高中数学《指数函数与对数函数的关系》学案5 新人教B版必修1

第四章指数函数与对数函数学案(1)分数指数塞

卷目标

1.理解分数指数辕和根式的概念；

2.掌握分数指数幕和根式之间的互化；

3.掌握分数指数幕的运算性质：

4.培养观察分析、抽象等的能力.

KA一复习

1.什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

2.整数指数塞的运算性质.

新课

n次方根：______________________________________________

类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时

呢？

例1：求下列各式的值

⑴霏短(2)V(-10)2⑶#(3F)4(4)J(a-()2

练习一

1.求出下列各式的值

(1)(2)[(3"3)3(a<1)(3).(3a-3)4

2.若力2_2“+1=a_1,求a的取值范围.

3.计算3(一8)3+#(3—2)4_^(2^6)3.

例2：

2

85=25工

16--y/ay/a

(―)4=t?yJa

81一

练习二

1.计算:的结果.

4"2

2

2.若a3=3,al0=384,求的值组户］

。3

3.计算下列各式：

a2

(1)(V25-V125)-V5：⑵(〃>0).

!111

/a2+b2

4.化简⑴一~r+―—r

a2+b^a2-b^

5.已知x+x-=3,求下列各式的值

(1)Xi+X^

J」

(2)x?—x2

3_3

(3)户+一

3_3

(4)一―一

34

I~i—a2b、2_9b3

6.已知：6i=2V7,b=5叵,求广•——的值.

/33_1_423

Na3b-2-6aM+9而«4+^3

学案(2)幕函数

i.理解塞函数的概念；

2.通过具体实例了解幕函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

©渤课

研究函数的图像

(1)y=x(2)y=(3)y-x2

(4)y=x-1(5)y=x3

暴函数：__________________________________________________

填表

1

y=xy=x2y=x3y=x—।

定义域

奇偶性

单调性

定点

例1.证明幕函数=«在［0,+oo)上是增函数.

例2.利用函数的性质，判断下列两个值的大小.

33_2

(1)2%,37(2)(x+l)2,/(x>0)(3)(a2+4p,15

d连练习

2

画出y=x§的图象，并求出其定义域，判断其奇偶性，判断和证明其单调性.

附:

作业

一、选择题：

1.下列函数中既是偶函数又是(-8,0)上是增函数的是()

43]|

(A)y=(B)y=(C)y-x~2(D)y=x4

1

2.函数y=h02在区间弓,为上的最大值是()

(A)-(B)-1(C)4(D)-4

4

3.下列所给出的函数中，是幕函数的是()

(A)y=-尤3(B)y=x-3(C)y=2x?(D)y=x3-

4

4.函数y=的图象是()

(A)(B)(C)(D)

5.下列命题中正确的是()

(A)当a=0时函数y=x"的图象是一条直线

(B)幕函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点

(0若塞函数y=x"是奇函数，则y=x"是定义域上的增函数

(D)塞函数的图象不可能出现在第四象限

6.函数y=d和了=X3图象满足()

(A)关于原点对称(B)关于x轴对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

7.函数y=xIxl,xwR,满足()

(A)是奇函数又是减函数(B)是偶函数又是增函数

(C)是奇函数又是增函数(D)是偶函数又是减函数

8.函数y=7x2+2x-24的单调递减区间是()

(A)(-00,-6](B)[-6,+oo)

(0(-00,-1](D)[-1,+8)

9.(选做)对于幕函数/(X)=/,若0<玉</，则/("巨)，八""")大

小关系是()

(A)f卢+々))/(4)+/(—2)

722

⑻f卢+-2)：/0)+/(尤2)

22

(C)f卢+丁2)_/区)+/(》2)

722

(D)无法确定

二、填空题：

_3

10.函数y=x”的定义域是.

11.基函数/(x)的图象过点(3,昉)，则/T(x)的解析式是.

12.丁=》『-4加9是偶函数，且在(0,+8)上是减函数，则整数。的值是

13.(选做).基函数y=x"互质)图象在一、二象限，不过原点,

则上机力的奇偶性为.

三、解答题

14.比较下列各组中两个值大小.

色色55

⑴0.6苗与0.7元；(2)(-0.8SK-)0.891

15.已知器函数/(x)=xMJ2"3(机wZ)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称,

试确定/(x)的解析式.

16.求证：函数y=/在R上为奇函数且为增函数.

17.下面六个幕函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

3_12_1

(Dy=(2y=九3(3y=(4y=x~2(5y=x-3(6y=x^

(A)(B)(C)(D)(E)(F)

等马分层训练

1.若历'=-2x,则x的取值范围是()

(A)x>0(B)x<0

(C)x>0(£))x<0

2.计算

(百+立)2°°3.(6-&的值是()

(A)1(B)V3-V2

(C)V3+V2(D)V2-V3

3.化简：](4]2一⑵4+912””空的结果是()

(A)2a-3b(B)3b-2a

0r

(C)±(2a-3b)(D)y-a

4.求值(1)(在y=；

(2)J(-2『=—；

(3).(6-2)4=

5.当8<x<10时，.J(X-8)2々(IO)=

6.化简：-7=H—T=-----(A/5+2)°-J9-4*\/^—

V45V5-2

7.求值：小+2&-布-2指.

8.化简：Jx+2Jx-1+'x-2Jx-1)(1<x<2).

9.化简：（vr^i）2+y（x_i）4+#（一）3.

10.化简：J(X+1)2+((X+1)3+海.

x+y+2孙

11.化简

4x+y[yXy/y+y4x

学案（3）指数函数的定义

1.复习事的构成；

2.复习幕的运算；

3.引入简单的指数函数.

⑥—复习

1.求下列各式的值：

।64--3(4)

⑴卜平⑵（石I(3)1000()7寻

2.已知x+x'=3,求下列各式的值：

II33

⑴X^+xW⑵产+”

&L新课

指数函数是基本初等函数之一.

我们在学习指数函数时可以以实际例子来引入，如：

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂X次

后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？

分裂次数：1,2,3,4,x

细胞个数：2,4,8,16,y

由上面的对应关系可知，函数关系是y=21

再如：

某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,x年后的价格为y,则y与x

的函数关系式为>-=0.85'.

在y=2,,y=0.85'中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函

定义:_____________________________________________________________________

探究1：为什么要规定a>0,且aW1呢？

探究2：函数y=2-3,是指数函数吗？

探究3：-•般地，指数函数的图象应该是什么样的？（试用描点法完成，可参考y=2"与

y=（£|的图象）

探究4：能否得出一般性的结论:

图象和性质

a>10<a<l

图

象

（1）定义域：

性（2）值域:

质（3）过定点______

增减性：（4）在R上是_函数（4）在R上是_函数

例1:判断增减性

(Dy=4、⑵y=0.2*(3)y=5-x

例2:比较大小

⑴I/7?'与17⑵ON与0.8—⑶I.7°3与L7"

&练习

1.比较大小(1)3°，307；(2)0.75010.753

(3)1.01271.0/(4)0.99：”0.99'±

2.函数y==F的定义域是；值域是.

3.函数y=卜J4的定义域为()

(A)(—2,+a))(3)口,+8)(C)(。)(-8,一2)

4.已知/(x)=a2x2+3x-\g(x)=ax2+2x-\a>0,a*1),确定x的范围，使得f(x)>g(x).

学案(4)指数函数的图象与性质

,0—目标

1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；

2.掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性;

3.培养数学应用意识.

WP—复习

y=a'(a>0且aW1)的图象和性质

a>10<a<l

7

图

(0,1)

象

00X

X

(1)定义域：R

性(2)值域：(0,+8)

质(3)过点(0,1),即x=0时，y=l

(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数

新课

一般地，对于函数的学习，无非就是从以下几个方面着手，定义域、值域、单调性、奇偶

性、反函数等，下面我们一一对此进行解决.

(-)定义域：

求下列函数的定义域、值域：

1____

(1)y=0.4鬲(2)y=2*+l(3)(选讲)y=3臼.

（二）同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2''的图象的关系:

（1）y=2向与y=2*+2（2）y=2,1与y=2x-2

（三）奇偶性：试画出函数卜=2H，），T21的图象，并判断其奇偶性.

（四）探讨函数y=优和y=a~x（a>0且a*1）的图象的关系

（五）单调性：

求函数y=的单调区间，并证明.

2*+1

（六）讨论函数y=的奇偶性.

（七）推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出.

基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得

到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以卜几种形式:

函数y=f(x)

y=f(x+a)a>0时，向左平移a个单位；“<0时，向右平移a|个单位.

y=f(x)+bb>0时，向上平移b个单位；bVO时，向下平移|b个单位.

y=f(-x)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.

y=-f(x)y=-f(x)与y=f(X)的图象关于X轴对称.

y=-f(-x)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.

y=f(|x|)的图象关于y轴对称，xNO时函数即y=f(x),所以x

y=f(1x|)

<0时的图象与xNO时y=f(x)的图象关于y轴对称.

；y=,•'•y=lf(x)l的图象是

y=1f(x)|[-/(x)J(x)<0.

y=f(x)NO与y=f(x)<0图象的组合.

y=/T(x)y=f'(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.

作业

一、选择题

__L__L_i1

1.化简(1+2-访)(1+2-记)(1+2入)(1+2*)(1+2^),结果是()

1_±_±

(A)-(1-232)'(B)(1-232)1

2

।_1

(C)1-232(D)-(1-232)

2

2.小序)4)(板7)4等于()

(A)a'6(B)a8(C)a4(D)a2

3.若a>l,b<0,且a"+aF=2痣，则a'-a-b的值等于()

(A)屈(B)±2(C)-2(D)2

4.函数f（X）=（。2一1尸在R上是减函数，则。的取值范围是（）

(A)a>1(B)\a\<2(C)G<V2(D)l<a<V2

5.下列函数式中，满足f（x+l）=,f（x）的是（）

2

(A)-(x+1)(B)x+-(C)2”(D)2r

24

6.下列£&）=（1+屋）2寓-，是（）

（A）奇函数（B）偶函数

（C）非奇非偶函数（D）既奇且偶函数

11~1

7.已知a>b,ab#O下列不等式(1)a2>b2,(2)2a>2h,(3)(4)a3>b3,(5)

ab

（1r＞（|）fc中恒成立的有（）

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

2X-1

8.函数y=-----是()

2、+l

（A）奇函数（B）偶函数

（C）既奇又偶函数（D）非奇非偶函数

9.函数y=」一的值域是（

)

2X-1

(A)(-oo,l)(B)(-oo,0)U(0,+00)

(C)(-1,+GO)(D)(-00,-1)U(0,+oo)

10.下列函数中，值域为R.的是()

(A)y=52-x(B)y=(—)1x

3

v

(C)y=(D)y=71-2

IL(选做)下列关系中正确的是()

1-2I

(A)(-)3<5<3

2

22

(B)(-)3V(-)3V3

22

22

]_

(C)3<()3V(-)3

22

1f-1i

(D)(-)3<(-)3<(-)3

522

12.若函数y=3+2"'的反函数的图像经过P点，则P点坐标是()

(A)(2,5)(B)(1,4)(C)(5,2)(D)(4,1)

13.函数f(x)=3*+5,则fYx)的定义域是()

(A)(0,+oo)(B)(5,+oo)

(C)(6,+oo)(D)(—oo,+oo)

14.已知函数f(x)=a'+k,它的图像经过点(1,7),又知其反函数的图像经过点(4,0),则

函数f(x)的表达式是()

(A)f(x)=2x+5(B)f(x)=5x+3(C)f(x)=3*+4(D)f(x)=4x+3

15.已知0<a<l,b<T,则函数y=a"b的图像必定不经过()

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

2

16.(选做)F(x)=(l+1—>”X)(XHO)是偶函数,且f(x)不恒等于零，则f(x)()

(A)是奇函数

(B)可能是奇函数，也可能是偶函数

(C)是偶函数

(D)不是奇函数，也不是偶函数

二、填空题

3

1.若a之则。的取值范围是.

2.若10*=3,10M,则10"=.

5.函数y=d)口”川(_3<x<l)的值域是.

3

6.直线x=a">0)与函数丫=(』)*,丫=(l)*,丫=2',丫=1(/的图像依次交于4、8、(：、D四点，

32

则这四点从上到下的排列次序是.

7.函数y=327/的单调递减区间是.

8.若f(5")=x-2,贝Uf(125)=.

9.函数y=m"+Zm'T(m>0且mW1),在区间[T,1]上的最大值是14,则m的值是.

10.已知f(x)=2',g(x)是一次函数，记F(x)=f[g(x)],并且点(2,-)既在函数F(x)的

4

图像上，又在F'(x)的图像上，则F(x)的解析式为.

三、解答题

1.设0Va<1,解关于x的不等式a2--3X+1>&八2尸5

2.设f(x)=2X,g(x)=4X,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)],求x的取值范围.

3.(选做)已知xe[-3,2],求f(x)=」——L+1的最小值与最大值.

4XT

n.2"+d—2

4.(选做)设aeR,f(x)=(xe/?),试确定a的值，使f(x)为奇函数.

2'+1

5.(选做)已知函数y=(±)L2X+5,求其单调区间及值域.

3

6.(选做)若函数y=4'-3-2"3的值域为[1,7],试确定x的取值范围.

ax-1

7.已知函数f(x)=---(a>1),

ax+1

(1)判断函数的奇偶性；

⑵求该函数的值域；

⑶证明f(x)是R上的增函数.

学案(5)对数的概念

目标

1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；

2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力.

新课

1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂x

次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？

分裂次数：1,2,3,4,x

细胞个数：2,4,8,16,…，y

经过多少次分裂可以得到1024个？即：1024=2、

2.庄子：一尺之趣，日取其半，万世不竭(1)取4次，还有多长？(2)取多少次，还

有0.125尺？

3.假设2002年我国国民生产总值为。亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年国

民生产总值是2002年的2倍？

抽象出：1.=?)[g)=0.125nx=?2.(1+8%)A=2=>x=?

也是已知底数和基的值，求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？

二、定义：________________________________________________________

探究：

(1)底数的取值范围；真数的取值范围.

(2)负数与零有对数吗？

⑶log(,1=，iog„a=

(4)对数恒等式：如果把ab=N中的b写成log“N的形式，则有

a10g«N=.如果把b=log„N中的N写成/,贝ij有log„ab=

(5)常用对数：

(6)自然对数:

例1将下列指数式写成对数式:

(1)54=625(2)2^=—(3)3"=27(4)(-)m=5.73

643

例2将F列对数式写成指数式：

(1)logt16=-4(2)log,128=7

2

(3)IgO.01=-2(4)lnl0=2.303

例3计算：(1)1(^27(2)log381(3)log5625(4)log^+⑸(2—a)

1.把下列指数式写成对数式

1_11

(1)23=8(2)25=32(3)2-1(4)273=-

23

2.把下列对数式写成指数式

(1)log39=2(2)logs125=3

⑶10g2；=-2(4)log3A=-4

3.求下列各式的值

⑵log2[

(1)log525

lo

(3)1g100(4)1g0.01

(5)1g10000(6)1g0.0001

4.求下列各式的值

(l)log”15(2)log041(3)log981

(4)log25625(5)log7343(6)log3243

◎"必作业

1.把下列各题的指数式写成对数式

(1)42=16(2)30=1(3)4'=2(4)2'=0.5

(5)3*=81(6)10*=25(7)5*=6(8)4'=-

6

2.把下列各题的对数式写成指数式

(l)x=log527(2)x=log87(3)x=log43

(4)x-log1

7(5)x=lg5(6)x=1g0.3

学案（6）对数的性质及运算

L目标

1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；

2.能较熟练地运用法则解决问题.

》复习

1.对数的定义log.N=b其中aw(0,l)U(l,+8)与Nw(0,+8).

2.指数式与对数式的互化.

幕真数

<7与=N<—>log(3N=b

底数指数底数对数

3.重要公式：

(1)负数与零没有对数；

⑵log"1=0,log„a=1

(3)对数恒等式=N

a"'-a"=am+n(m,neR)

4.指数运算法则(九〃eR)

(ab)n=a"bn(neR)

试推导积、商、募的对数运算法则：

如果a>0,ax1,M>0,N>0

k)g“M+log(,N=

log(,M-logaN=

log„Mn=

例1计算

75

(1)log525(2)log041(3)log2(4X2)(4)IgVlOO

例2用log”x,logay,logaz表示下列各式:

⑵啕学.

(l)loga—；

z

例3计算:

⑴⑵需⑶鼻a

&练习

1.求下列各式的值：

(1)log26—log23.(2)Ig5+lg2.

⑶log53+log51.

(4)log35—log315.

2.用Igx,Igy,Igz表示下列各式:

作业

L计算:

(1)loga2+logu(a>0,a#l)(2)log318—log32

(3)1g--lg25(4)21og510+log50.25

4

(5)21og525+31og264(6)log2(log,16)

2.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)

(1)lg6(2)lg4(3)lgl2

(4)1g-(5)lgV3(6)lg32

2

3.用log°x,logay,log“z,loga(x+y),log”(x—y)表示下列各式:

⑴log”g

⑵10g“

yz

!_2

(3)log“(xy^z§)

X4-V

(5)log,,(---y)⑹WE

x-y

4.求x的值：

/、，3

(1)log3X=--⑵log2^^--

(3)log(2/T)(3x2+2x-l)=l

⑷log2[log3(log4x)]=0

5.填空：log464=lgiooooo=

log6[log4(log381)]=_________________________

学案（7）对数的换底公式

L目标

1.掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题.

2.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力;

复习

如果a>0,awl,M>0,N>0有:

】og“(MN)=log“M+log„N

M

log〃斤=log”〃Tog“N

log”Mn=nlog.M(neR)

M新遽

试证明与理解:

1.对■数换底公式:

logN

log”N=------(a>0,czwLm>0,m*1,N>0)

log,”a

2.两个常用的推论：

①logflb-logfea=1,log10gzic-logt.a=1

②log,bn=—\ogh(a,b>0且均不为1)

°nma

例1(1)log927,(2)log%81，(3)log.-625,

例2已知log23=a,log37二b,用a,b表示log4256

例3计算：①5"嗓°-23②log43.log92-log,V32

2

例4设x,y,ze(0,+8)且3,=4'=6)求证-+—=L

x2yz

①已知log189=。，18"=5,用a,b表示log3645

②若logs?=p,logjS=q,求lg5

1.计算：(log43+log83)(log32+log92)-log,V32

2

2.若log34-log48-log8m=log42,求m

3.求值：lg5」og版20+(lg2'")2+3喝2T

1087532+lg2

4.求值：2+log(2+75)(7+4V3)-10

学案（8）对数函数的性质

1.了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系；

2.会求对数函数的定义域；

3.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力.

1.对数函数是指数函数的反函数,我们可以根据互为反函数的两个函数的图象间关于直线

y=x对称的性质，引入对数函数的定义和相应的性质

在这一点上，在学习反函数部分内容时，有些同学应该已经想到或者已经理解了，今天我

们可以再把它加固一下.

2.指数与对数的转化：

幕真数

底数指数底数对数

3.函数的图象与性质：

我们可以通过图象对称的方法得到对数函数的图象

由图象我们可以和指数函数一样得到一些性质:

a>10<a<l

图

象

定义域:__________

值域：____________

过点______，

性

质X6___时y<0_时y>0

xe___11寸y>0_时y<0

在—上是增函数在——上是减函数

例1求下列函数的定义域：

22

(1)y=log„x；(2)y=loga(4-x)；(3)y=logu(9-x)

2

例2：(1)试讨论函数y=log2(x-2x-3)的单调区间.

(2)试讨论函数y=log„(9-x2)的单调区间.

1-x

例3：试讨论函数y=log,的奇偶性.

1+X

例4：求下列函数的反函数

⑴y=-1(2)y=(l/+l+3(x<0)

堂3练习

1.求下列函数的定义域：

(l)=log3(1-x)(2)y=­--

log2x

(3)y=log7—^―(4)y=jog3x

l-3x

(5)y=*og2x(6)y=Jlog()5(4x-3)

(7)y=log](-x2+4x+5)

3

2.求y=logo,3(，-2x)的单调递减区间

3.求函数y=log2(，-4x)的单调递增区间

4.求下列函数的反函数:

⑴y=4*(xGR)⑵y=0.25‘(xWR)

(3)y=(1)v(xeR)(4)y=(后尸(xeR)

(5)y=lgx(x>0)(6)y=21og4x(x>0)

(7)y=logq(2x)(。>0,且a#1,x>0)

x

(8)y=loga—(6Z>0,ax>0)

5,血出函数y=log3X及y二log】x的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.

6.(选做)试讨论函数y=log“(x—Jl+x2)的奇偶性.

学案（9）对数函数性质应用

,3—目标

1.巩固对数函数性质，掌握比较同底数对数大小的方法；

2.能够运用解决具体问题；

3.渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力.

⑥—复习

1.指对数互化关系：

一⑥一新课

在一些比较大小的题型里，我们无法直观地分析出它们之间的大小关系，所以就要有一些

特定的方法，比如无理式要进行平方再比较等.今天我们在指数式比较大小的基础上再次利用

“桥”的思想来进行对数式的比较.

例1比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log,3.4,log,8.5；(2)log031.8,log032.7；

(3)log“5.1,log“5.9(。＞0,aw1)

例2比较下列各组中两个值的大小：

(1)log67,log76(2)log3^,log20.8

练习

1.比较大小

(1)log030.1,log020.1

⑵log030.7,log040.3

(3)log20.7,log,0.8

5

2.已知下列不等式，比较正数m、n的大小：

(1)log3m<log3n(2)log03m>log03n

(3)logum<logwn(0<a<1)(4)logflm>logfln(a>1)

学案30）函数知识总结（学生阅读）

一卷—月标

1.了解本章知识网络结构;

2.进•步熟悉函数有关概念;

3.熟悉二次函数的基础知识及运用;

4.进一步认识函数思想:

5.加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.

本章知识网络结构:

前面一段，我们一起研究了函数的有关概念及问题，并掌握了一定的分析问题、解决问题

的方法，这一节，我们开始对本章小结，使大家进一步熟悉函数的有关概念、基本方法与基本

的解题思想；并通过典型例题分析进一步提高大家的分析问题、解决问题的能力.

二、本章知识网络结构：

Z义---—>B像I~~箔义域

|一遁域

映射•般研究一辨质——单―

II一谕偶性

I—函数If期性

淞数一3

I—老次函数

一澳体函数一芳异数指数通数

»寸数——附数函数

三、深刻理解函数的有关概念:

概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数三

要素（对应法则、定义域、值域）；反函数；函数的单调性，最大（小）值等是函数有关概念

的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质

特征.

1.映射的定义，必须明确如下几点

(1)映射f:A-B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序.

(2)映射必须是“多对一”或“一对一”的对应，即允许集合A中不同元素在集合B中有

相同的象，但不要求B中的元素在A中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B的真子

集.

(3)映射所涉及两个集合A、B(均非空)，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成

的集合.

2.函数的概念

在映射的基础上理解函数概念，应明确：

(1)函数是一种特殊的对应，它要求是两个集合必须是非空数集；函数y=f(x)是“y是x

的函数”这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f是表示对应法则，它

可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有的只能用文字语言叙述.

(2)函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素,

因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数

才是同一函数.

(3)确定函数定义域是函数这部分所涉及的重要问题之一，应会求各种函数的定义域，若

为实际问题还应注意实际问题有意义.

3.函数的单调性

函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：

(1)它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调

性必须指明区间(可以是定义域，也可以是定义域内某个区间)，例如函数丫=,在(-8,0)

X

上是减函数，在(0,+8)上也是减函数，但决不能讲函数y=L是减函数.

x

(2)用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值

作差化积定号.

(3)由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大，则为增函数，反之,

为减函数；山函数图象的走向十分直观反映函数变化趋势，当函数的图象(曲线)从左到右是

逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.

4.反函数

反函数是函数部分重要概念之一，应明确：

(1)对于任意一个函数y=f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它

的反函数是互为反函数.

(2)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，

应先确定原函数的值域.

(3)求反函数的步骤是“一反解”“二互换”“三标明”.所谓一反解，即是首先由给出原

函数的解析式y=f(x),反解出用y表示x的式子x=fT(y)；二互换，即是将x=fi(y)中的

x,y两个字母互换，解到y=fT(x)即为所求的反函数(即先解后换).当然，在同一直角坐标

系中，函数y=f(x)与x=ft(y)是表示同一图象，y=f(x)与y=f'(x)的图象关于直线y=x对称;

三标明，就是必须标明定义域，同学们要明确一点，对于求求解反函数的题型，如果不标明定

义域等于没有做.

(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.

(5)原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的.

5.方法总结

(1)相同函数的判定方法：定义域相同值域相同且对应法则相同.

(2)函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.

(3)反函数的求法：反解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).

(4)函数的定义域的求法：列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的

定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0：③对数的真数大于

0,底数大于零且不等于1；④零指数幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

(5)函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤

不等式法；⑥函数的单调性法.

(6)单调性的判定法:①设X”X2是所研究区间内任两个自变量，且X1<X2；②判定f(X1)

与fix?)的大小；③作差比较或作商比较.

(7)奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关

系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-X)=0

为奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)+f(-x)=T为奇函数.

(8)图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的

图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

(9)函数的应用举例(实际问题的解法).

解决应用问题的一般程序是：

①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化成数学语言，利用