高中数学-2.3.2双曲线的几何性质

2.3.2双曲线的几何性质

编制：；审核：全体

学习目标：

i.知识与技能：理解并掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线），

能根据这些几何性质解决一些简单问题。

2.过程与方法：在与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合思想，掌握

利用方程研究曲线性质的基本方法.

3.情感态度与价值观：通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆

锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

重点、难点：

【重点】双曲线的几何性质及初步运用

【难点】双曲线的渐近线、离心率的应用

【复习回顾】

1、双曲线的定义及双曲线的标准方程?

2、焦点在x轴和y轴上的椭圆的几何性质？我们是如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几

何性质的？

【预习反馈】

通过预习，你对本节课存在哪些疑惑？写在下面！

【温故知新，自我发现】

1、类比研究椭圆几何性质的方法，探究焦点在X轴上的双曲线£—£=1,(。＞()加＞0)

a2b2

的几何性质！

椭圆双曲线

X2V2x2y2

7+%=l(a>b>0)--7V=1,(«>O,6>O)

标准方程a2b2

图象

范围

对称性

顶点

离心率

应用一：

1、求双曲线16--9)，=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，并

画出它的草图。

【合作探究，共同提高】渐近线

(1)【小组合作】

要求：

(1)先独立思考下面三个问题，2分钟；

(2)前后四名同学组成一个小组，起立讨论；讨论完毕完善你的学案，并推选一名代表准

备展示。

问题一：观察下面的图象，双曲线的右支随着x的增大，图象有何变化？

问题二：观察双曲线在第一象限内的图象，求出其函数解析式?

问题三：观察函数y=2序丁■与y=2%在第一象限的图象，之间有什么关系？为什

aa

么？

通过以上分析，你的结论是___________________________________________________

(2)【师生合作】——双曲线在第一象限内的图像无限趋向于直线y=2%：

a

小结：双曲线2r=1,(。>0/>0)的渐近线方程：_____________________

ab

应用二：

2、求下列双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程。

22

(l)x2-/=4(2)—V--^V-=1

259

【自我完善，自我提升】

类比焦点在X轴上的双曲线的几何性质，独立探究焦点在y轴上的双曲线

22

2__二=l(a>0/>0)的几何性质？并完成下表！

a2b2

双曲线的标准2222

三一方=1(。>0,6>0)「一［=1(4>()*>0)

方程ab~

图像

范围

对称性

顶点

离心率

渐近线

应用三：

3、根据下列条件，求双曲线的标准方程：

己知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点。如果焦距是8,实轴长为6,求双曲线的标准方

程和离心率。

【课堂小结】：

知识方面：

数学思想：

【当堂检测】：

22

1.求双曲线匕-二=1的渐近线方程.

925

2.求焦点在x轴上，实轴长为6,焦距为10的双曲线的标准方程.

3.已知双曲线的一个焦点为(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0,求双曲线的标准方程和离心率.

学情分析

知识结构：在本节课之前学生已经学习了椭圆的几何性质，双

曲线的标准方程，在此基础之上，双曲线的几何性质是通过类比椭圆

的几何性质而获得的几何性质，在推导性质的过程中，利用类比的思

想进一步探索双曲线的几何性质，本节课的重点要求学生掌握双曲线

的几何性质及初步运用，难点是双曲线的渐进线的推导，渐近线及离

心率的应用，但是通过师生、生生的合作交流，就能解决所有的疑难

问题，从而激发学生的求知欲，培养探索精神。

心理特征：学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，

形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨

论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生很容易“想

当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

效果分析

学生能够在教师设计问题的引领下，学生通过观察、分析、探究

式自主学习，通过类比椭圆的几何性质来获取得到双曲线的几何性质,

同时利用焦点在X轴上双曲线的几何性质通过类比得到焦点在y轴上

双曲线的几何性质，通过设置问题，引领学生一步一步获得渐近线的

方程，通过教师的提示，学生的讲解，学生的合作交流，解决了疑难

问题，从中让学生体验到探索的乐趣，增强了学习数学的兴趣。通过

例题、变式训练，巩固了双曲线几何性质的应用，，进一步体验学生

计算能力，发挥了学生的能动性，增强动脑的能力。

同时在课堂教学中，学生在推导双曲线的渐近线时'，通过展台展

示学生逻辑思维能力及表达能力，体现了多媒体在现代教学中的应用,

展现了现代高中生应具备的素质，体现了学生在课堂中的主体地位。

在讲解完例题后，相应的变式训练，学生掌握的还不错，学生对

当堂检测掌握的不错，达到了我预期的效果。

教材分析

双曲线的几何性质是人教B版《数学》选修2-1第二章的内容。

在学习本节课之前学生已经学习了椭圆的标准方程及椭圆的几何性

质及双曲线的标准方程，在此基础上有了一定的感性和理性的认识,

在推导双曲线的几何性质，类比椭圆的几何性质，这样对理解双曲线

的几何性质又进一步奠定了基础，加深了学生对双曲线几何性质的的

深刻理解，因此，学生有了一定的知识储备。

双曲线的几何性质高中数学中圆锥曲线的重要的一个知识点，

本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和几何性质、双

曲线及其标准方程的基础上，进一步通过椭圆的几何性质来推导研究

双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性

质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验

数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。双曲线的几何性

质是圆锥曲线这一章的基本的工具，对进一步解决圆锥曲线的应用奠

定了坚实的基础。

知识的形成，是一个循序渐进的过程，不能一蹴而就。因此设

计课程时，是在学习椭圆的几何性质，双曲线的标准方程的定已有的

认知基础上，我采用以类比的方法，让学生进一步探究双曲线的几何

性质，同样通过类比焦点在X轴双曲线的几何性质，进而启发、引导

学生探究，进一步获取焦点在y轴双曲线的几何性质，然后，通过设

置阶梯型问题让学生合作探究推导双曲线的渐近线方程，进而培养学

生的求知欲，观察分析能力。

评测练习

22

1.求双曲线匕-—=1的渐近线方程.

925

2.求焦点在x轴上，实轴长为6,焦距为10的双曲线的标准方程.

3.已知双曲线的一个焦点为（5,0）,一条渐进线的方程为3x-4y=0,求双曲线的标准方程和离心率

答案：

3

1.渐近线方程为尸土(x.

22

2.双曲线的标准方程为二-二=1.

916

Y~5

3.双曲线的标准方程为L-L=1；离心率为3.

1694

课后反思

本节课是人教B版的选修2-1第二章圆锥曲线与方程第三部分第

二节节，主要阐述了双曲线的几何性质的应用，我根据新课程标准对

本节课的要求和学生的实际情况，制定出本节课的教学目标和重点难

点。教会学生利用已有的椭圆的几何性质知识，利用类比思想获取双

曲线的几何性质，并且运用运用几何性质解决一些简单的问题，从而

培养了学生观察、类比、分析能力。

我设计的学习程序是：温故-一新的学习对象与旧知识的联系--

观察分析、类比探究解决问题应用成果归纳总结—进

一步的发散思考--探索提高。

在学完椭圆的几何性质之后，我始终抓住类比思想、椭圆的几何

性质这个主线，让学生在巩固原有的知识的基础上，通过类比，由学

生自己来对新知识进行分析、探究、猜想，让学生在学习新知识上,

有的放矢。从而让学生体会“类比”的学习方法。

我认为，有效教学要促使学生明确学习目标及意义。就整个

数学学科学习的目标和意义而言，这显然不是一节课或短时期能够实

现的，它需要一个长期过程，比如，学习数学不仅仅是获得数学的概

念和结论，也不是用这些结论学会解考试题，从大的角度来讲，是学

会学习，从数学学科来讲，除了获取必要数学知识，还要感悟数学的

思考方式，掌握数学思想方法，培养说理、批判、质疑、求真求实的

理性思维和理性精神。但是就一节课的学习目标而言，在学生学习活

动之前应该是让学生明确的，就学习意义而言，需要经历学习活动之

后才能有所认识。本节课的学习目标“类比椭圆几何性质的研究过程

和方法，由双曲线方程研究其几何性质”，是通过课前的预习探究作

业让学生明确的，在课堂活动之前教师又再次明示给学生的。

有效教学要在学生已有认知基础上，寻找学生最近发展区促进学

生更深层面上思维和理解。本节课学习活动是以学生对椭圆几何性质

的认知基础上进行的，如果从认知的思想和方法来讲，并不仅限于此,

实际上，对代数特征与几何特征之间的联系的认知，从函数的学习就

已经在逐步建立，函数的单调性、奇偶性、周期性的刻画，都是从函

数解析式具有的代数特征来描述的，还有函数图象变换与解析式中变

化的联系的研究等，这些构成了解析几何学习的认知基础，这种认知

在解析几何初步和椭圆几何性质的研究过程中得到了进一步的提升

和强化。正是有了这样一个认知基础，才使得本课中学生类比椭圆几

何性质的研究，自主探究获得双曲线的范围和对称性等几何性质，具

备了实现的可能性。尽管如此，学生的这种认知还处于较低层面上,

这既造成了本课发现双曲线的渐近线的障碍，同时也为进一步提升该

认知水平提供了很好的学习素材，教师通过精心设计、启发诱思，引

导学生有效突破了难点。从学生的课后探究作业看，大多数同学获得

了认知的提升。

在推导双曲线的渐进线时，设置以下问题：

问题一：观察下面的图象，双曲线的右支随着X的增大，图象有何变

化？

问题二：观察双曲线在第一象限内的图象，求出其函数解析式？

问题三：观察函数y=24r二7与y=在第一象限的图象，之间有

aa

什么关系？为什么？

通过以上分析，你的结论是.

通过问题的递进设置，让学生充分理解双曲线的渐近线，然后通过

师生合作、探究得到双曲线在第一象限内的图像无限趋向于直线

b

y=-x：

a

在讲解应用三时，教师规范学生的解题步骤，同时展示学生的解

答情况，指出学生的计算错误，要求学生仔细解题，规范答题，为以

后高考步骤的书写奠定良好的基础，，努力营造一个宽松、和谐、生

动的学生气氛，以更好地提高教育教学的质量，达到师生共同学习，

共同进步的目的。有一点不足就是给学生独立思考的时间不足，个别

细节处理的不够完美。这就是我对本节课讲法的一些认识，不足之处

请各位老师批评指正。

总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的

数学教学，才能承载中学数学课堂的使命一一培养学生的数学思维和

数学素养.

课标分析

在《数学课程标准解读》中，指出“有效的教学是引导学生的学

习，激发学生自己去学，帮助学生通过自己的思考建立起自己对数学

的理解力，帮助学生建构和发展认知结构，使学生学会该如何学习，

不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好

的基础。”显然课标中的有效教学的“效”突出强调了