0D=DC=r,AD=4书

-r.

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因为△ACOS^AOB,所以段=铐，即彳=嶂2,解得「=啦.

£）（7/\DZOv

答案：也

4.如图，圆锥的轴截面是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm,人

假如点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC/\

的中点P处的食物，求它爬行的最短路程.

解析：圆锥的底面半径为2cm,故底面圆的周长为4兀cm,圆锥的轴截

面是等边三角形，可知圆锥的母线长为4cm,设圆锥侧面展开后扇形的圆心角

为a,根据圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得4兀=4a,解得a=?r,如

图，故NC4夕，蚂蚁沿表面爬行到P处的最短路程为B，PKAP2+AB，2=

y/22+42=2小（cm）.

10.课时作业（二十）圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

的结构特征

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

[A级基础达标］

1.如图所示的图形中有（

(1)

A.圆柱、圆锥、圆台和球B.圆柱、球和圆锥

C.球、圆柱和圆台D.棱柱、棱锥、圆锥和球

［根据题中图形可知，（1）是球,（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台,故

应选B.］

2.如图所示的组合体的结构特征是（）

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A.一个棱柱中截去一个棱柱

B.一个棱柱中截去一个圆柱

C.一个棱柱中截去一个棱锥

D.一个棱柱中截去一个棱台

C［如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简

单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得.］

3.（多选）铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱,

方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体中不包含下

列那种几何体（）

A.圆柱B,棱柱

C.棱锥D.长方体

CD［铜钱可以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的几何

体，所以铜钱形成的几何体中不包含棱锥和长方体，故选CD.］

4.《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有

一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，

有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长

的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（）

A.21尺B.25尺

C.29尺D.33尺

C［如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABE/7,

由题意得A8=2丈=20尺，圆周长尺,

则葛藤绕圆柱7周后长为BD=y）AB2+（7BE）2=^202+212=29尺，故

选C.]

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5.（多选）连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦A3,

CD的长度分别等于2巾,4小，M,N分别为AB,CD的中点，每条弦的两

端都在球面上运动，则（）

A.弦AB,CD可能相交于点M

B.弦AB,CO可能相交于点N

C.MN的最大值为5

D.MN的最小值为1

ACD[球心到弦AB,QD的距离分别为3,2,又因为3>2,所以A3,CD

可交于4?的中点M,不可交于CD的中点N；当AB,C。在球心的同侧时，

MN的最小值为3—2=1；当AB,CO在球心的两侧时，MN的最大值为3+2=

5.故选A、C、D.]

6.有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线

的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的

长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有

一个大圆；其中正确命题的序号是.

解析：①若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线

的长度，①错误；

②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母

线长度，②正确；

③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正

确；

④若两点连线为球的直径，则过两点有无数个大圆，④错误.

答案：②③

7.下列几何体中旋转体个，台体（棱台和圆台）个.

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解析：由图可知，(6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体.

答案：32

8.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线

长为12cm,则这个圆台的母线长为cm.

解析：如图，过点4作4。_1_。8,交0B于点C.在RtaABC中，AC=12

cm,8c=8—3=5(cm).所以=13(cm).

答案：13

9.如图，已知球。是棱长为1的正方体ABCO-AIBCIOI的内切球，求平

面ACDi截球0的截面面积.

解析：平面ACDi截球。的截面为△ACDi的内切圆