高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (26)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（26）

一、单项选择题（本大题共11小题，共55.（）分）

1.己知一个球的半轻为3。则该球内接正六校锥的体积的最大值为（）

A.10V3C.16行

2.已知正方体ABCD-4记传1。1的棱长为2,点E是棱的中点，点---~G~/

F,G在平面4B1GD1内，若|EF|=Z，CES.BG,则|FG|的最小值|y6:

为（）

A.V2-1r-——R

3.在正方体ZBCD-A'B'C'D'中，ZB=3,点M是侧面BCC'B'内的动点，且满足4M1B。'，设AM

与平面BCC'B'所成角为氏则tan。的最大值为（）

B.V2

4.在长方体4BCD-AiBiGDi中，AB=AD=6,AAr=2,M为棱BC的中点，动点P在面。。的。1

内，满足ZAP。=NCPM,则点P的轨迹与长方体的面DCCiA的交线长等于（）

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为灰不一

二、个

B.2V2

D.2V3

俯视图

6.三棱锥。一ABC中，ADABC,/.ABC=120",AB=BC=AD=2,则该棱锥外接球的

表面积为（）

A.8兀B.127rC.167rD.20兀

7,中国古代数学经典仇章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长

方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为

鳖幅如图为一个阳马与一个鳖般的组合体，已知PA_L平面ABCE,四边形力BCD为正方形,力。=

2,ED=1,若鳖腌P-4DE的外接球的体积为学,则阳马P-4BCD的外接球的表面积等于

()

A.18nB.17TTD.15n

8.下列说法中正确的个数是（

①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行

②三个平面最多将空间分为8个部分

③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形

④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直

A.1B.2C.3D.4

9.已知四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC,Z.BAD=120°,△S4D是等边

三角形，且SA=AB=2b，若点P在四棱锥S-4BCC的外接球面上运动，记点尸到平面ABCD

的距离为"，若平面S4D1平面ABC，则”的最大值为（）

A.V15+2B.715+1C.V13+2D.V13+1

10.设正方体4BCD-4B1GD1内部有两个球01和。2，已知球3与正方体的三个面相切，球。2与正

方体的六个面均相切，且球。1与球。2也相切.设球。2的半径分别为巳，r2,则£=（）

A.V3-V2B.2-V3C.D.1-y

11.在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2,二面角5-BC-4的大小为60。，则三棱

锥S—ABC外接球的表面积是（）

二、多项选择题（本大题共7小题，共28.0分）

12.对于四面体A-BCD,以下命题中正确的命题是（）

A.若4B=AC=4。，则A8,AC,A£＞与底面所成的角相等

B.若ABLCD,AC1BD,则点A在底面BCD内的射影是4BCD的内心

C.四面体4-BCD的四个面中最多有四个直角三角形

D.若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为？

13.已知正方体48CD—4B1C1D1中，P为正方形ABCO内任意一点，/为平面ABCD内任意一条直

线，AiP与△4当5相交于。点.若直线4P与/所成角中最小角为会则下列说法正确的有（）

A.直线为P与/所成角中最大角为早

B.直线4C1平面ZBiDi

C.点P的轨迹是圆的一部分

D.点Q的轨迹是椭圆的一部分

14..在直三棱柱4BC-aBiCi中，^ABC=90°,AB=BC=2,AAt=2

M是BC的中点，N是41cl的中点，点P在线段/N上，点。在线段AM

上，且AQ=|AM,S是AC1与41c的交点，若PS〃面为4“，则

A.PS//BXQ

B.P为BiN的中点

C.AC1PS

D.三棱锥P—的体积为|

15.如图，在正方体4BC0-418道1。1中，必，_L平面4B15，垂足为H,则下面结论正确的是（）

A.直线与该正方体各棱所成角相等

B.直线为〃与该正方体各面所成角相等

C.垂直于直线的平面截该正方体，所得截面可能为五边形

D.过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形

16..在直三棱柱4BC-4BiCi中，AABC=90°,AB=BC=2,AAr=2,

M是2C的中点，N是&G的中点，点尸在线段/N上，点。在线段AM

上，且4Q=：4M,S是AG与4C的交点，若PS〃面B遇M,则

A.PS//B0

B.尸为&N的中点

C.AC1PS

D.三棱锥P-的体积为|

17.在正方体4BCD-4B1GD1中，AB=4,E,尸分别为BBi，CD的中点，尸是BG上的动点，则（）

FC

A.A.F1平面4"北

B.平面力D1E截正方体ABC。-4/165的截面面积为18

C.三棱锥P-的体积与P点的位置有关

D.过AE作正方体ABC。-A/iGDi的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为5兀

18.将边长为1的正方形ABCO沿对角线8。翻折，使得二面角4-BD-C的平面角的大小为泰则

下列结论正确的是（）

AB

—>

DC

A.AC1BD

B.A3与C。所成的角是60°

C。点到面ABC的距离为恒

7

D.三棱锥4—BCD的外接球半径是坦

2

三、填空题（本大题共11小题，共55.0分）

19.如图所示，正方体4BCD-41B1GD1的棱长为。，点E,F,G分别为棱AB,BC,G。1的中点,

下列结论中，正确的是.

①过E,F,G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形

②AB1〃平面EFG

③异面直线FG与CD1所成角的正切值为1

④四面体4CBW1的体积为：a3

20.已知菱形ABC。边长为32BAD=60。,点E为对角线AC上一点，

AC=64立将4ABD沿BO翻折到△A'BD的位置，E记为E',且二面

角ABDC的大小为120。，则三棱锥ABCD的外接球的半径为

；过口作平面a与该外接球相交，所得截面面积的最小值

为________

21.三棱锥P-ABC^,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC1平面ABC,则AC=

若球O与该三棱锥除PB以外的5条棱均相切，则球0的半径为.

22.如图所示，正方体ABCC-A/iC也的棱长为a,点E,F,G分别为棱A8,BC,。也的中点,

下列结论中，正确的是.

①过E,F,G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形

②〃平面EFG

③异面直线FG与CD1所成角的正切值为1

④四面体ACBiDi的体积为

23.已知正方体力BCO-&当口劣的棱长为2,M为CQ的中点，若AM_L平面a,且Be平面a,则平

面a截正方体所得截面的周长为.

24.已知点P,A,B,C均在表面积为81兀的球面上，其中PA，平面ABC,zBAC=30°,AC=遮AB，

则三棱锥P-'B「的体积的最大值为.

25.下列命题中正确的是—.（填序号）

①已知空间中三个平面a,0,y,若al./?,/?1y,则戊〃y;

②球O与棱长为a的正四面体各面都相切，则该球的表面积为1a?；

③三棱锥P—ABC中，PA1BC,PBLAC,则PCIAB.

26.如图所示，在长方体4BCD中,BE】=B^i，点E是棱CC】上的一个动点，若平面BE/

交棱4公于点F,给出下列命题：

①四棱锥4-BEDiF的体积恒为定值；

②存在点E,使得&D1平面BDiE；

③对于棱CC1上任意一点E,在棱A。上均有相应的点G,使得CG〃平面EBDi；

④存在唯一的点E,使得截面四边形的周长取得最小值.

其中真命题的是.（填写所有正确答案的序号）

27.如图已知圆锥SO的母线SA的长度为2,一只蚂蚁从B点沿着圆锥侧面

爬回点B的最短距离为2,则圆锥SO的底面半径为一.

28.已知球。与棱长为2企的正方体ABCD-ABiGDi的所有棱相切，点M是球O上一点，点N是

△4CB］的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是.

29.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A,8距离之比为常数;1（4>0且;I#1）的点

的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆。根据以上信息，解决下面的问题：如

图，在长方体4BCC—48修1。1中，4B=24D=244i=6,点E在棱AB上，BE=2AE,动

点P满足BP=gPE。当点尸在底面4BCD内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为_;当

点尸在底面ABCD内运动且到A3边距离最大时，则三棱锥P-［外接球的表面积为

阿波罗尼奥斯

四、解答题（本大题共1小题，共12.0分）

30.在四棱锥P-4BC。中，底面A8C。是边长为2的菱形,/.BAD=60°,

PA_L面ABC。，PA=®E,F分别为BC,PA的中点.

CEB

(1)求证：BF〃面PDE；

(2)求二面角D-PE-4的大小的正弦值;

(3)求点C到面PDE的距离.

【答案与解析】

1.答案：C

解析:

本题考查球的内接多面体、棱锥的体积计算，解题的关键是利用位置关系求得相关的几何量，属于

中档题.

由题意知棱锥的高经过球心，设高为上通过已知条件把正六棱锥的体积用含有人的代数式表示,

得到V=再由基本不等式求得最值.

解：设正六棱锥为P-4BCDEF,其底面A8CDEF的中心为0',易知P。'是正六棱锥的高，

因为正六棱锥各顶点都在球面上，可知棱锥的高P。'经过球心O,设P0'=/i(0</i<6),

则底面六角形所在的圆的半径0，B=Q_(h_3产=V6/1-/12.

正六棱锥的底面积S=6x^O'B2'sin60°=芋(6八一/)，

正六棱锥体积V=[sh=1x^(6h-h2)xh=手(12—2帅•h《手产智幺邛=16次，

当且仅当12—2八=八，即八=4时，正六棱锥体积有最大值分3=16百.

故选C.

2.答案：B

解析：

本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推

理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，属于较难题.

取4D1中点。，则4Di1面力/iGDi，即0F,可得点尸在以。为圆心，I以半径的位于平

面占B1GD1内的半圆上，再根据已知及线面垂直的判定定理及性质证得。Q1B]G,即OG减去半径

即为尸G长度的最小值.

解：如图，取4山1中点。，EO//AAr,则EO_L面4曲(?也,即E。1OF,

因为|EF|=V5-贝i」OF=1,

所以点尸在以。为圆心，1以半径的位于平面&B1GD1内的半圆上,

因为CEJ.BG,又CEIBBI，所以CE1平面&BG,

因为B]Gu平面&BG,

则CE1BXG,

连接OCi，因为OCJ/EC,所以。G1B1G,

0G=V5)

由—4clB]G,

所以箫=符即容=会则GG=等，

所以。G=而一等=言，

可得0G减去半径即为FG长度的最小值，

所以FG长度的最小值为/-1.

5

故选&

3.答案：B

解析:

本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

如图，连接4B',B'C,AC,BM,易得BD'l平面4CB',从而可推出。=£.AMB,在Rt△AMB中,tan6=

—＞当8M最小时，tanJ最大，进一步求解即可.

解：如图，连接49，B'C,AC,BM,易得BD'1•平面4CB',

D'

■■AM1BD',AMu平面ACB

又•••M€平面BCC'B',且平面平面BC,

M在B'C上移动.

vAB_L平面BCC'B',9=LAMB,

在中，9=—,当最小时，最大.

RtAAMBtanBMBMtcmO

即当时，BM最小，

此时8M的值为这，

2

•••(tan0)max=金=仅

2

故选8.

4.答案：C

解析：

【试题解析】

本题考查了长方体的结构特征、轨迹方程的求法以及弧长公式的运用，考查了学生的空间想象能力

和思维能力，是较难题.

由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，建系后由求轨迹方程的方法求得P的轨迹.进而求出

点尸的轨迹与长方体的面DCG2的交线长.

解：因为是求点P的轨迹与长方体的面DCG5的交线，所以不妨设尸在平面DCG4内，

如图，Z.APD=Z.MPC,

^ERt△PDA^Rt△PCM^P，设4D=6,则MC=3,

•••tanAPD,则三=—,PD=2PC.

PDPCPDPC

在平面。CGD1中，以。C所在直线为x轴，以OC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,

则。(一3,0),C(3,0),

设P(x,y),

由PD=2PC,得：J(x+3尸+y2=2^/(x-3)z+y2>

整理得：x2+y2-10x+9=0,即(x-5)2+y2=16,

二点尸的轨迹是圆，圆心为(5,0),半径为4,如图所示，

点P的轨迹与长方体的面DCG5的交线为弧例，

因为sin/OQ"=鲁=也则ZCQH,

HQ2()

•yr

所以交线长为］x4

63

故选C.

5.答案：C

解析：

本题考查几何体的三视图，考查学生空间想象能力，属于基础题.

由三视图可知该几何体嵌入棱长为2的正方体，即四面体4-BCD,易知A。为最长棱，求解即可.

解：该几何体嵌入棱长为2的正方体，即四面体A-BCD,

计算得：AB=V5-AC=2®AD=3,BD=瓜,CD=V5.

故最长的棱为4。=3.

故选C.

6.答案：D

解析：

本题考查了棱锥与外接球的位置关系，确定球心是关键，属于中档题.

根据三棱锥的结构特征确定球心位置，从而得出球的半径和表面积.

解：•••在△ABC中，AB=BC=2,/.ABC=12（）.

根据余弦定理求得4c=2V3,

48c外接圆的半径为』金2-2,

2smi2110

设44BC外接圆的圆心为M,外接球的球心为O,

MOM1平面ABC,

又ZM_L平面ABC,AD=2,得。M=1,

>所以外接球的半径为R=y/OM2+AM2=Vlz+22=>/5»

S球=4nR2=207r.

故选O.

7.答案：B

解析：

本题考查几何体的外接球，几何体的表面积的求法，直线与平面的垂直关系的应用，考查空间想象

能力以及计算能力，利用已知条件画出图形，在三棱锥P-4DE（鳖膈）中，2r=PE,四棱锥P—4BCD

中2R=PC,设PA=/i,求出外接球的高和半径，然后求解球的表面积.

解：由题意，在三棱锥P-40E（鳖席）中，ED1DA,P4_L平面ABCE,

所以其外接球的直径2r=PE.

设PA=h,则2r=y/PA2+AD2+DE2=V/i2+224-l2=Vh^+S，

所以其外接球的体积卜=吧=生（餐尸=①，解得九=3.

33v273

设四棱锥P-4BCD（阳马）的外接球半径为R,

则2R=PC=y/PA2+AD2+AB2=V32+22+22=V17,

所以该球的表面积S=4n/?2=17Tt.

故选B.

8.答案：B

解析：

本题考查空间中线线之间的关系，平面的概念，几何体的结构特征，属于基础题.

由空间几何体的结构特征，平面之间的关系，逐个进行判断.

解：①三个平面两两相交，有三条交线，三条交线两两平行或交于一点，如三棱柱的三个侧面两两

相交，

交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；

但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的表面两两相交，

交线交于一点，此点就是长方体的顶点.故错误；

②若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；

若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；

若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；

当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，

故错误；

③画出截面图形如图，下图中截面为五边形但不是正五边形：

④两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条;

故正确；

故选

9.答案：D

解析：

本题考查组合体、球，考查空间想象能力以及空间想象能力.属于较难题.

由题意画图，图中找出关于外接球半径关系式，即可求解.

解析：

解：由题意可画下图：

依题意乙430，取8c的中点E,

«)

由SA=AB=2百，得BC=4V3.AE=DE=2A/3,

则E是等腰梯形ABC。外接圆的圆心，

设。是四棱锥S—ABCO的外接球球心，OE=x,

过点。作。尸垂直平面必。于点F,

则OF=ABsin60°=3,

又S到平面ABCD距离为S4sin60。=3,

•••SF=3-x；

设四棱锥S-ABCD的外接球半径为R,

则R2=0E2+BE2=SF2+OF2,

即(2次)2+x2=(3—x)2+32：

解得x=1,R=V13;

当P,O,E在同一条直线上时，取得最大或最小值;

故dmax=R+0E=V13+1>

故选。.

10.答案：B

解析：

本题考查本题考查内切球的问题.属于中档题.

设正方体的棱长为2,由题可知，两个球心0「。2和两球的切点均在体对角线4cl上，作出两个球在

平面处的截面图，可得。2尸=「2=1，(V3+l)r1=V3-1,即可得出.

解：不妨设正方体的棱长为2,球0］同时与以A为公共顶点的三个面相切.

由题可知，两个球心。i，。2和两球的切点均在体对角线AG上,

两个球在平面4B1GD处的截面如图所示.

则。2p=「2=1,A02—苧=V3,

所以AF=A02-02F=V3-1.

又因为AF=力。1+OiF=痘X+rt,

因此(b+1)^=V3-1>得万=2-V3.

所以?=2一旧.

故选8.

11.答案：D

解析：

本题考查二面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接球的半径，属于中档题.

审题后，二面角S-BC-4的大小为60。是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示.进

一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算.

解：如图所示：

过S作S。IBC=D,连接AD,分别取44BC,ASBC的外心E,F.

则由条件可得NSD4就是S-BC-4的二面角的平面角，且BE型士OE—.AODE:对.则

33

OEDEIHUZODE=^-x—=--

333

设外接球的半径R,则R2=OB2=0E2+BE2=(1)2+(^)2=学

1Q”宣

所以外接球的表面积为垢R277rxi.

故选。.

12.答案：ACD

解析：

本题考查了空间几何体的结构特征，球的表面积，空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.

对于A,根据线面角的定义即可判断；

对于8，根据线面垂直的判定和性质可知，。是△BCD的垂心；

对于C在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数；

对于。作出正四面体的图形，找到球的球心位置，说明。E是内切球的半径，利用直角三角形，逐

步求出内切球的表面积.

解：对于A选项，因为力B=ZC=4。，设点A在平面8。内的射影是0,

因为sin/4B。=—,sin/ACO=—,sinz.ADO=—,

ABACAD

所以sinz>18。=sm/-ACO—sinz.ADO,

则A8,AC,AC与底面所成的角相等，故A正确；

对于8选项，设点4在平面BCC内的射影是0,

则4。，平面BCD,CDu平面BCD,

故A。_LCD,

又4B1C0,AOC\AB=A,AO,48u平面A80,

故CDL平面ABO,

又OBu平面AB。，

则CD1OB,

同理可证BO1OC,

所以。是△BCD的垂心，故8不正确；

如图：将四面体4-BCD置于正方体中，直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.

故C正确;

如图，。为正四面体A8CQ的内切球的球心，正四面体的棱长为1；

所以於右=手

因为B02-0E2=BE2,

所以。—0E）2—0盾=（苧）2,

所以。E=渔，

12

所以球的表面积为4兀-0E2=£故。正确.

6

故选：ACD.

13.答案：BCD

解析：

本题考查正方体的结构特征、异面直线的夹角、线面角、线面垂直和轨迹问题，属于难题.

根据已知对选项逐个判断即可.

解：对于A、当。与4重合时，由正方体的结构特征易知4遇1面ABC。，c®ABCD,

所以此时直线与/所成角为:，故4错误；

对于8、连接&C],由正方体的结构特征易知41cliD/i，CG1面4B1GD1，

乂u而所以CC].LDIB1,

又cCiC&G=m，41clu面GGC,故i面GQC,

又acU面&C1C,故。出1AXC,

同理可证4B1J.41C,又4B1nD/i=B1，故41cl平面人当名，故B正确；

对于C、因为直线&P与/所成角的最小值是直线&P与面ABC。所成角，

延长&Q交面ABCD于点P,因为4/1面ABCD,

所以乙41P4就是直线4P与面ABCD所成角，

^-APA=彳=Z.AAP--'73nPA=—AAf

X3r64P3r1

则P在面ABCD内的轨迹为以A为圆心，为半径的圆的一部分，故C正确；

对于。、由选项C可知，41P的轨迹是以Aa为轴的圆锥面的一部分，

•・•点Q是-4B15内的动点，其在面4814内的轨迹，等价于平面截圆锥面所得的曲线,

取8也的中点。，连接占0,AO,设正方体的棱长为1,4。=卯也=亨

,:tan乙41Ao=y>tan乙4Alp=争

：.^>^AO>^AAXP,即圆锥的轴与截面所成的角大于轴与母线的夹角，小于直角，

・•・平面ABiDi截圆锥面所得的曲线为椭圆的一部分，即点。的轨迹是椭圆的一部分，故。正确,

故选BCD.

14.答案：ACD

解析：

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和

体积，平面的基本性质及应用，线面平行的性质，线面垂直的性质和空间中的距离，属于较难题.

利用直三棱柱的结构特征构建一个边长为2的正方体ABCC-4/165，连接当心，

连接利用正方体的结构特征，结合平面几何知识得点P在线段Bi。1上，连接BD,交AC于O,

利用平面几何知识得点Q在8。上且BQ=|B。，连接BDI，利用平面几何知识得点S在BO】上，且

是BA的中点，利用平面的基本性质得PSu平面DQB1B,再利用线面平行的性质对A进行判断，在

平面。。1当8中，利用平面几何知识对B进行判断，利用正方体的结构特征得4s_L平面。。/道，再

利用线面垂直的性质对C进行判断，利用点到面的距离和线到面的距离得点尸到平面的距离

等于点S到平面&AM的距离，再利用三棱锥的体积公式得5-B^M=Vs-BiAM>再结合题目条件得

%-Bl4M=（忆-8遇M，即Up-JAM=1忆-B14M，再利用二棱锥体积等量得k-B/M=匕-BiQM，再

利用三棱锥的体积公式计算以.BIGM对。进行判断，从而得结论.

解：因为在直三棱柱28c-力iBiG中，LABC=90°,AB=BC=2,AAY=2,

所以构建一个边长为2的正方体4BCD-&B1C1D1如下图：

连接当。1，因为N是2Ci的中点,

所以N是Bi。1与4cl的交点，且N是&Di的中点,

而点P在线段&N上，因此点P在线段位。1上.

又因为M是BC的中点，点Q在线段AM上，且力Q=|4W,

所以点。是A4BC的重心.

连接8。，交AC于0,则。是4c的中点，也是8。的中点.

由。是4c的中点知：8。是△ABC在AC边上的中线，

因此点。在8。上，即点。在B。上，且BQ=|B。.

又因为S是4cl与4C的交点，连接

所以点S在上，且是的中点.

对于4因为点P在线段反。1上，点S在BO】上，所以PSu平面DQBiB.

又因为点。在8。上，所以&Qu平面DDiBiB,

而平面DD/iBn平面=BiQ,PS〃面8通“，

因此PS〃/Q,所以A正确；

对于8、如图：

在平面。。避避中，设BiQnD[B=H.

因为8Q=|80,。是5。的中点，

所以BQ=：BD=[BI5，

因此即=

所以霁=1=黑，即8"=汕当=|&N,

因此8不正确；

对于C、在正方体力BCD-力避iCiDi中，

因为ACJ■平面DDiBiB,PSu平面DDiBiB,

所以AC_LPS,因此C正确；

对于。、因为PS〃平面

所以点尸到平面Bp4M的距离等于点S到平面&4M的距离,

因此4M=^S-BrAM-

又因为S是4cl的中点，所以%一马力M=

即4-Bi4M=4M.

又因为匕71-8］幺时=%-BCM='SABRIM

=-1x2rxl-xe2xc2=-4,

323

所以Up-BM时=5UCI-BIAM=］，因此。正确.

故选ACD.

15.答案：ABD

解析:

本题考查棱柱及其结构特征，考查空间中直线与直线的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，

考查儿何体中的截面问题，考查空间思维能力与逻辑推理能力，属于较难题.

利用空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，逐一对选项进行分析，判断其正确性

即可求解.

解：如图所示，连接&C,

根据正方体中面对角线与体对角线垂直，

所以4iC-LABi，ArClADr,QADr=A,

即41c1平面4g,

又因为，平面AB/i，垂足为H,

所以直线与直线&C重合，

A项，因为直线4C与正方体ABCD-AiBiGDi各棱所成角都相等，设该角为0,均满足tan8=夜，

即直线41H与正方体ABCD-41B1G2各棱所成角也相等，故A项符合题意；

8项，因为直线&C与正方体4BCD-&B1C1D1各面所成角都相等，设该角为a,均满足tana=当,

即直线41H与正方体4BC。-&当加。1各面所成角也相等，故B项符合题意：

C项，垂直于直线的平面与平面4殳£)1平行，

截正方体力BCD-41&GD1所得截面为三角形或六边形，故C项不符合题意，

。项，设过直线的平面截该正方体与前后两个面相交所得的截面为&ECF,如图，

•••平面ABB/]〃平面OCqOi，

平面ABBiAin平面41ECF=ArE,平面DCCi£)in平面AiECF=CF,

：.AXE//CF,同理可得4F〃CE,

••・四边形&ECF为平行四边形，

同理可得过直线公，的平面截该正方体与上下两个面相交所得的截面也为平行四边形,

即过直线4"的平面截该正方体所得截面为平行四边形，故。项符合题意；

综上所述，符合题意的序号为ABD,

故选ABD.

16.答案：ACD

解析：

本题考查了简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和

体积，平面的基本性质及应用，线面平行的性质，线面垂直的性质和空间中的距离，属于较难题.

利用直三棱柱4BC-的结构特征构建一个边长为2的正方体力BCD-A^C^,连接劣义,

连接&D1，利用正方体的结构特征，结合平面几何知识得点P在线段B】Di上，连接8D,交AC于O,

利用平面几何知识得点Q在8。上且BQ=|B。，连接BDI，利用平面几何知识得点S在BDi上，且

是BDi的中点，利用平面的基本性质得PSu平面DD1&B,再利用线面平行的性质对4进行判断，在

平面CDiBiB中，利用平面几何知识对8进行判断，利用正方体的结构特征得AS_L平面再

利用线面垂直的性质对C进行判断，利用点到面的距离和线到面的距离得点尸到平面8遇M的距离

等于点S到平面314M的距离，再利用三棱锥的体积公式得那时=外一8遇“，再结合题目条件得

匕-B14M=即，P-BiAM=再利用三棱锥体积等量得UQ-BIAM=%-3遥小，再

利用三棱锥的体积公式计算以-BCM对。进行判断，从而得结论.

解：因为在直三棱柱/〃。一必当的中，乙4BC=90。，AB=BC=2,AAr=2,

所以构建一个边长为2的正方体4BCD-如下图：

连接当5，因为N是&G的中点，

所以N是当么与&G的交点，且N是劣名的中点，

而点P在线段&N上，因此点P在线段&以上.

又因为M是BC的中点，点。在线段4M上，且4Q=|AM,

所以点。是AABC的重心.

连接8。，交AC于。，则。是AC的中点，也是BQ的中点.

由。是AC的中点知：80是△ABC在AC边上的中线，

因此点。在8。上，即点。在80上，且BQ=：B0.

又因为S是4cl与&C的交点，连接BC】，

所以点S在BDi上，且是BDi的中点.

对于A、因为点尸在线段当久上，点S在BO】上，所以PSu平面CD/iB.

又因为点。在8。上，所以&Qu平面DDiaB,

而平面DD/iBn平面=BiQ,PS〃面8通”,

因此PS〃/Q,所以A正确；

对于B、如图：

在平面。。避避中，设BiQnD[B=H.

因为8Q=：80,。是5。的中点，

所以BQ=：BD=

因此即=

所以券=|=篙，即&P=汕当=|BiN,

因此8不正确；

对于C、在正方体力BCD-aaGDi中，

因为ACJ■平面DDiBiB,PSu平面。。祖8,

所以4C1PS,因此C正确；

对于。、因为PS〃平面BiAM,

所以点P到平面814M的距离等于点S到平面以4M的距离,

因此%-814M=%-8遇”.

又因为S是4cl的中点，所以%-/AM=2,

即Vp-Bi/l财=鼻%-%%”-

又因为匕：i-Bv4M=以-BiGM=gAB•S^BRIM

1clec4

=-3x2x-2x2x2=-,3

所以4.BIAM=4M=|，因此力正确.

故选ACD

17.答案：AB

解析：

此题主要考查立体几何的线面垂直的判定，线面平行的判定，截面的找法及面积计算，属于较难题.

建立坐标系，利用向量法可判断A；取BiG中点G,连接D】G,GE,利用平面性质可知等腰梯形AD】GE

即为截面，求出其面积即可判断;根据平行间的距离不变可判断C；设外接球心为。，过。作。0'，AE,

垂足为0',则以。'为圆心，o,为半径的圆是过AE面积最小的截面圆，求出其面积即可判断。.

对于A,如图，以A为原点，4D,48,4冬为坐标轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),E(0,4,2),4(0,0,4),尸(4,2,0),(4,0,4),

AE=(0,4,2),41=(4,2,-4),力方1=(4,0,4)，

•.•盛・=0x4+4x2+2x(-4)=0>：•公F,AE，

•••力方1•A1尸=4x4+0x2+4x(-4)=0>4尸1ADi>

•••4EC4D1=4;平面故A正确；

对于8,如图，取BiG中点G,连接D]G,GE,则GE〃C$且GE=初道=2鱼，可知GB〃4Di，所

以4Di，G,E共面，则等腰梯形ADiGE即为截面，可求得其面积为18,故B正确;

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道位A

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4点是

面P圆

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