敲响高中数学的大门－初高中数学衔接 (2021版)

敲响高中数学的大门

一、进行高中之前衔接专题培训的重要性（不承篇）

初中数学课本：七年级上下两册，八年级上下两册，九年级上下两册,共计6册.

新高考下的人民教育出版社A版数学课本，不再分文科理科学习数学，课本序列如下：

?高中数学必修第一册？

第一章集合与常用逻辑用语

第二章一元二次函数、方程和不等式

第三章函数的概念与性质

第四章指数函数与对数函数

第五章三角函数

?高中数学必修第二册？

第六章平面向量及其应用

第七章复数

第八章立体几何初步

第九章统计

第十章概率

?高中数学选择性必修第一册？

第一章空间向量与立体几何

第二章直线和圆的方程

第三章圆锥曲线的方程

?高中数学选择性必修第二册？

第四章数列

第五章一元函数的导数及其应用

?高中数学选择性必修第三册？

第六章计数原理

第七章随机变量及其分布

第八章成对数据的统计分析

高中学习内容众多，学生从接受新知识，学习新技能、学会新思维等，需要一个全新的转变，如何从

一个初中毕业生快速成长为一名合格的高一学生，迅速融入高中的学习之中，学好数学是极其关键的，做

好初中进入高中的衔接，是非常重要的，也是必须的，本内容安排在高一新内容学习之前进行为好.

从以往的经验来看，经历过、接受过衔接培训的学生更加容易适应高一新阶段的数学学习.

高中数学与初中数学之间的差异：

1.环境与心理的差异

对高一新生来讲，各方面都是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体……学生有一个由陌生到熟

悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，使有些学生产生了“松口气”想法,

入学后紧迫感减弱了，也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开

始也确是些难理解的抽象概念，如映射、集合、函数及抽象函数、函数性质等，使他们从开始就处于相当

被动的局面.再加上高中数学的题型变化多端，以及多种函数的出现，以上这些因素都严重影响高一新生

的学习兴趣与学习质量.

2.教材的差异

首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；经常重复出现，而高中数学内容抽象,

多研究变量、字母，不仅计算的技巧性强，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了不少的难度.

另外，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，

而高中由于受高考的制约，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低，因此，从一定意义

上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，在某种意义上来讲，反而加大了.

3.课时的差异

在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足.因此，上课容量小，进度慢，对重难点内容均有足够

的时间反复强调，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，并且在课堂上学生也有足够时间进行稳

固练习，到了高中，由于知识点增多，灵活性加大和学习学科的增多，明显使课时减少，课容量增大，进

度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，对各类型题也不可能讲全讲细和稳固强化，这也会使得高一

新生一开始不适应高中学习而影响成绩的提高.

4.学法的差异

在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得多，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教师所

讲例题类型，一般均可对号入座取得好成绩.因此，学生习惯于围着教师转，不注重独立思考和对规律的

归纳总结.可是到了高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一

些具有典型性的题目，以落实"三基"(根本理论、根本知识、根本技能)培养能力.

因此，高中数学学习要求学生要勤于思考,善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，

触类旁通，同时要拥有快速正确的运算能力，尽早提高分析问题与解决问题的能力，除了课内教材的学习，

还需要找时间阅读课外参考书籍等等，然而，刚入学的高一新生，往往继续沿用初中学法，致使学习困难

较多，甚至连完成当天作业都很困难，更别谈预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间.这显然不利

于良好学法的形成和学习质量的提高.

介于此类情况，增加并做好高中入学前的衔接教育就显得十分必要.

二、重要的衔接知识点以及能力培养(知识能力篇)

(一)熟记高中所需公式，熟练完成数与式的运算

乘法公式的初中要求：

⑴平方差公式：a2-b2(a+b)(a-b)

【实例】分解因式：4；/=―

(2)完全平方公式：(.±4=合±2/+/,

【实例】分解因式：9/-6x+l=

乘法公式在高中增加的内容：

(2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+h2)

【实例】分解因式：X3-8/=

⑶立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

［实例］分解因式：d+27=

(4)完全平方公式：

【实例】展开：(x+y—3)2=

(5)完全立方公式:(a+b)3=a3±3a1b+3ab2±£>3

【实例】展开：(x+2y)3=—展开：(x-2y)3=

1、熟悉公式形状，熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用

例1.化简(1)(x+Vl+x2)(x-Vl+x2)=

(2)(x+l)(x-l)(x2-X+l)(x2+x+l)=

例2.a+/?+c=4,ab+bc+ac=4,那么。2+/+/=

1

例3.假设X9+—如+左是一个完全平方式，那么女等于（）（此处开始详细讲评配方法及“减半成方〃

2

口诀.）

717101O

A.mB.-mC.一加“D.—m

4316

例4.不管为何实数，/+。2-2。-4/7+8的值（）

A.总是正数B.总是负数C.可以是零D.可以是正数也可以是负数

22

例5.x=2+6,y=2—J3,求二一匕的值.

yx

例6.X2-3X+1=0,求V+二的值.

r

2、分式的化简（通分、约分、拆项、配方）

例7.Q+Z?+C=O,求〃([+!)+/?(J+')+(?('+')的值.

bccaab

2

例8.化简：一1—

1-X

X+--

X——

X

3、根式的运算、分母有理化

519

例9.-------1---------------

4-Vn3+近V7-2

例10.化简：(1)13-20(2)也-6+也+6

11(113+2^51+V5+6

]1・化|前：⑴-------f=(2)----1=---F

3-2V21-V2+V3

【稳固与提高】

―、几]41]3•厂2+孙+„/士

I.设x=­；=—,y=—,=—，求-----------的值.

V3-2V3+2x+y

12I2

+

2.当3a2+断—2〃=0(。/00工0),求@一巳一g---的值.

haab

3.化简：(1)(>/18—4A/—I-7=-：---

V26一忖3

⑵2。亚7(2-62+上

4.化简：72-73(2+73)(V6-V2)

(二)熟练掌握因式分解、准确提升运算能力

例1(公式法〕分解因式：

(1)3/6-81//；(2)a'-ahb

例2(分组分解法)分解因式：

(1)ab(c2-d2)-(a2-b2)cd⑵2x2+4xy+2y2-Sz2

例3(十字相乘法)把以下各式因式分解.

(1)+5x—24(2)—2,x—15(3)+xy—(4)(x，+x))-8(x'+x)+12

例41十字相乘法)把以下各式因式分解.

(1)12%2—5x—2；(2)5x~+6孙—8)厂

例5(求根公式法)关于％的二次三项式aV+^+cgwO)的因式分解.

假设关于x的方程ax2+bx+c=O(a^O)的两个实数根是%,马，那么

ax1+bx+c-a(x-X|)(x-X2).

【实例】分解关于3的二次三项式：

(1)x2+2%-1；(2)x2+4xy-4j2.

**例6(拆项法)分解因式d-+4

【稳固与提高】

1.把以下各式分解因式：

(1)ab{c2-d2)+cd(a2-b2)=

(2)x2-4mx+8mn-4-n2=

**(3)x4+64=

【解析】原式=/+16/+64-16/=(r+8)2一(4%)2=

**(4)X3-1U2+31X-21=

**(5)x3-4xy2-+8y③=

2

2.a+b=-,ab=2,求代数式//?+2a十。铲的值

3

3.现给出三个多项式，-x2+x-l,-X2+3X+\,-x2-x,请你选择其中两个进行加法运算，并把

222

结果因式分解.

4.a+b+c=0,求证：a3+a2c+b2c—abc+h3=0.

(三)平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

平面直角坐标系的初中要求：

(1)对坐标系的根本认知.

(2)熟悉平面直角坐标系内的对称点：点M(x,y)

①点〃关于y轴对称的点为M'(-x,y)

②点M关于x轴对称的点为

③点M关于原点对称的点为-y)

初中阶段所认知的函数

(1)一次函数及其图象

(2)反比例函数及其图象

例1.42,乂),6(々，—3),根据以下条件，求出A3、8点坐标.

(1)A,B关于x轴对称；(2)4,8关于y轴对称；(3)关于原点对称.

例2.一次函数＞=自+2的图象过第一、二、三象限且与轴分别交于48两点，。为原点,

假设AAOB的面积为2,求此一次函数的表达式.

例3.如图，反比例函数丁=人的图象与一次函数》=如+。的图象交于4(1,3),3(〃,一1)两点.

x

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)根据图象答复：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.

【稳固与提高】

m

1.函数〉=履+机与y=—(m。0)在同一坐标系内的图象可以是(

x

2.如图，平行四边形ABCO中，A在坐标原点，。在第一象限角平分线上，又知4?=6,AD=26,

求点的坐标.

Dc

(四)一元二次方程：改2+"+。=0(。W0)/\7L

AEBFx

初中阶段要求：

(1)掌握方程有实数根的条件：A=/—4ac〉0,A=/-4ac=0,A=^2-4«c<0

—h+\/A

(2)求根公式名=

2a

高中阶段增加的关于一元二次方程的要求:

A>0A>0

(3)方程有两根同号04c[4)方程有两根异号O<c

Xj%=—>0xx=—<0

-2a}2~a

bc

(5)韦达定理及其应用：Xj+=------,百工2二—

aa

①X：+X；=(X]+4)~—2x^2,(2)|X|-X2|—+X,)—-——-------------

-\a\\a\

③X：+E=(X]+)(X,2+X；)=(X]+工2)[(%+X)2

x2-X}X22

例L关于X的一元二次方程3代一2%+左=0,根据以下条件，分别求出人的范围:

⑴方程有两个不相等的实数根;

⑵方程有两个相等的实数根

⑶方程有实数根；

(4)方程无实数根.

例2.实数满足+y2一盯+2x-y+i=0,试求的值.

例3.假设和々是方程幺+2]-2=0的两个根，试求以下各式的值:

,,11—

(1)X|"+x2"；(2)--1--；(3)(%)—5)(x,5)；14)

玉々

例4.%是一元二次方程4履2一4履+4+1=o的两个实数根.

3

(1)是否存在实数女，使(2%一9)(万一29)=一万成立？假设存在，求出兀的值；假设不存在，请说明

理由.

(2)求使工+工-2的值为整数的实数%的整数值.

尤2X

【稳固与提高】