高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (41)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度)(41)

单项选择题(本大题共6小题，共30.0分)

1.把圆心角为120。的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为

38C8D

---

83

A.27

2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形,且4B=

1,BC=2,Z.ABC=60°,PAJ•平面ABCD,AE1PC于E.下列

四个结论：①4B1AC；②AB1平面PAC；③PC_L平面ABE；

④)BE1PC.正确的个数是()

A.1B.2C.3

D.4

3.已知三棱锥P-ABC满足24=PB=PC==2,AC1BC,则该三棱锥外接球的体积为

A.得0B.y兀C.^V37rD.当兀

27393

4.将一块边长为aan的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等

腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图(2)放置，若其正视图为等腰直角三角形,

且该容器的容积为72&cm3,则”的值为

(2)

A.6B.8C.10D.12

5.已知一个正方体的展开图如图所示，其中4B为所在棱的中点,

C,。为原正方体的顶点，则在原来的正方体中AB与CC所成

角的大小是()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6.一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2”，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发,

绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为2bm，则圆锥的底面圆半径为（）

A.-mB.\mC.-mD.-m

332

二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）

7.已知球。的半径为广，则它的外切圆锥体积的最小值为.

8.在仇章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌（bi©沦o）.如图所示，在△ABC

中，401BC于点。，AD=CD=4,BD=3.将△4BC沿A。折叠成一个鳖膈4一BCD,则该鳖

臊的外接球的表面积为.

9.己知正三棱锥S-48c的侧棱长为4旧，底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是

10.如图所示，在直三棱柱ABC-&B1C1中，底面是NABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,

BBi=3a,。是4G的中点，点尸在线段上，当AF=时，CF_L平面&DF.

11.若a,b是异面直线，直线c与。相交，则c与6的位置关系是.

12.“层层叠”是一款经典的木制益智积木玩具，它的设计理念来源于我国古代汉朝的黄肠题凑木

模.玩法是先将木块三根为一层，交错叠高成塔（或者其他叠法），然后轮流抽取任意一层的一

根木块，在抽取的过程中木塔倒塌则算输.如图，现用9根尺寸为lx1x3的木条，叠成一个

正方体，并编号1〜9.小张抽出中间的5号木条后，正方体表面积由54变为64.若小王又把8号

木条抽走，现在几何体的表面积为.

13.设小，”是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面,且直线znu平面a,直线nu平面口，给

出下列说法：①1n"是“n1a”的必要条件；②“m〃n”是“m〃优'的必要条件;

③“m〃n”是“a〃/’的充要条件；④,是“al。”的充分条件.其中所有正确

说法的序号是_____.

14.如图，已知三棱锥P-ABC满足PA=PB=PC=4B=2,AC1BC,A'A

则该三棱锥外接球的体积为___.

A

15.如图，已知三棱锥P-4BC满足24=PB=PC=4B：=2,AC1BC,则该三棱锥外接球的体积

为____.

16.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为正方形，AB=AP=2,^PAB=PAD=60°,则

该四棱锥的外接球的表面积为____.

17.正三棱锥P—HBC(底面△ABC为正三角形，顶点尸在底面的射影为底面△ABC的中心)中，PA1

PB,其体积为右则该三棱锥的外接球的表面积为.

三、解答题(本大题共13小题，共156.0分)

18.如图，直二面角。-AB—E中，四边形A2CD是边长为2的正方形，AE=EB,F为CE上的点，

且BF1平面ACE.

(1)求证：4E，平面BCE；

(2)求二面角B-AC-E的正弦值:

(3)求点D到平面ACE的距离.

19.如图，在三棱锥P-ABC中，PBABC,平面P4CJ_平面尸8C,PB=BC=2,AC=1.

(1)证明：4CJ•平面PBC；

(2)求点C到平面PBA的距离.

20.如图①，平行四边形A8CD中，AB=4,AD=2,/-ABC=pE为CO中点.将AADE沿AE

折起，使平面40E_L平面A8CE,得到如图②所示的四棱锥P-4BCE.

图②

(1)求证：平面PAE1平面尸8E；

(2)求直线P8与平面PCE所成角的正弦值.

21.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，4C1BC,AC=1,BC=2,=4,M

为侧面AAiGC的对角线的交点，D、E分别为棱AB、BC的中点.

(1)求证：平面MDE〃平面4BG；

(2)求二面角C-ME-D的余弦值.

22.如图，在直三棱柱中，N4BC为直角，BC=2,=4,。为CQ的中点.

(1)求证：平面1平面A8。；

(2)若异面直线4B1与AC所成的角的正弦值是誓，求三棱锥B-。的体积.

23.如图，等腰梯形A8CD中，AB//CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点，以AE为折

痕把440E折起，使点。到达点P的位置(P£平面4BCE).

(1)证明：AE1PB,

(2)当四棱锥P-4BCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离.

24.己知在三棱锥P-ABC中，PA，平面ABC,PA=AB=2BC=2,=V31E是棱PB的中点,

AF1PC.

(1)求证：8PJL平面AEF；

(2)求三棱锥P-4EF的体积.

25.如图，在四棱台ABC。-&B1GD1中，底面A8C。是菱形，^ABC=p乙B、BD吗^BA=

Z.B^BC,AB=2A1B1=2,B1B=3.

(1)求证：直线4c_L平面BO/；

(2)求直线4Bi与平面ACC1所成角的正弦值.

26.如图，一个平面与四面体ABC。的棱AB,BC,CD,D4分别相交于点M,N,P,。，且截面

四边形MNPQ是正方形.

(1)求证：4C〃平面MNP。；

(2)求证：AC1BD,并求异面直线MP与B。所成角的值.

27.如图，四棱锥P-48CD中，底面A8CC是平行四边形，Z.BAD=60°,/PAD=45。，点E在线

段AB上，PEd.4/^4B=3,AD=PE=AE=2.

(1)求证：平面P40JL平面A8CD

(2)求直线PA与平面PDE所成角的正弦值.

28.如图，在四棱锥S-4BCD中，侧面SCO为钝角三角形且垂直于底面A8C£>,CD=SD,点M是

SA的中点，AD//BC,ZABC=90°,AB=AD=^BC.

(1)求证：BD_L平面SCD；

(2)若直线S。与底面A8CQ所成的角为60。,求平面M3。与平面SBC所成的锐二面角的余弦值.

s

29.如图1,在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,点E在线段BC上，BE=2EC.把△BAE沿AE翻

折至ABME的位置，当《平面AECZ),连结比。，点F在线段上，DF=2?名，如图2.

(1)证明：C[〃平面Bp4E；

(2)当三棱锥&-ADE的体积最大时，求二面角以一DE—C的余弦值.

30.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面A8C。为矩形，平面P4D1平面A8C。，PA=PD,E,尸分

别为A。，PB的中点.

(1)求证：PE1BD

(2)求证：E/7/平面PC。

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解析：

本题考查的是圆锥的结构特征，侧面积和外接球表面积，属于基础题.

解：原扇形的半径为圆锥的母线长，设为/,

扇形的弧长为圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r,

2Trr9TT

根据圆心角为120。可以得到底面半径与母线的比值\,则Z=3r.

所以圆锥侧面积为「x2?rr?rlr,

圆锥的高九=陀=7^,设外接球半径为上

则（八-RY+r2=R2,R=

外接球表面积4TTR2==声,

一广）I—r-

7rlr8r38

该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为f27H27

即可得到答案c

2.答案：D

解析：

本题考查余弦定理、线面垂直的判定和性质，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

由余弦定理可知①正确；由P41平面ABCD,得4B1PA,所以②正确；AB1平面PAC,得AB1PC,

又4E1PC,所以③正确；由PCJ■平面ABE,得PCIBE,④正确，

解：已知A31.BC=2.Z.ABCW）,

由余弦定理可得4c2=AB2+BC2-2AB-Z?Ccos600=3，

所以AC2+AB2=BC2,即ABJ.HC,①正确；

由P4，平面ABCD,ABu平面ABCD,

得4B1P4又.A3_L.AU

PACiAC=A,PAMCu平面P4C,

所以4BJ•平面PAC,②正确；

AB_L平面PAC,PCu平面PAC,

得ABJ.PC,XXE1PC,

ABOAE=E,AB,4Eu平面ABE,

所以PC_L平面ABE,③正确；

由PC，平面ABE,BEu平面ABE,

得PCIBE,④正确，

故选。.

3.答案：A

解析：分析：本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查多面体外接球体积

的求法，考查运算求解能力，是中档题.

由题意画出图形，结合已知求出底面三角形外接圆的圆心，进一步找出三棱锥外接球的球心，由三

角形相似求得外接球的半径，即可得出外接球体积.

解：如图，

由P4=PB=PC=&,过户作PG1平面ABC,垂足为G,

则G为三角形A8C的外心，

在AABC中，由力B=AC=1,BC=>/3»可得NBAC=120°,

则由正弦定理可得：-^—=2AG,即4G=1.

stnl200

PG=y/PA2-AG2=1.

取PA中点H,作H。_LPA交PG于O,则O为该三棱锥外接球的球心.

由△PHOs^PGA,可得出=竺，则尸0="以=受d=1.

P°PADC1

可知。与G重合，即该棱锥外接球半径为I.

•••该三棱锥外接球的体积为学.

故选：A.

4.答案：D

解析:

本题主要考查了棱锥体积的求解，属于基础题.由题意易知PM+PN=a,

且PM=PN-MN=*，PO*MN/，由此可得正四棱锥的体积，从而解出。的值.

解：如下图所示，为该四棱锥的正视图,

易知PM+PN=a,且PM=PN=三,

由APMN为等腰直角三角形可知，MN=%,

2

设MN中点为0,则P01平面ABC。，

VPO=-MN=—a,

24

2

VP-ABCD=[x(Dx^-a=^a3=72或，

解得a=12,

故选。.

5.答案：C

解析：

本题考查线线位置关系及异面直线所成角，解题的关键是将正方体的展开图，还原为正方体，即可

确定A8,S所成的角.

解：展开图还原为正方体（如图），其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.

因为A,B分别为相应棱的中点，

所以EF〃/1B,易却CD"EG,

所以NFEG为A3与8所成的角（或其补角）.

又因为EG=EF=FG,

所以"EG=60°,

即AB与CD所成角的大小为60。.

6.答案：A

解析：解：如图，

在圆锥S。中，已知SP=2,沿SP剪开再展开，由题意可得PP，=2k,

可得4PSP'=y.

设圆锥的底面圆半径为r,则2口=等x2,得r=|m.

故选：A.

由题意画出图形，沿母线SP剪开再展开，由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长相等列式求解.

本题考查多面体与旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题.

7.答案:加3

解析：解：作出截面图如图,

设圆锥的高为力，圆锥的底面半径为七OC=OD=r,

Z.SCB=A.SDO=90°,又4OSD=CBSC,

SOD~ASBC,

h

柒M畔7(/i-r)2-r29

hr_hr

7(/i-r)2-r2Vhi-2/ir,

・•・圆锥体积，=\nR2h=:::,h(/i-4r)

33(rl-zr)(/i-2r)2

令h'(r)=0,得九=4r.

3

•••ymin=v(4r)=|nr.

故答案为：|"3.

由题意画出截面图，设圆锥的高为人，圆锥的底面半径为凡利用三角形相似可得凡江，•的关系,

写出圆锥的体积公式，再由导数求最值.

本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是

中档题.

8.答案：32万

解析：

本题考查了求多面体外接球的问题以及折叠问题，属于简单题.

结合折叠后四个面都是直角三角形，利用斜边上的中线等于斜边的一半找出球心，从而求得半径,

求得外接球的表面积.

解由鳖席的定义可知，N4BC=AADC=AADB=乙DBC=90°,

设。为AC的中点，连接OSOD,则04=OB=OC=。0,

故点。为该鳖膈的外接球的球心，AC为是其中的一条直径,

又4c=y/AD2+DC2=4近,

9.答案:647r

解析：解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的

外接圆的圆心。'，外接圆的半径r,

正三棱锥的外接球的球心在高S。'所在的直线上，设为0,

6

连接。4得：「=砾，

所以「=2百，即0'4=2次，

=J(4V3)2-(2V3)2

所以三棱锥的高h=7sA2-。'42=6,

由勾股定理得，R2=r2+(R-hY，解得：R=4,

所以外接球的表面积S=4兀/?2=64Tl.

故答案为：647r.

正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理

求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积.

本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题.

10.答案：」或2a.

解析：

本题考查空间中线面垂直的判定，属中档题.

解：由题意知名。J"平面4CG久,

所以1CF,

要使CF_L平面BiDF,

只需CF_LDF即可.

令CF1DF,

设AF=x,

则&F=3a-x,

易知RtACAFsRt△凡4i。,

ACAF

得行=而

即三-=

3a-xa

整理得--3ax+2a2=0,

解得x=a或％=2a（满足题意与方程）.

故当AF=a或2a时，CFJ_平面B/F.

故答案为“或2a.

11.答案：平行、相交、异面

解析：

此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握.

若a,b是异面直线，直线c,与a相交，所以c与。可能平行、相交、异面.

解：由〃、人是异面直线，直线c与。相交，知c与6的位置关系是平行、相交、异面，

故答案为：平行、相交、异面.

12.答案：66

解析：

本题主要考查了利用已知条件求几何体的表面积，考查学生的逻辑思维想象能力，属于基础题.

根据已知条件得出总表面积=外表面-外表空洞+内部增加即可得.

解：总表面积=外表面-外表空洞+内部增加，

所以S=54—（4+3）+（5x3+4）=66.

故答案为66.

13.答案:①

解析：

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题.

根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定.

解：对于①，由“nla”能推出“mln”，但由不能推出“nla”，

所以①正确；

对于②，由〃/'不能推出“小〃心，所以②不正确；

对于③，由“7n〃n”不能推出“a〃/',a,£还可能相交，所以③不正确；

对于④，由“mln”不能推出“a10”，所以④不正确.

14.答案：||V37r

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，球的表面积和体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于

中档题.

由题意，设的中点为。1，连接POi，则P。］与平面ABC垂直，且01是A4BC的外心，

可得球心在P01上，由APAB是正三角形，则aPAB的中心。即为球心，从而可得R,则三棱锥外接

球的体积可求.

解：如图，

由题意，设A8的中点为。「连接CO、和P0、，•：PA=PB=PC,AC1BC,

则POi1AB,POX=P4sin60。=V3,

1

CO】=-AB=1,PC=2,

故P。/+C02=4=PC2i故po、1co1.

因为CABOi.AB.COiC平面43C

POi与平面4BC垂直，且Oi是△力BC的外心，可得球心在POi上，

又由△P4B是正三角形，则小PAB的中心。即为球心，

PA=PB=PC=AB=2,设该三棱锥外接球半径为R,

则2尺=品=竽，"。="竽，

•••该三棱锥夕卜接球的体积为加3=轲苧尸=犷.

故答案为||百兀.

32/5

15.答案:--------7T

27

解析：

本题主要考查线面垂直的判定、空间几何体的结构特征、三棱锥外接球的体积，属于中档题，

根据三条斜线段相等得到它们的身影相等即顶点P的投影是三角形A8C的外心，又因为三角形A8C

为直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心在P与投影的连线上，进一步求得外接球半径及体积.

解：如下图所示，设点，是点P在面ABC上的投影，•••PA=PB=PC2,

•••△PAH.APBH、4PCH全等,.•.H4=HB=HC,二〃为A/IBC的外心,

vACLBC,：.点、H在斜边43上，二PH1面A8C,.•.球心。在PH上,

••・只要OP=0B点。就是外接球球心,

设OP=R,PH=痘,HB=\,OH=痘一R,由勾股定理得R?=M+（四一曲2,

.•.R=逋，.••外接球的体积为坐X32品

3327

故答案为：丝臣7r.

27

A

16.答案：87r

解析：

本题考查了球的表面积，过点P作PE_L平面ABCQ,计算得£为四棱锥P—4BC0的外接球球心，即

可得出四棱锥的外接球的表面积.

解：过点P作PE1平面48C。，连结BE,DE,

因为AB=4P=4。，/.PAB=^PAD=60",

所以PB=PO,故ED=EB,因此44BE三ZMDE,故NB4E=

因此E在AC上.过E作EH14B,连结尸”，

1PE,AB1HE,PE[}HE=E,故AB_L平面PEH,故ABLPH,

所以AH=1,PH=y[3.

在RtAAE〃中，AE=V2,EH=1.

因此E为AC中点，即也为2。中点.

在RtAPE〃中，PE=y/PH2-EH2=V2.

所以E为四棱锥P-ABC。的外接球球心，半径为企,

所以球的表面积为87r.

故答案为87r

17.答案：277r

解析：解：由题意可知，正三棱锥P-4BC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直且相等，

设PA=PB=PC=a,则％-ABC=VC-PAB=1■ShPAB-CP,

Hp|xa3=I，得a=3.

因为PA、PB、PC两两垂直且相等，可将该三棱锥补形为棱长是。的正方体，如图，则三棱锥的外

接球即为该正方体的外接球，

正方体的对角线长为，32+32+32=3V3.

该三棱锥的外接球的半径为

2

••.该三棱锥的外接球的表面积为47rx（苧＞=277r.

故答案为：277r.

由题意画出图形，把正三棱锥补形为正方体，求出正方体的对角线长，则答案可求.

本题考查三棱锥外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了分割补形法，是中档

题.

18.答案：（1）证明：vBFACE,AEu平面ACE.

・•・BF1AE.

•••二面角。-AB-E为直二面角，

且平面ABC。n平面4BE=4B,BCu平面ABC。，CB1AB,

CB_L平面ABE,又•；AEu平面ABE.

•••CBLAE,

又：BFCCB=B,BFu平面BCE,CBu平面BCE,

■.AE_L平面BCE.

（2）解：连结交AC于G,连结FG.

E

vBF，平面ACE,ACu平面ACE,

BF1AC,

又•.,正方形ABC。中，AC1BG,且BFCBG=B,

•••AC1面BFG,

GFu平面BFG,：.AC1GF,

•••ZBG尸即为二面角B-AC-E的平面角，

■：AE1®BCE,EBu平面BCE,

•••AE1EB,AE=EB=V2,

在RtABCE中，可求=

BF="

CE3

・••在RtZkBFG中，

BF

：■sinZ.^GF=——

BG

即二面角B-AC-E的正弦值为由.

3

(3)在正方形ABC。中，DG=BG,

•••点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离,

又BF_L平面ACE,

••・线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，

由(2)知BF=苧，

即点D到平面ACE的距离为也.

3

解析：本题考查了线面垂直的判定以及二面角、点到平面的距离的计算，属于中档题.

(1)由BF1平面ACE得出BF14E,由面面垂直的性质得出BC14E,于是得出AE1平面BCE；

(2)连结8。交4c于G,连结FG,证明AC_L平面BFG,得出NBGF为所求二面角，求得sin/BGF=:

BG

即可.

(3)根据力fCE=yB-ACE＞。到平面ACE的距离等于3到平面ACE的距离，直接求8尸即可.

19.答案：(1)证明：vPB1¥®ABC,4Cu平面A8C,

PB，4c.取PC的中点。，连接BD,

­••PB=BC,

•••BD1PC.

又•.•平面PAC1平面PBC,平面PACn平面PBC=PC,BDu平面PBC,

BDJ_平面P4C.又4cu平面PAC,

：.BD1AC.

PBnBD=B,

：.AC1平面PBC.

(2)解：易知平面PB4_L平面ABC,

A8为交线，在中，过点C作CM_L4B,交AB于M,

则CM_L平面PBA.

又AC-BC=AB-CM,

22Vs

-'-CM=7S=-'

•••点C到平面PBA的距离为2.

5

解析：本题考查线面垂直的判定立和点到平面的距离，属于中档题；

平面ABC,可得PB_L4C.取PC的中点。，连接8Q,

又BD14c.即可证ACJL平面PBC.

(2)易知平面PB41平面4BC,过点交4B于M,贝iJCM1平面尸8A.

又AO8C=48-CM,即可求解；

20.答案：(1)证明：在ABCE八z

222

BE=2+2-2x./《/*

2x2cosl20°=12,可得「/\/砂：

M---AB

图①J"x图②'y

Z.ADE=60°,4OE为等

边三角形.

・•・在^BE中，cos"EB=鸯碧萨=。，.ZEB=9。。.

ABELAE,又,••平面ADE1平面ABCE,

BE，平面P4E.又BEu平面PBE.

平面P4E_L平面PBE.

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系.£(0,0,0),P(l,0,V3),

B(0,2V3,0).C(-l,V3,0)，

PC=(-2,V3,-V3).丽=(0,2通,0)，EP=(1,0,回

设平面PBE的法向量为记=(x,y,z),则元.丽=元.前=0,

则2by=0=x+V3z>

取k=(V5,0'-1),

••・直线PB与平面PCE所成角的正弦值=器=焉=嚼。

解析：(1)在ABCE中，利用余弦定理可得：BE.由已知可得：A/IDE为等边三角形.在AABE中，利

用余弦定理可得：cosZ-AEB-0,乙4EB=90。.利用面面垂直的性质定理与判定定理即可证明结论.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设平面PBE的法向量为元=(x,y,z),则元・南=元•前=0,

可得：n,可得直线PB与平面PCE所成角的正弦值=鲁雪.

1nHpc|

本题考查了空间位置关系、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

21.答案；解：(1)证明：由。、E分别为棱A8、8C的中点，可得。E〃4C,

又由直三棱柱可知侧面441cle为矩形，

可得&CJ/AC,故有&CJ/DE,

又DEC平面4BG，4停1u平面4BC1，

0E〃平面4iBC「

又由直三棱柱可知A&CiC为矩形，

可得M为&C的中点，

又由E为8c的中点，可得

又MEC平面41BG，&Bu平面&BG，

ME〃平面&BC].

由OE,MEu平面MOE,DECtME=E,

平面MDE〃平面4BC1；

(2)分别以C4,CB,CQ为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图：

则C(0,0,0),4(1,0,0),B(0,2,0),Q(0,0,4),2),0),E(0,l,0),

=CM=(1,0,2),FD=(p0,0),

设平面CME的一个法向量为记=(x,y,z),

则有，ME-=0

CM-nV=0

11

则—5“+y—2z=-%4-2z=0,

取z=—l,又沅=(4,0,-1),

同理可得平面OME的一个法向量元=(0,2,1),

nt•7?-1_y/85

co«<77T.~n>=~

I"H殖x/17x^/5--85~

结合图形知二面角C-ME—D为锐二面角,

•••二面角C-ME-D的余弦值为鬻.

解析：本题考查面面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)利用线面平行的判定，A[B"ME,A&/IDE,由DE,ME仁平面&BG，&B,&Gu平面&BG，

得DE〃平面&BC1，ME〃平面A/C],又DECME=E,可得平面MDE〃平面人出口；

(2)分别以C4,CB,CCi为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面CME和平面。ME各自的法

向量，即可求出二面角C-ME-D的余弦值.

22.答案：(1)证明：因为NABL为直角，所以

又因为在直三棱柱ABC-4/心中，BBC平面ABC,u平面ABC,

所以力BIBB】，BBiCBC=B,BCu平面BCGB〉881u平面

所以AB，平面BCGBi，

因为B[Du平面BCC®所以力B1B、D,

又因为。是CCi的中点，BC=2,CCi=4,

所以BO?+B1ZJ2=B域，即BIDIBD,

又因为48nBe=B,ABu平面AB。，BDu平面AB。，

所以占。_L平面A2£),

又因为&Du平面&Bi。，

所以平面1平面ABD,

(2)解：因为AiBJ/AB,所以NB4C是异面直线与AC所成的角或补角，

又因为Z4BC是直角，BC=2,异面直线4B1与AC所成的角的正弦值是誉,

所以48=3,

因为点。到平面ABB/i的距离等于点C到平面力BB14的距离,

所以%-ADAi=，C-AB4i=]XaX3x4x2=4,

所以三棱锥B-44D的体积为4.

解析：本题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理，考查了面面垂直的判定定理与性质定理以

及棱锥的体积，属于中档题.

(1)由4B1BC,BBi1平面ABC,可得力B1平面8CC$i，AB1B^D,再证明当D1BD,可得当D1

平面A8O,即可得出结论；

(2)由异面直线公当与AC所成的角求出力8=3,再由点。到平面48/久的距离等于点C到平面

4BB14的距离，即可求出三棱锥的体积.

23.答案：(I)证明：在等腰梯形ABCQ中，连接BD,交4E于点。，

•••AB//CE,AB=CE,

•••四边形A8CE为平行四边形，[AE=BC=AD=DE,

.•.△4DE为等边三角形，

在等腰梯形ABCO中，ZC=^ADE=p^DAB=AABC=y,

...在等腰ADB中，/-ADB=AABD=7,

6

:.乙DBC=巴-&=三,BPBD1BC,■■■BD1AE,

362

翻折后可得：0P14E,OBLAE,又OPu平面P08,OBu平面POB,OPCOB=0,

AE，平面POB,vPBu平面POB,

AE1PB.

（口）设点C到平面PAB的距离为d,

由题意得，0。_1_平面/18/时，四棱锥P-4BCE体积最大，

AP=AB=1,

C11.271V3

S^ABC=-x1x1xs\n-=—y

..1V3V31

•••Vp-ABC=一X—X—=-f

"ABC3428

T717171V15,1

^P-ABC=^C-PAB=~X-Xd=&

y/15

解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题.

(I)在等腰梯形A8CZ)中连接2D,交AE于点0,证明8。14E即可得出翻折后AE_L平面P08,从

而AE1PB；

(H)根据UPMBC=%-P4B列方程求出点c到平面PAB的距离.

24.答案：(1)证明：PA=AB=2BC=2,AC=曲，

所以AC1BC,

因为PA1平面ABC,PAu平面PAC,

所以平面PAC_L平面PAC,

因为平面P4Cn平面ABC=AC,

所以BCJ_平面PAC,所以BCJ.4F,

又因为4F_LPC,PCCBC=C,

则4F1平面PBC,得ZF1PB,

又因为4EClAF=A,

所以BP_L平面AEF；

(2)解：由(1)得A4EF为直角三角形，PE是三棱锥P-4EF的高，

在Rt^PAC中，PA=2,AC=V3)所以PC=V7，AF==鬻=绘，

在RtAPAB中，PA=AB=2,则P4—4E=gPB-2,,

在Rt^EAF中，EF='JAE2-AF2=」2号=呼,

所以%4EF="EXEF=Ixx^p=y,

所以三棱锥P-4EF的体积为2x在xe=速.

3721

解析：本题考查了线面垂直的判定，以及求三棱锥的体积，难度一般.

(1)由条件，得到24JL平面ABC,进而推出BC12F,AF1平面尸8C,结合已知条件推出ZF1.PB,

从而证出BP_L平面AEF；

⑵由⑴PE是三棱锥P-4EF的高，由面积法求得AF,在RtAE.AP中，求出EF,得到AAEF的面

积，利用体积公式，算出体积.

25.答案：(1)证明：连接4C,BD交于。，

因为BC=B4,4B[BA=Z-BiBC,B〔B=BB「

所以△BiBC皿BiB.4,故8遇=BiC,

又因为O为菱形A8C£>的对角线的交点，则。是线段AC的中点，

所以为。1AC,

又四边形ABC。为菱形，故AC1BD,

而品。08£>=。，BiO.7?。U平面303”

所以力C_L平面BOB]；

方法二：因为NBiBA=NB/C,

所以点名在平面A8C。内的射影。在乙4BC的平分线上，

又四边形ABC。为菱形，故8。为Z4BC的平分线，则。€直线BD,

故平面J_平面ABCD,而平面BOB]n平面48co=BD,

又四边形ABC。为菱形，故ACJ.BD,又，平面月3「。，

所以4C,平面BOB1；

(2)解:延长44i，BBi，CC]£)Di交于点P,

平面8。殳即为平面BDP,平面ACCi即平面ACP,

由(1)得，直线AC_L平面BOB】，乂ACu平面ACP,

所以平面ACP_L平面BDP,

平面4CPn平面BDP=0P,

所以过当做当"10P,又为Hu平面8DP,

则1平面ACP,

故NBi&H即为直线4/1与平面4CG所成角，

因为四棱台4BC。一中，48=24/1=2,所以41%=1,

由菱形有力B=BC=2,且所以BD=2百，

作因为则

PG1BD,4B1BD=pDBG=3翼,PG=3,0G=273,

所以P。=>JOG2+PG2=V21.

Glilr*r»八36+21-39/—\/^

则COS®°=双菽而=漏sinNBPO=^l-co^ZPBO=子

*13

11

S“BO=5PBxBOxsin/-B1BD="POx2B1H,

6xV3x|_3a

则=PBxBOxsinZ-B^D_

2P02V21-14'

故sin血”=既=当

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题.

(1)法一:连接4C,BO交于0,推导出A0BC丝故8〃=&C,推导出昂01AC,AC1BD,

由此能证明力C1平面BO/.

法二：推导出点名在平面ABCD内的射影。在N4BC的平分线上，8。为41BC的平分线，进行求解

即可；

(2)延长440BBi，CCi，D£)i交于点P,过Bi做8坦1”,则当H1平面ACP,故即为直

线与平面4CG所成角，由此能求出结果.

26.答案：(1)证明：•；MNPQ为正方形,

MN//PQ,

又MNC平面AOC,PQu平面ADC,

MN〃平面ADC,

又MNu平面BAC,平面B4CCI平面ZMC=AC,

MN//AC,

"AC仁平面MNPQ,MNu平面MNPQ,

：.4c〃平面MNPQ

(2)证明：由(1)知AC//MN,

同理BO〃NP,于是AC与8。所成的角与MN与NP所成的角即ZMNP相等，

因为四边形MNP。是正方形，••.NMNP=5,••.4C1BD,

因为BD//NP,所以4MPN即为MP与BO所成的角，

由四边形MNPQ是正方形，得乙MPN=%

即异面直线MP与8。所成角为彳.

解析：本题考查线面平行的判定与性质，异面直线所成角，直线与直线的垂直，考查逻辑推理能力，

属于中档题.

(1)由线面平行的判定与性质可得；

(2)由(1)知4C〃MN,RSBD//WP,^MNP=AC,8。所成的角，；.AC1BD,NMPN即为

MP与BO所成的角，且4MPN=%

27.答案：证明：(1)取AO的中点。，连接OE,OP,则4。=1,

在三角形AOE中，由余弦定理得OE=K，

由题意易知三角形AOE为直角三角形，其中NAOE=90。，

所以4。10E,

又因为4。1PE,OECPE=E,PEu平面PEO,OEu平面PEO,

所以4D1平面尸£。，所以4D1P。，所以PO=1,

在三角形尸OE中，由勾股定理逆定理可得，NPOE=90。，

所以P。1OE,

又因为PO,OD,ODCOE=0,ODu平面ABC。，

OEu平面ABCD,所以P。工平面ABCD,

因为POu平面PAD,所以平面PH。1平面A8CZ).

(2)解：以O为原点，OA,OE,OP的方向为x,y,z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则点0(—1,0,0),P(0,0,1),F(0,V3,0).4(1,0,0),

所以丽=(-1,0,-1),PF=(0,V3,-1),^4=(1,0,-1).

设平面的一个法向量为记Oi，月,Zi),

由h西h困得总二二。。，

令Zi=V3,则元=(―\/3,1,V3)»

设直线PA与平面尸/犯所成角为仇

贝ijsin。=|cos<TA,n>|=詈*=廿后-

11|P/l||n|V2x\<77

所以直线PA与平面PDE所成角的正弦值为史.

7

解析：本题考查面面垂直的判定，利用空间向量求直线与平面夹角的正弦值，属中档题.

(1)由条件得到4。1OE,AD1PE,进而求出ADJ_平面PEO,即得4D_LP。，求得尸0的值，再利

用条件求出P。_L平面ABC。，再根据面面垂直的判定定理求出答案.

(2)建立空间直角坐标系，求出超=(1,0,-1)以及平面POE的法向量，即可求出答案.

28.答案：(1)证明：取BC的中点E,连接DE,设AB=AD=a,BC=2a,

依题意，四边形ABED为正方形，且有BE=OE=CE=a,BD=CD=V2a,

.-.BD2+CD2=BC2,WijBD1CD.

又平面SCOJ■底面ABCD,平面SCO_L底面4BCD=CD,

BD_L平面SCD；

(2)解:过点S作CO的垂线，交CO延长线于点H,

连接A4,

•••平面SCD1底面ABCD,平面SCDn底面4BCD=

CD,SH1CD,

SHu平面SCD,SH1底面ABCD,

故DH为斜线SD在底面ABC。内的射影，

NSDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即

乙SDH=60°.

由(1)得，SD=2a，•••在RtASHC中，SD=V2a，

DH=—a>SH=—a，

22

在△力DH中，/.ADH=45°,AD=a,DH=—a，