高中数学数列综合练习题附答案

(完整版)高中数学数列综合练习题附答案

一、单选题

(5+2)2

1.各项均为正数的等比数列｛《,｝的前〃项和5“，若。20=4,%=1，则"4,的最小

值为()

A.4B.6C.8D.12

2.记5,为等差数列｛为｝的前〃项和.已知邑=0,%=5,则下面结论正确的是

().

22

A.a„=2n-5B.a“=3n-10C.5„=2n-8nD.Sn=^n-2n

3.已知等差数列｛4｝与等比数列也｝的首项均为-3,且。3=1，4=8么，则数列也｝

()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

4.已知等差数列｛q｝与等差数列也｝的前〃项和分别为S“和且■1•=，、，那么肾的

值为()

13141516

A.—B.—C.—D.—

12131415

5.某项数为4的等差数列的前三项的和为15,后三项的和为21,则所有项的和为()

A.36B.30C.27D.24

6.已知数列｛q｝是等差数列，且满足%+4。=4,则log2%=()

A.0B.1C.2D.3

7.己知等比数列MJ各项均为实数，其前〃项和为5“，则："4＞。"是"S2023As2必"的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知数列｛q｝的前〃项和为S,,,其中4=1,《，2%,%+3成等差数列，且

a

„+i则a“=()

A.2"-1B.C.(1+矿1-1D.(1+2)”

9.在等比数列｛4｝中，%=1，,“=27,则4%=().

11

A.—3B.3C.——D.-

33

10.设等差数列｛叫的公差为d,若b"=2"“,则〃d<0〃是〃%<勿(neN*)〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.三个实数成等比数列，若它们的和为14,且它们的平方和为84,则这三个数为

（）

A.2,4,8B.8,4,2

C.2,4,8或8,4,2D.以上都不对

12.已知数列｛4｝满足4=1,“向=e":'疯，记数列｛《,｝的前"项和为S”

则（）

cc99

A.1<52022<3B.3<S2022<4C.4<S2022<-D.-<S2022<5

13.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100

个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的;是较小的两份之

和，则最小的一份为（）

A.10B.15C.20D.15

14.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列”.此数列在现代物理、准

晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛q｝可以用如下方法定义：

«„+2=+%,且％=%=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列｛b,,｝,则数

列也｝的前2022项和为（）

A.2698B.2697C.2696D.2695

15.著名的〃康托三分集〃是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程

如下：将闭区间［0,1］均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩

下的两个区0S,|,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操

作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同

样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康

14

托三分集".若使去掉的各区间长度之和不小于三，则需要操作的次数n的最小值为（）

参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771

A.6B.7C.8D.9

二、填空题

16.已知数列｛《,｝的前n项和S„=nan^-rr,且q=I,则«2O22-«2o2i=.

17

17.若数列r~^的前n项和为S“，若SjSz=弓，则正整数n的值为.

18.已知数列｛4｝满足1+A全+—+肃=2",则q+%+…+%=.

19.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了

工=（2『+1（〃eN*）是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算

出.F、=641x6700417,也就是说久不是质数,这个猜想不成立.设

可=依?4(乙T)(“eN*),S,是数列｛q｝前n项和，若2，"VS”对〃eN”恒成立，则m的最

大值是.

20.等差数列｛“"｝的前”项和为S“，已知4=1,品＞=75,则即＞=.

三、解答题

21.设公差不为零的等差数列｛q｝的前〃项和为S,,邑=6,%，%,%成等比数列，数

列｛2｝满足伉=1，%=2仇+1.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

100(

(2)求ga-sin4•彳的值.

22.已知｛4｝是递增的等差数列，4+6=18,%,%，%分别为等比数列出｝的前三项.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵删去数列｛2｝中的第。，项(其中i=1,2,3,…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数

列图,求数列｛&｝的前n项和S”.

4“+1,”为奇数,

23.已知等差数列｛4｝中，%=3,4=6,且a=＜

2%,〃为偶数.

⑴求数列出｝的通项公式及前20项和；

⑵若%=也.，记数列｛%｝的前"项和为S",求5”.

24.记5”为等差数列｛可｝的前n项和，弗=0,%=2.

⑴求数列｛叫的通项公式；

100

(2)求2同的值.

k=l

【参考答案】

一、单选题

1.C

【解析】

【分析】

先求出等比数列的首项和公比，得至IJa“=彳—和S“=L，代入后利用基本不等式求出

最小值.

【详解】

因为®/6=4,且等比数列｛q｝各项均为正数，所以a；=4,%=2,

公比q=&=2,首项

%4

匚匚I'lCq(l-q")2"—1，-q|2"'

所以S〃=■="，通sJ贝a=。q=---,

1—(74n4

9o_____

所以匕L—+忙瓦4=8，

2an42〃V4T

当且仅当竺=当,..〃=3,

42"

所以当〃=3时，⑸+/一的最小值为8.

2%

故选：C.

2.A

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式和前〃项和公式直接代入解方程即可.

【详解】

••・｛%｝是等差数列

.•.%=4+("-1”，S,,=4〃+"、；Dd

54=0,%=5

..%=%+4〃=5,S4=4。］+6J=0

解得：4=-3/=2

2

an=2n-5,Stl=n-An

故选：A.

3.A

【解析】

【分析】

求出等差数列和等比数列的通项公式。〃，2,得出42，确定数列｛。屹J中奇数项都是负

数，偶数项都是正数，然后设c”=|q伍|,用作差法得出匕,｝的单调性，从而可得数列

｛“/,,｝的最值.

【详解】

q=-3,a,=1,plljd=-~~；3)=2,a“=-3+2(〃-1)=2"-5,

&=3=M，/=,=-"，"=，=-3x(_；)"T=^^,

(-lT3(2n-5)显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，

।।3(2/7-5)

设C=|〃也|二2"二L'

3(2〃-3)3(2〃-5)3(7-2n)

则fflll叫-c“=-Q-------声一=——，

〃<3.5,即“M3时，c„+1-c„>0,c„+l>c„,

〃24时，％“-%<(),c.+i<c“，即数列｛£,｝,从。到g递增，从J往后递减，

由于他也｝中奇数项都是负数，偶数项都是正数，

所以｛4/“｝中,。也,最大,

又‘3=39'。5=152>37,所以%么是最小项.

4164

故选：A.

4.C

【解析】

【分析】

设等差数列｛%｝、｛〃｝的公差分别为4、由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、

公差之间的关系，可得结论.

【详解】

设等差数列｛a,.｝,｛h„｝的公差分别为4和d2.

1

〃1

==-

+22-

即优=34-24①

122b}+d23

S-,3a.+343,小

勺=会3=和即伪=包一34②

133bl+3d24

由①②解得4=d"b1=d\.

1j…

.4=9+742।।J5

b]b、+6d24+6414

故选：c

5.D

【解析】

【分析】

由题设4+2(%+%)+4=36,根据等差数列下标和性质可得%+/=4+4=12,即可得

结果.

【详解】

由题设4+%+%=15,a2+a3+a4=2\,

所以4+2(4+。3)+。4=36,而出+%=4+%,则3(4+%)=36,

故%+%=4+%=12,则q+/+4+4=24.

故选：D

6.B

【解析】

【分析】

利用等差中项的性质求出4的值，进而可求得结果.

【详解】

由等差中项的性质可得2%=4+4。=4,可得%=2,因此，log?&=1.

故选:B.

7.C

【解析】

【分析】

设公比为夕，按照4>1、4=1、0<4<1、<7<0分类讨论，利用等价转化法可得答案.

【详解】

设公比为0,

wnw23

当q>l时,q<q,

C>sU,4（l-g2”〈）七〃（02023）“々2022）

a

32023〉32022；>：0\\X~Q）<〃|（1一4）

\-q\-q

04（产-产）<0=4>0,此时，>0"是"邑侬〉，的充要条件;

q=1o2023a,>2022a,0%>0,"q>0,,>,,S>S?

当时，S2mi>SX22止匕时，2023。??"的充要

条件；

当0<”l时，］>22>产3,

c、q（i-q-"‘）4（i-q""）2023、八2022、

32023>$20224（1—9'）>4（1-4）

\-q\~q

=4（产2_产3）>0>0,此时，“4>0”是，§。23>422”的充要条件；

当q<0时，夕2。22>0,夕2。23<0,

20242022

S,023>5,）2O4（1一夕~-=4（夕2°22_q2O23）〉o>0,此时，〃^〉。〃是

\-q\-q

"$2023>$2022”的充要条件,

综上所述："4>。"是"$2023>邑侬"的充要条件.

故选：C

8.B

【解析】

【分析】

由“川=4S“+1，利用数列通项与前n项和的关系求解.

【详解】

由已知，an+l=AS,,+1,则％=/IS,I+1（〃N2）,

A=Za„,

，。川=（2+1）%，

...｛4｝是等比数列.

又,:a,+a3+3-4a2,a3+4-4a2,

q2+4=4q,

:.q=2,

Aan=r'.

故选：B

9.B

【解析】

【分析】

根据题意，求得等比数列的首项4和4,进而求得44的值.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为夕，

因为的=1,%=27,可得解得q="q=3,

[ayq=273

所以qq=（3）"3'=3.

故选：B.

10.C

【解析】

【分析】

利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义

判断即可.

【详解】

充分性:若d<0,则=d<0,即a,”<%,—2%，即%<4,所以充分性

成立；必要性：若壮：“,即2"向<2册，，4用<《,，则。,用一4=d<0，必要性成立.因

此，"八0"是"%的充要条件.

故选：C.

11.C

【解析】

【分析】

设所求的三个数分别为2、a、aq,根据题中条件列出关于。、0的方程组，解出这两个

q

量，即可得出这三个数的值.

【详解】

@+a+aq=14

a=4

qa=4

解：设所求的三个数分别为巴、a、aq,则有，2，解得，1或

q二十。2+a2q2=84q=aq=2

0

因此，这三个数为2、4、8或8、4、2.

故选：C.

12.A

【解析】

【分析】

分析可知对任意的“cN*,可>0,则e%“>0,推导出数列｛q｝为单调递减数列，可得出

52022>«,=!,再利用不等式的性质推导出“.<2(疯-向；)，即可求得其必<3,由此

可得出合适的选项.

【详解】

因为q=l,4向=小：弧(〃21,"eN*),易知对任意的”6N*,4>0,贝人"”“>0,

所以，T=即0用<“"，故数列｛凡｝为单调递减数列，则邑。22>%=1，

由于q+1=“厂<]:"厂，则<--1=a",

e”"+，%I+J4a„4lan+]a„tl

所以，一<一=(Q可呼+g<2(Qg,

\lanM

所以，^2022<+2(5/^--y/^)T卜2(｛/021—>Ja2O22)=3-2J％)22<3,

因此,1<$2022<3.

故选：A.

13.A

【解析】

【分析】

由等差数列的通项公式、前"项和公式求解.

【详解】

设最小的一份为％个，公差为d,d>0,^(a｝+a4+a5)=a4=al+a2,

'5x4

〜5a,+——d=104=10

由题意J'2

d=5'

4+3d=2at+d

故选：A.

14.C

【解析】

【分析】

根据4=加+«„-2(〃…3,"eN)4=生=1,递推得到数列｛an｝，然后再得到数列也,｝是以6

为周期的周期数列求解.

【详解】

因为=a“_i+a.2(”--3，〃eN)ay=a2-1,

所以数列｛q｝为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144….

此数列各项除以4的余数依次构成的数列他｝为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…

是以6为周期的周期数列，

2022

所以$2。22=——(1+1+2+3+1+0)=2696.

6

故选：C.

15.B

【解析】

【分析】

根据题意抽象概括出去掉的各区间长度为通项公式为q的数列，结合题意和等

比数列前n项求和法列出不等式，利用对数的运算性质解不等式即可.

【详解】

第一次操作去掉;，设为4;

第二次操作去掉;，设为生；

第三次操作去掉三，设为生，

依次类推，

故=(扪…+(1严］

lx1-

1

=—X——

31二

3

整理，得上u

,但||[4〃0g2-lg3)<-lgl5,

-(Ig3+lg5)Ig3+lg5Ig3+l-lg2__1

••fl-二1I»6.7,

Ig2-lg3Ig3-lg2Ig3-lg2Ig3-lg2

故n的最小值为7.

故选：B.

二、填空题

166,幽2021

【解析】

【分析】

利用题中所给的递推关系式进行推导得。,向-4=2--（w>2）,将〃=2021代入可得结果.

n

【详解】

ssS

由题意可知a,I+l=—+n,因此a,,*I=---9+1,

nnn-\

a—〃_I=__AZL=（〃T）S“一〃SI=5-1”"—S0,

n+l〃nn-\n（«-l）zi（n-l）nn,一），

因此4+1—。〃=2—：（九之2），

14041

则出022一02021=2一

20212021

4041

故答案为:

2021

17.4

【解析】

【分析】

利用裂项相消法求出S”,根据S：5„+1=|即可求出n的值.

【详解】

111

------------=-------------

〃（九+1）n〃+r

S,,=1--+--i+...+---—=1--—=—

223nn+ln+\〃+1

s〃,s“+]n774-1n

T?+1n+2〃+2'

n2.

-------=—=>〃=4.

n+23

故答案为：4.

18.（2/z-l）.2W+1

【解析】

【分析】

在题干条件下求出a“=（2〃+l）2"T,进而用错位相减法求和.

【详解】

+・・・-1-=--2-〃----①--,

2〃+1

1+幺+”+...+_^U=2〃T②,

352n-\3

两式相减得：-^-=2"-',

2n+l

所以q,=（2〃+l）2"T,经检验符合要求.

则S”=4+出+…+”"，

则S,,=3+5x2+7x22+9x23+…+（2〃+1）2”|③，

2S,,=3X2+5X22+7X23+9x2"+…+（2”+1）2"④，

,2_/yn+l

③-④得：-S,,=3+22+23+24+---+2"-（2??+1）2,'=3+------（2n+l）2"

1—2

=-l+（l-2n）-2n,

所以邑=（2〃-1>2"+1

故答案为：（2〃-1）2+1

19.g##0.5

【解析】

【分析】

根据条件化简得4=2-，再求前”项和，根据不等式恒成立可求解.

【详解】

由题意可知，a“=log4（2）"=2"x；=2"T,2机4g=2"-1,显然当八=1时，m取到最

大值为a.

故答案为：g

20.14

【解析】

【分析】

应用等差数列前n项和公式可得前=1°"；4。）,结合已知即可求％.

【详解】

由品=I。”即>）=1*+%）=75,可得为=14.

故答案为：14

三、解答题

21.（l）a„=n,bn=2"-l-

（2）-5000.

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列所给条件列方程求出首项公差即可得出数列｛《,｝的通项公式，再由递推

关系构造等比数列求｛〃｝的通项即可；

(2)分k为奇数、偶数分类讨论化简通项，利用分组求和得解.

(1)

设等差数列｛%｝的公差为d(4/0),

S,=3q+3d=6fa=1

由题意得/*2/-\，解得「I，

(q+3d)=(4+d)(4+7d)[d=l

故数列｛叫的通项公式M=〃.

•••%=22+1,.•.%+1=2(2+1),=2(〃eN),又a=1,

•♦•低+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，勿+1=2",

；也=2"-1.

(2)

当％=2，〃，〃?eN*时，a〉sin(凤.5)=(2机)飞11〃?兀=0,

当％=2，/一1,，〃wN*时，a；-sin[4--|)=(2ffl-1)2sin2>^1TT=(-l)，，l,'-(2w-l)2,

^^•sin^.-|')=l2-32+52-72+-+972-992

=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+…+(97-99)(97+99)

=-2x(l+3+5+7+…+97+99)=-5000.

22.⑴4,=3〃，〃,=3”

627i-1

」—4〃为偶数

(2电=JAX

62727吧

△---------<+32,?〃为奇数

[13

【解析】

【分析】

(1)根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即

得答案；

(2)删去数列他,｝中的第《项(其中i=l,2,3,…)后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组

求和，即可求得答案.

⑴

设数列｛«„｝的公差为4(">。)，数列｛〃,｝的公比为q,

q+q+4d=18

由己知得，解得一，一3,所以…；

所以4=%=3,«=&=3,所以仇,=3".

a\

⑵

由题意可知新数列｛.｝为：4，%，%,b5f

则当〃为偶数时

n(n

31-272321-2726272-1

S"="|+仇+~+”叫_,T+4+4+…+*巩=

------+------乙\_________

1-271-2713

则当〃为奇数时,

/A-1、

627~-1

3w-l

\7+3亍

S*=S〃T+C,=S“_I+**2=S,i+L

~