高中数学课时跟踪检测四十五简单的三角恒等变换新人教A版必修第一册

简单的三角恒等变换

层级（一）“四基”落实练

JI110

1.设"7<"九，且|cos0\那么sin?的值为（）

幺0Z

V15

解析：选D因为万〈夕〈无，所以cosevo,

所以cos0=--

5

,JT0Tl0

因为丁■〈-TUT，所以sirry>0,

R乙乙乙

1—cos0

所以sin—=

JIa

2.化简卜in万+cosq"+2sin

42

A.2+sinQ

解析：选C原式=l+2sin5cos5+1—cos

=2+sina-cosl-=2+sina—sino=2.

3.若。£(0,n),且sina—2cosa=2,则tan5等于()

解析：选BVsinci—2cos。=2,

Asina=2+2cosa,

aaa

贝IJ2sin-cos-=4cos"2—,

又ae(0,JT),/.cos—7^0,

则ta*=2.

4.(多选)已知cos)

A27

A・5B,5

2

D.

5

34

解析：选CD由cos。飞得sin。=±『

1+/(cos2acos己+sin2asi

COSo

I+cos2〃+sin2a2cos%+2sinocosa

cosacosa

=2(sina+cos。).

当sin时，原式=吊;

当sina=—1时,原式=一|;

5.(多选)关于函数f(x)=sin2x-cos2人下列命题中是真命题的是()

A.函数尸F(x)的周期为冗

B.直线户］■是y=f{x)的一条对称轴

C.点得，0)是尸f(x)的图象的一个对称中心

D.f(x)的最大值为地，最小值为一地

解析：选ACDf(x)=sin2x-cos2x=msin(2x——J

2Jl

:3=2,二.7=-=n,故A为真命题；

JI,JIJI

•.•当x=1时，2x--=—,

JI

.♦•直线x=7不是y=f(x)的一条对称轴，故B为假命题;

“JI

:当才=胃时，2x一7=0,终边落在x轴上，

o4

...点什，0)是尸f(x)的图象的一个对称中心，

故C为真命题；

由F(x)=/sin(2x一己)易知D为真命题.

99

6.右sin5一2cos5=0,贝！Jtan0=

000

解析：由sin/--2cos—=0,得tan万=2,

0

2tany4

则tan0=-------彳=

1—tan2-

4

答案：一三

g

7.若〃是第二象限角，且25sirT'〃+sin24=0,则cos0=,cos—

解析：由析sin2夕+sin，-24=0,

又，是第二象限角，

24

得sin左或sin，=一1(舍去).

__________7

故cos。=——sin,0=——,

003

又丁是第一、三象限角，所以COS~^=±E.

e4713

答案：一云15

8.化简下列各式.

(iRl+sin_0—yjl—sin~。＜2n).

(2)s]n2。+£_2COS"+£).

sino

e6^IIe0

解：⑴原式=siny+cos—\—sin—cosT

3JI3n夕

因为一^-(J<2Ji,所以丁〈万<五，

0m

所以O〈sin—Kcos—»

oeoo

从而sin—+cos-<0,sin——cos—>0.

(3沙giny-coseye

所以原式=—(sin—+cos万尸一2siny.

(2)因为2。+£=。+(。+£),

sin[+。]—2cos。+£sina

所以原式=--------------------：~~；-------------------

sina

sina十£cosa-cosa+£sinQ

sina

sin[a+£—a]sin£

sinQsina'

层级（二）能力提升练

。r-JlJT

1.函数F（x）=sin-x+也sinxcosx在区间—,万上的最大值是（)

A.1B.2

3

C.-D.3

FLL3c/X1—cos2x.*\/3

解析：选CF(x)=---------+sin

2.在△女中,sin",省;7则此三角形的形状是（）

A.等边三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：选C:仁n—（/+而,

sin4+sinB

.".sinG=sin(/+/>=

cos/+cos8

A+BA-E

2cos2cos

,A+B

.\2cos*I2*即cos(4+百=0,

・・・力+8=5，♦・・。=方.故此三角形为直角三角形.

26

2cos-——sinJ一

3-已知sin2"J,0<2夕吟,则

,a

2cos万一sin0—

解析:

^2sin^+yJ

（2cos，5-1）—sin0

镜（sin^cos~~+cosJsirr^

Isin9

_cose—sin._____cos〃_1—tan8

sin9+cos®sin8,tan

-----^+1

COS8

因为sin20<2,

□z

3

c八4Li1八sin2'51

所以cos2,=m，所以tan好忘获万"=力=§，

sin，

答案:

4.化简下列各式:

cosJ+cos120°+B+cos120°~B

“)sin8+sin120°+力一sin120°—)

sin/+2sin3/+sin5/

(2)

sin3J+2sin5力+sin7A'

)百I、cos/l+2cos1200cosB

解:(D原式=sin舛2cos120°sin1

A+BB-A

-2sin~~~sin-—…八

cosA—cosB22A+B

----------------------=----------------------------=tAn--------

sin8-sinAA+BB~A2,

2ncos—~sin

sin力+sin5/+2sin3/

(2)原式=

sin3/4+sin7A+2sin5力

2sin3/cos24+2sin34

2sin54cos2力+2sin5A

2sin30cos24+1sin34

2sin5力cos24+1sin54

5.已知函数尸(x)=2wsinGXCOS3x+2#cos%x—，5(d>0,3>0)的最大值为2,

且最小正周期为冗.

(1)求函数的解析式及其对称轴方程；

(2)若『(。)=*，求sin(4。+/)的值.

解：(l)F(x)=asin2QX+/COS2^x=yja2+3sin(23x+。)，

由题意知f(x)的周期为n,由知3=1.

乙3

由/■(»的最大值为2,得打才+3=2,

又A0,a=1,

；・F(x)=2sin^2%+-j.

HJI,、

令A2才+彳=丁+女冗(Aez),

o乙

解得f{x)的对称轴为x=/+与(MZ).

(2)由f(。)=2，矢口2sin(2a_4

=3,

即5叫2。+旬JTJ

3

:.sin(4a+£)=sin[2(2a

..sin

层级(三)素养培优练

如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边/〃为半圆的直

径，。为半圆的圆心，48=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形

PMN,其底边JACL6C

(1)设/就M=30°,求三角形铁皮局邠的面积；

(2)求剪下的铁皮三角形白邠的面积的最大值.

解：(1)由题意知OM=^AD=^BC—1,

所以MN=OMsinAMOD+CD

3

=AMOD+AB=1Xsin300+1=-,

BN=OA+O瓜s/MOD

=l+lXcos3。。=1+乎=苧，

所以^

ZZZZo

即三角形铁皮9v的面积为"纠I