高中数学-三角函数的诱导公式教学设计学情分析教材分析课后反思

第一章三角函数

1.3三扁留教的裾寻2式（第一博时）（蒸孽急计）

一、教学内容与内容解析

“三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4第一章

第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性

质.学生在前面已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，

继续学习公式二至公式四.三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称

性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使

得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.通过简单问题的提出、诱导公式的发

现、问题的解决，体会由未知到已知的转化，为以后的三角函数求值、化简、简单证明

以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础.

诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求0°〜90°角的三角

函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思

想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式.对培养学生的创新意识、发展学生的思

维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.诱导公式的学习和推证过程还体现了三

角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.

本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提

高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学

内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能

在今后的学习中有意识地使用它们.

二、教学问题诊断分析

在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习.在

学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、

单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公

式.

在教学中可能会遇到如下几个问题：

1.在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式,

会做题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨

论制，考虑到学生的个体差异，把“强”、"中”、“弱”合理搭配，安排组长监管收集讨

论的结果，记录收集每一阶段的过程材料.

2.角12的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问

题我自己利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数

值在各个象限的变化，让学生明白角12不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突

破了难点.

3.公式的记忆也是个难点.特别是十字口诀更是理解不深.对于幻灯片中的公式，教

师对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，而记忆时将其看

成锐角.另外，反思学习过程时，体会角的终边的对称性与三角函数值之间的关系也有

利于公式的记忆.

三、目标和目标解析

（一）教学目标

根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的

实际水平，本节课的教学目标为:

1、知识目标：

(1)识记诱导公式。

(2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行筒

单三角函数式的化筒和证明。

2、能力目标：

(1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想

方法。

(2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学

归纳推理思维方式。

(3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。

3、情感目标：

(1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，养学生的创新意

识和创新精神。

(2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、

把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。

(二)目标解析

在初中学生已经学习过关于原点、x轴以及y轴对称的点的坐标的内在联系，并且前面

学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于任意角的三角函数之间存在

的联系还不清楚，或者只有一点模糊的感性认识.数学课程标准强调：“学生要获得必要的

数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体

会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习、

探究活动，体验数学发现和创造的历程."所以，根据课程标准、教材的特点、对本节课的

教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标.

根据教学内容的结构特征及教学目标,本节课采用了“问题一一发现一一归纳一一类比”

的教学方法和“自主探究一一小组合作”的学习方式.由问题驱动，通过诱导公式二至四的

探究，概括得到诱导公式的特点，提高对数学内部关联的认识，理解求任意角三角函数值所

体现出来的化归思想，培养学生的探究能力.

四、教学支持条件分析

在进行本节课的教学时，学生己经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符

号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教学时应充分注意利

用这一有利条件，引导学生多进行归纳与概括.另外，信息技术的使用也为突破教学难点、

启发学生思维、增加课堂容量提供了有力的支持.

五、教学过程设计

(-)创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题

重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

师：前面我们学习了“单位圆中三角函数的定义”及“三角函数值在各象限内的符号”

我们一起回忆一下。(提问：)(三角函数值为+的情况：一全正，二正弦，三

正切，四余弦)

4、师：课前先写出板书诱导公式(一)的左边，学生回答时再写出右边：

诱导公式(一)

sin(k,2Jr+a)=sina,cos(k•2n+a)=cosa,tan(k•2几+a)=tana(kez)

作用：“大”角化“小”角

实质：终边相同的角的同一三角函数值相等

用途：“大”角化“小”角

【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号,

对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思

考，激起学生们的兴趣.

(二)问题情境，导入新课

已知sin200=m

试求:sin380"、sin(-20")、sin160"、sin200"的值•

师：同学们掌握的很熟练，我们看下面的问题。我们先看这

些角度的终边与20度的终边有什么几何关系？

380°=360°+20°，终边重合。-20°与20°终边关于x轴对称，

160°=180°-20°终边关于y轴对称,200°=180°+20°,终边关于原点对称

设单位圆与20"终边交于点p(x,y),则与-20°的终边交点为P1(x-y),与160°的终边交于

P2(-x,y),与200°的终边交于P3(-x,-y),由单位圆中三角函数的定义sina=y知：

师生：定义:sina=y

,/sin20"=y=m,z.sin380"=y=m

sin（-20"）=-y=-m,sin160"=y=m

sin200"=-y--m

师：如果将200换成一般的角度a,当其他的角度与a呈现这种关系时，它们的三角函数

值是不是也有这种关系呢？这节课我们继续探究第二、三、四组诱导公式。

【设计意图】先用一个特例来引导学生公式的推导过程：角度的终边之间的儿何关系一一终

边上点的坐标的关系一一利用定义表示三角函数值——寻找函数值之间的关系。再将特殊角

推广到一般的角度，公式的推导过程就会水到渠成了。

(三)新课探究

1.知识探究1：乃+a与a的三角函数值的关系

师：思考下列问题：

思考1：给定一个角a，角万+a的终边与角a的终边有什么关系？

思考2：设任意角。的终边与单位圆交与点R(x,y),JL*p"

则角万+a的终边与单位圆的交点P2坐标如何？

思考3：利用三角函数的定义求出sin(Jt+a)、cos(it+a)

tan(n+a)的值，观察与sina,cosa,tana的关系。

填写下表：

角乃+a角a

终边关系关于原点对称

点的关系

P2（-x,-y）6（x,y）

sin（7r+a）=-xsina=y

三角cos（）+a）=-Ncosa=x

函数值tan（乃+a）=yy

tana=—

XX

sin（乃+a）=­sin。

探究结论公式二cos（1+a）=-cosa

tan（i+a）=tana

师：结论写到学案中，同时老师将公式二板书到黑板的第三象限。

【设计意图】采取教师引导，师生合作共同完成办法.通过脚手架式的层层提问，引导学生

自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图

通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以

渔”的目的。用填表的形式来完成公式的推导过程降低了难度，提高了学生的学习兴趣。后

两个均由学生类比讨论完成.

2.探究2、3用相同的方法归纳出公式：(学生完成，)

师：留2分钟时间学生思考，完成下表。(老师巡视，提问)

公式(三)

sin(—a)=—sinacos(-a)=cosatan(-a)=—tana

师：要求写到学案中，同时老师将公式三板书到黑板的第四象限。

师：直接提问

公式四

sin(n—a)=sincrcos(n—a)=—costztan(n—a)=­tana

师：要求写到学案中，同时老师将公式四板书到黑板的第二象限。

【设计意图】通过学生自主探究与合作交流，完成由角的终边点的对称性得到公式的过程,

充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手,

让学生参与教学活动.让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.

3、引导学生回顾公式的推导过程，体会数形结合思想的应用(结合华罗庚的名言)

师：这四组公式是一种代数表示，但它是通过终边的几何关系得到的。这体现了数形结合

的思想。在今后研究数学问题时要记住“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百

般好，割离分家万事休”。

几何关系代数表示

4.引导学生总结四个诱导公式的规律和记忆方法：

师：这么多公式怎么记住呢？

①我们来观察有无规律，首先公式左右两边函数名称什么规律？(相同)

②再来观察公式右边的符号的规律。如果将a当成锐角，

则a+k・2n在第一象限，K-a在第二象限，n+a在第三象限，一a在第四象限。由三

角函数值在各象限的符号，公式右边的符号与原函数值的符号是一致的。

因此我们可以用下面一句话来概括公式一〜四：a+k・2n(kez),一a,n±a的三角

函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号

有的同学还是嫌长，那我就送你一个

锦囊妙“记”：函数名不变，符号看象限(把a看作锐角时)

5.留1分钟时间学生记忆公式(大声读)

【设计意图】逐步理解十字口诀含义，并且训练学生的概括能力.让学生感受数学美和发

现规律（公式）的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要

做个有心人，发现规律并非难事.解决掉因为公式多难记忆的学习难点，做到当堂的内容

当堂解决，同时让学生喜欢上数学。

6.课堂练习

1.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上（齐答）

(l)cos(—)(3)sin("_?=

4

【设计意图】利用三个简单的小题可以使学生初步尝试公式的使用，也可以检测学生对公式

的记忆程度，发现问题，在下面例题的讲解中做到有的放矢。

（四）题型示例

例L利用公式求下列三角函数值：

（1）3225。（2）sin—

（3）sin（—（4）cos（—20400）

师：教师板书（3）,两种方法。提问（4）

师：小结：方法及步骤：

上述步骤体现了有未知转化为已知的化归思想。

【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，，一般情况下，1、2小

题都能很快解决，只是到了第3、4小题时，条件变化稍复杂一些，同学们就会出现思维障

碍，需及时引导他们去进行角的转化，3小题采用两种方法解决，并且教师板书过程，在实

践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从

未知到己知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔.

课堂练习2（学生爬黑板）

利用公式求下列三角函数值：（课本27页练习2）

（1）cos（-420°）（2）sin6葺）（3）tan葛

【设计意图】变式是为了让学生进一步理解公式中角的任意性而设立•体会公式的应用，特

别是让学生体会角度的转化过程。学生爬黑板进行板演利于发现学生的问题，及时纠正。

学以致用2

例2.化简,c°s（18°+①=19+360）

sin（-（z-180）-cos（-180-a）'

师：老师讲解sin（-。-180。），提问cos（-180。-。）及其他。

【设计意图】在例题的选取与设计上，主要体现“由易到难，由简单到复杂，层层推进”的

想法，例1体现在求值上，例2主要体现在化简上，使学生明白公示的应用所在.变式需要

利用诱导公式进行一下变形再求值，对于初学者有点难度，需要教师从旁指导.练习是递进，

体现化归思想、整体思想、使学生思维得到锻炼，体验学习的乐趣，从而达到初步掌握知识

应用的目的.

课堂练习3

化简：（课本27页练习3）（提问）

sin(a+180)cos(-a)sin(-a-180°)

（五）课堂小结:

会用四组公式要求掌握并能应用

感受三个过程公式探究、归纳总结、概括步骤

体现两种思想数形结合、转化与化归

把握一个规律函数名不变，符号看象限

【设计意图】通过提问的形式，引导学生概括归纳已有知识，发现知识规律及其结构特征,

形成知识系统；深化对诱导公式内涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化

的思想方法，形成知识网络和方法网络，培养学生的抽象概括能力。

（六）达标检测

l.sin210°=

A.也B..BC.lD.——

22422

2.已知tan(乃+2a)=——,tan2a=

3-----------

3.化简：l+sin(a-2^)«sin阮+a}-2cos2(-a)

【设计意图】再一次检测，便于发现问题，真正的抓好课堂上的落实问题。

（七）布置作业

必做题：学案课后能力训练

选做题：习题1.3B组1

预习作业：

（1）根据公式二、三、四中的任意两组公式推导出另外一组公式

（2）角］±a与a的终边有何关系？它们的正（余）弦值又有何关系？

【设计意图】通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力；思考题的

设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是

本节内容的一个提高与拓展.

六、板书设计

1.3三角函数的诱导公式

例1:求值

▲

（3）方法一：

学生板演

方法二

公式四公式一

---------------------------------------►

例2：化简

公式二公式三

口诀：函数名不变，符号看象限

（把a看成锐角）

4-1.3三扁留教的裾肾区式（第一课时）

学倩分析

在初中学生已经学习过关于原点、X轴以及y轴对称的点的坐标的内在联系，学生

理解和掌握了任意角的三角函数值的定义，并学习了诱导公式一，对诱导公式的结构特征有

了初步的认识.同时学生比较熟悉几何图形的对称性，具备一定的看图实图能力，但对于任

意角的三角函数之间存在的联系还不甚清楚，或者只有一点模糊的感性认识，还不能够把单

位圆的性质与三角函数联系起来，对于数形结合与归纳转化推导公式的思想方法还需要加强

训练。

1.3三傕备教的杨乡公式（第一诿时）（敛果分析）

（-）本节课教法的设计原则是贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教

学思想，深化课堂教学改革.主要体现在从三方面：

1.计算机辅助教学

借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的角的终边的对称关系，角的终边变化

和三角函数值的关系使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示变化的过程,

使问题形象、直观，易于得出一般结论.

2.探究式教学

本节课安排先由特殊的角的三角函数值，得到猜想，再使用课件直观演示一般问题的变

化中的相等、相反关系，然后通过论证，形成一般的任意角的结论，最后通过例题总结出解

题的一般规律.这样的安排符合学生的认知规律，不仅使学生获得诱导公式，而且也有利于

培养学生从特殊到一般的归纳和抽象能力，有利于提高数学的数学素养.

3.小组合作式教学

小组学生三层组合，对于问题的解决提出不同意见，分别给学生展示的机会，使他们充

满信心，而且小组学习起到了相互交流、督促的作用.

（二）在授课过程中遇到的问题及解决办法

1.在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做

题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制，考

虑到学生的个体差异，把"强"、"中"、"弱"合理搭配，安排组长监管收集讨论

的结果。

2.角的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我自己

利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限

的变化，让学生明白角不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突

破了难点。

3.公式的记忆也是个难点.编制口诀帮助记忆，特别是十字口诀的含义需要正确的理解.教

师对于幻灯片中的公式,对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，

而记忆时将其看成锐角.另外，反思学习过程时，指导学生联系角的终边的对称性与三角函

数值之间的关系，也有利于公式的记忆.

4-1.3三隔备教的裾身2式（第一番时）

教材内容与内容解析

“三角函数的诱导公教科书人教A版必修4第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱

导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质.学生在前面已经学习了诱导公式一和

任意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，继续学习公式二至公式四.三角函数的诱导

公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标

轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.

通过简单问题的提出、诱导公式的发现、问题的解决，体会由未知到已知的转化，为以后的

三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础.

诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求0°〜90°角的三角函数

值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，

反映了从特殊到一般的归纳思维形式.对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握

数学的思想方法具有积极的作用.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部

联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.

本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对

数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的

重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习

中有意识地使用它们.

1.3三角函数的诱导公式评测练习

一、选择题

已知sin（工+&）=且，则sin（女一&）值为（）

1.

424

旦V3

22V

2.cos(乃+a)=­L叫<a<2zr,sin(2zr-a)值为()

22

A.BB.1V3

C.

224以2

3.化简：Jl+2sin(»-2)・cos(T-2)得()

A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.±cos2-sin2

I-3冗

4.已知tana="3,71<a<—，那么cosa-sina的值是()，

BC，D

二、填空题

5.如果tanasina<0,且0vsina+cosavl,那么a的终边在第象限

6.求值：2sin(—11100)-sin960°+V2cos(-225°)+cos(-210°)=

三、解答题

2cos3。一sin之(。+〃)-2cos(-^一》)+17T

7.设f(6)=，求的值.

2+2cos2(7%+3)+cosj?)

.,asin(万一a)+5cos(2万一a)士

8.已知方程xnsin(a-37i)=2cos(a-4兀)，求------------------------的值。

37r

2sin(--a)-sin(-a)

1.3三角函数的诱导公式评测练习答案

一、选择题

1.C2.AC4.B

二、填空题

5.二6.—2

2cos3^-sin204-2cos。+1

2+2cos26+cos。

2cos3^-(1-cos26)+2cos6+l

2+2cos2夕+cos。

2cos°6+cos?6+2cos6

2+2cos2夕+cos。

cos^(2cos2e+cosS+2)

cos。

2cos20+cos0+2

8.解：Vsin(a-3K)=2cos(a-4TI)

sin(3兀-a)=2cos(4兀一a)

，一sin(7t-a)=2cos(-a)

sina=-2cosa且cosaw0

sina+5cosa-2cosa+5cosa_3cosa_3

一2cosa+sin。-2cosa—2cosa-4cosa4

1.3三傕备教的杨乡公式（第一课时）（退石反恩）

1.关于设计定位的反思

就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于

知识的学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位

于公式的学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律,背诵“函数名不变，符号看象限”

等口诀，追求灵活运用等解题能力的提高。公式理解强过公式记忆。关于公式规律的总结和

口诀的记忆，当然很重要，但这不是第一节课的内容。我们可以在所有诱导公式都学习过后，

再来总结不迟。此外，采用本课的利用对称性的方法来学习诱导公式，可以通过图形的对称

性来形象记忆，可以减轻学生记忆负担，规避死记硬背现象的发生。其三，聚焦诱导公式的

推导过程，强调对公式产生的过程的深入理解。其四，在关注知识学习的同时，渗透数学思

想方法的理解和领悟。本课主要涉及数形结合、从一般到特殊或从特殊到一般、模型思想、

化归思想、追求简易等数学思想方法。我们认为新授知识是很重要的，而数学思想方法是蕴

含其中的，应该潜移默化地渗透，不能贴标签，更不能因为数学思想方法的重要而喧宾夺主

地过渡渲染。

2.关于教学难点的突破

1）本节课的难点在于从问题2出发，发现关于y轴对称的三角函数诱导公式，从而总

结出研究线路图。从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位,

力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，这样处理的好处是简化了任意角的象

限分类和化归，起到了利用直观的对称这个工具和研究手法去研究诱导公式的变化规律的目

的，揭示了代数和几何的有机结合和统一。

2）a任意性循