初三奥数之与圆有关的角

专题19与圆有关的角

阅读与思考

与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供

相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的

位置关系.

角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三

角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，在△A3C中，AB=AC=y[5,BC=2,以AB为直径的分别交AC,8c于点Q,E,

则的面积为__________.（海南省竞赛题）

例1题图例2题图

解题思路：作。尸，8C于尸，需求出CE,。尸的长.由为。。的直径作出相关辅助线.

【例2】如图，/XABC内接于0。，M是冷C的中点，AM交8C于点。，若A£）=3,DM=l,则MB

的长是（）

A.4B.2C.3D.y[3

解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.

【例3】如图1,。。中AB是直径，C是。。上一点，NABC=45°,等腰直角三角形DCE中，

NOCE是直角，点。在线段AC上.

(1)证明：B,C,E三点共线；

(2)若M是线段的中点，N是线段4。的中点，证明：MN=y12OM；

(3)将△OCE绕点C逆时针旋转a(0°<a<90°)后，记为(如图2).若跖是线段的中点,

M是线段AS的中点，是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.

解题思路：对于(2),充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.

【例4】如图所示，ABCD为。。的内接四边形，E是上的一点，

/BAE=/DAC.求证：(1)Z\AB£SZ\AC。；

(2)AB-DC+AD-BC^AC-BD.(陕西省竞赛试题)

解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.

【例5】如图1,已知。M与x轴交于点A,D,与y轴正半轴交于点8,C是。〃上一点，且A(—

2,0),B(0,4),AB=BC.

(1)求圆心M的坐标；

(2)求四边形ABC。的面积；

(3)如图2,过C点作弦C尸交8。于点E,当3。=2万时，求CP的长.

解题思路：作出基本辅助线(如连接或AC),这是解(1)、(2)的基础；对于(3),由BC=2E,得/

BEC=ZBCE,连接AC,将与圆无关的/BEC转化为与圆有关角，导出B平分/ACD,这是解题的关键.

【例6】如图，AB,AC,AD是。。中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE

求证：(1)ZCAD=2ZDBE；

(2)AD2-AB2=BD-DC.(浙江省竞赛试题)

解题思路：对于(2),A£)2-AB2=(AD+AB)(AD-AB)=(AD+AE)(AD-AE)^(AD+AE)•DE,需

证(AO+AE)•DE=BD•DC,从构造相似三角形入手.

能力训练

A级

1.如图，A3是。。的直径，点C在。。上，N2AC=30°,点尸在线段。8上运动.设NACP=x,则

尤的取值范围是.

2.如图，A8是。。的直径，弦CD_LA8,尸是CG的中点，延长AE交。。于E,CF=2,AF=3,则

EF的长为.

第1题图第2题图

3.如图，AB,CD是。。的两条弦，它们相交于点P.连接A。，BD,已知AZ)=BO=4,PC=6,那么

CD的长为.

已知AB=BC,CD=；8£>=1.设AD=x,

4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P,

用x的代数式表示以与PC的积：PA-PC=.(宁波市中考试题)

5.如图，AOBC是。。的内接四边形，AB为直径，BC=A8C,=6,CD平分/ACB,则A£)=()

A.50B.32C.56D.4小

第4题图第5题图第6题图

6.如图，在△ABC中，是高，AABC的外接圆直径AE交BC边于点G,有下列四个结论：①

BD-CD-,②BC=EG-AE；®AE•AD=AB-AC；④4G•EG=BG•CG其中正确结论的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

（哈尔滨市中考试题）

7.如图，正△ABC内接于。。，P是劣弧存C上任意一点，热与BC交于点E,有如下结论：①B4=

P8+PC；②［一=」一+二一；③幺•PE=P8•PC.其中正确结论的个数是（）（天津市中考试题）

APPBPC

A.3个B.2个C.1个D.0个

8.如图，四边形ABC。内接于。。，延长A£）,BC交于点、M,延长A5,DC交于点、N,ZM=20°,

NN=40°,则NA的大小为（）

A.35°B.60°C.651'D.70°

ANB

B弟“O

第7题图第8题图第9题图

9.如图，己知。。的内接四边形A3CZ）中，A1)=CD,AC交BD于点E.

（2）AD-CD-AE•EC=DET-,（扬州市中考试题）

10.如图，已知四边形ABC。外接圆。。的半径为5,对角线AC与BD交于点E,且AS2=AE-AC,

BD=8,求的面积.（黑龙江省中考试题）

c@s

D

11.如图，已知。。的内接△ABC中，AB+AC^U,4O_L3C于。，AD=3.设。。的半径为y,AB

的长为尤.

(1)求y与尤之间的函数关系式；

(2)当的长等于多少时，。。的面积最大？并求出。。的最大面积.(南京市中考试题)

12.如图，己知半圆。。的直径AB=4,将一个三角板的直角顶点固定在圆心0上.当三角板绕着0

点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C,O两点，连接A。，BC交于点E

(1)求证：AACEsABDE；

(2)求证：BD=DE；

(3)设求的面积y与尤的函数关系式，并写出自变量尤的取值范围.(广东省中考试

题)

B级

1.如图，△ABC内接于直径为d的圆，设BC=a,AC=b,那么AABC的高CO=.

2.如图，在平面直角坐标系中,△0C8的外接圆与y轴相交于点A(0,A/2),ZOCB=6Q°,ZCOB

=45°,则OC=.

2i«a

3.如图，AB为。。的直径，CDLAB,设NCOO=a,则——gin2—=______.(江苏省竞赛试题)

AD2

4.如图，已知圆内接四边形A8C。中，AD^AB,ZDAB=90°,对角线AC平分ND48.若4Z)=a,

48=b，则AC=.（“东亚杯”竞赛试题）

5.如图，ABC。是一个以A。为直径的圆内接四边形，AB=5,PC=4,分别延长AB和。C,它们相交

于点尸，若NAPD=60°,则。。的面积为（）

A.25HB.16JiC.15JiD.13m

6.如图，AB^AC=AD,若/ZMC是NCA8的左倍（左为正数），那么NOBC是NBOC的（）

A.%倍B.2左倍C.34倍D.以上答案都不对

第4题图第5题图第6题图

7.如图，A。是RtZxABC斜边BC上的高，AB=AC,过A,〃两点的圆与AB,AC分别相交于E,F,

弦EF与A。相交于点G,则图中与△GOE相似的三角形的个数为（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

8.如图，为。。的直径，AC交。。于点E,BC交。。于点。，CD=BD,NC=70°,现给出以

下四个结论：①NA=45°；®AC=AB-,③区E=*E；④48=281）2淇中正确结论的序号是（)

C.②④D.③④

（苏州市中考试题）

D

第7题图第9题图

9.如图，四边形A8CQ内接于。。8C为。。的直径，E为。C边上一点，^AE//BC,AE=EC=7,

AB=6.

（1）求的长；

（2）求BE的长.（绍兴市竞赛题）

10.如图1,已知,以"为圆心，MO为半径的。〃分别交无轴，y轴于8,A.

(1)求A,5两点的坐标;

(2)C是斗。上一点，若BC=小,试判断四边形ACOM是何种特殊四边形，并说明理由;

(3)如图2,在(2)的条件下，尸是淞上一动点,连接B4,PB,PC.当尸在注3上运动时,

求证：枭pA工+p的n值是定值.

H.如图，四边形ABCD为正方形，。。过正方形的顶点A和对角线的交点P,分别交AB,于点孔

(1)求证：DE=AF；

(2)若。。的半径为半，AB=p+l,求益的值.(江苏省竞赛题)

BC

专题19与圆有关的角

4、万

例1连结AE,BD,贝！］AE_LBC,BDXAC,CE=BE=1,AE=2.由AE-BC=ACBD,得BD=里，CD

-5)又CA=AE，得DF=5，故SACDE=9^E・DF=，X1><匚=亍

例2B提示：BM2=MDMA.

例3⑴略.⑵如图，连结ON,AE,BD,并延长BD交AE于点F,可证明△BCD07\ACE,BFXAE,

」.ON4；BD,OM£1AE,.•.OM=ON,OM±ON,故MN=WOM.⑶结论成立，证明略.

例4提示：由△ABES/\ACD,ZkADEs/^ACB分另U得AB-DC=ACBE,ADBC=ACDE,两式作加

法得ABDC+ADBC=ACBD.

例5⑴连结BM,OA=2,OB=4,在RtaBOM中，(r-2)2+42=r2,；.r=5,即AM=

5,OM=3,；.M(3,0).⑵连结AC交BM于G,则BM_LAC且AG=CG,可证AAMG丝△BMO.AG

=OB=4,AC=8,OM=MG=3,BG=BM—GM=2,AD=10,CD=6.AS四边形ABCD=S^ACD+SAABC~2

AC-CD+|AC-BG=^X8X6+1x8X2=32.(3)VBC=BE,/BCE=/BEC.又/BCE=NBCA+N

ACF,ZBEC=ZBDC+ZDCF,且/BCA=/BDC,ZACF=ZDCF=|zACD=45°,.;△ADF为

等腰直角三角形.AF=DF=5dl作DT_LCF于T,CT=DT=3陋，TF=^/DF2-DT2=4^2,；.CF=CT+

TF=7^i

例6⑴连结BC,：AB=AC,.\Z2=Z5,:AB=AE,AZABE=ZAEB,即N2+/3=N4+N5,

.\Z3=Z4,AZDAC=ZDBC=Z4+Z3=2Z4,即/DAC=2/DBE.⑵延长DA至点G,使AG=AE

=AC,则/DAC=2/G,而由⑴知/.△BDE^A

GDC,得器=器，即DG-DE=BD-DC.Z.(AD+AG)(AD-AE)=BD-DC.*?AB=AE=AG,(AD+AB)(AD

-AB)=BDDC,AD2-AB2=BDDC.

A级|1.30°WXW90°2.43.84.—我+x5.C6.B7.B提示：其中①③正确.

9.提示：(1)连结证明RdCEN咨RMMN.(2)连结8。、BE、AC,证明(3)结论

仍成立.10.连结AM,过加作M£)_LAC,交直线AC于点。，贝I丝RoAMD,RtAMHB迫

Rt^MDC.11.(1)连结。A,OC,贝!JRfZXOFCgRrOGCgRdOGA.

SW^OFCC=25AOFC=SAOAC=-S连结由△得

ZAC/FCZACZZIC3ZAVA1BDC-('2)/04OB,OC,AOCgACOBgABOA,/OCB=

ZOAC,VZAOC=ZAOE+ZEOC=120°,ZDOE=ZCOF+ZCOE=120°,:・NAOE=NCOF,,：

ZOAC=ZOCB,OA=OC,ZAOE=ZCOF,.".^OAG^^OCF,四也形lLUr=S“L利S/fU.3.12.如

图，过点。作直线0PL8C,分别交BC,KL,A。于点P,H,N,贝UONLA。，OHLKL,连结DO,

LO,在RfZkND。中，ON=J。。?_DN?=｛宁一学=4,OP=PN~ON=2,设HL=x,则P”=KL=

2x,OH=OP+PH=2+2x.

在RfAHOL中,x2+(2X+2)2=52,解8、B

9、提示：AD2=BE^K=(DE+EB)DE=DE2+BEDE,又EBDE=AEEC

10、由——=——，ZBAE=ZCAB,得AABE~AACB,故/ABE=/AC3=/ADB,

ACAB

：.AB=AD,连接A。，交BD于F,则3尸=。尸=4。又OF=$O寻-BF?=3,

AF=OA-OF=2,从而5AABO=；AR=8

An\r

11、提示：连接A。交延长交。。于点E,连接6E,由AADC~AA3E,得——=—,

ABAE

故y=—：-+2武34%<9)。当AB=6时，。。的最大面积为36〃

12、(1)ZCAD=ZCBD(同弧所对圆周角相等)，NAEC=NBED,:.AACE~ABDE

(2)ZDBC=-ZDOC=450°,ZEDB=90°,:.ABDE是等腰RtA,BD=DE

2

B级

1