高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 2 函数 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题02函数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2020•北京•高三校考强基计划）设函数，（x）=e'+“（x-l）+b在区间口,3］上存在零

点，则/+〃的最小值为（）

2

A.—B.eC.—D.e~

22

2.（2020•北京•高三校考强基计划）设多项式的各项系数都是非负实数，且

/（i）=//（i）=ra）=尸（1）=1,则fM的常数项的最小值为（）

A.!B.—C.—D.—

2345

3.（2020•北京•高三校考强基计划）设函数/（1）=1<+.］在区间［-2,2］上的最大

e+e

值为"，最小值为例，则（）

A.M+m=2B.M+力=1

C.M—m=2D.M—m=］

4.（202（）•北京•高三校考强基计划）已知/（x）的导数存在，y=/（x）的图象如图所示,

设S⑺（。4/4份是由曲线3；=/（幻与直线》=。，x=f及x轴围成的平面图形的面积,

则在区间3,句上（）

A./'（X）的最大值是/3）,最小值是/'（c）B./（X）的最大值是尸（c）,最小值是

f'（b）

C.S'Q）的最大值是S'（a）,最小值是S'（c）D.S'⑺的最大值是S'（c）,最小值是S'（b）

5.（2022•北京•高三校考强基计划）已知［x］表示不超过x的整数，如［1.2］=1,［-1.2］=-2.

己知&=今叵，则［a0］=（）

A.321B.322C.323D.以上都不对

6.（2022•全国•高三专题练习）设函数f（x）=+x+a,若曲线y=^^sinx+^|^上

存在点（见，%）使得/（/（%））=%成立，则实数。的取值范围为（）

A.10,e2-e+l]B.10,e2+e-l]C.10,e2-e-l]D.10,e2+e+\]

二、多选题

、x,x＞a,

7.(2020•湖北武汉•高三统考强基计划)设函数/3)={/3Q则()

A.当/(x)有极小值时，a＞^

B.当/(x)有极大值时，«＞-1

C.当/(x)连续时，”的可能值有3个

D.当，⑴有2极值点时，。=0或(＜。＜1

8.(2022•浙江宁波•高三统考竞赛)已知。＞0且awl,关于x的不等式a'＞3a-1,下

列结论正确的是()

A.存在a,使得该不等式的解集是R

B.存在“，使得该不等式的解集是0

C.存在〃，使得该不等式的解集是(—,2022)

D.存在a,使得该不等式的解集是(2022,+8)

9.(2020•湖北武汉•高三统考强基计划)设正整数&使得关于x的方程Q;=sinx在区间

(-3万,3万)内恰有5个实根玉＜々＜看＜匕＜匕，则()

A.%+%2+%3+Z+毛=0

29451

B.-----<x.<—

1252

C.x5=tanx5

D.演，匕，七成等差数列

三、填空题

10.(2022秋•河南驻马店•高二确山县第一高级中学校考竞赛)若函数=的

定义域为3,。］,值域为3,句，则实数f的取值范围是.

11.(2022•新疆•高二竞赛)已知C(x)=2*+In+1+r)-+1011,则不等式

/(2x+l)+/(x)＞2022的解集为.

12.(2021•全国•高二专题练习)若函数y=/(x)(x＞0)满足矿(x)-/(x)=/e，(其中e为

自然对数的底数），且〃1）=-e,贝ij/（ln2e）=,

13.（2022•广西•高二统考竞赛）设是严格单调递增的函数，其反函数为

y=g（x）.设士，比2分别是方程/（x）+x=2和g（x）+x=2的解，贝ij%,+x2=

14.（2022•广西•高二统考竞赛）已知3r（。+1）<产|-（"-1户,

k=4］

-l<a<0.设产塔■双，则x的整数部分为.

15.（2022•江苏南京•高三强基计划）函数y=Vrq+J15-3x的值域为.

16.（2022•福建•高二统考竞赛）已知函数〃》）=1呜（；依2-》+!）在区间［2,3］上恒正,

则实数a的取值范围为.

17.（2022•贵州•高二统考竞赛）函数/（*）=±里+手++：1±翳的对称中心为

xx+1x+2022

（〃力），则2a+6=.

18.（2022•贵州•高二统考竞赛）3%（）<0,使得尤2+口-。|-2<0（aeZ）恒成立，则

所有满足条件的a的和

-2A:,X<0,

{—方程

2

/(x)+A-X2+1/(X)—2\/1~x1—2ax—4=。有三个实根西

2/1</<刍.若

七一马=2（七一%）,贝IJ实数〃=,

20.（2021・全国・高三竞赛）已知5、£是关于式的整系数方程狈2+法+。=0（〃>0）的两根,

1vsvfv2,则当正整数a取得最小值时，b+c=.

21.⑵21.全国•高三竞赛）小）=『弋:;俨%—会回,可以表示

为一个偶函数g（x）和奇函数a（x）的和，则g（x）的最小值是

33

U-l)(x-4)(x-9)2d+1+'+43+X+9~l

22.（2021•全国•高三竞赛）方程+-"+1)3+(X+4)3+(X+9)3\一

(x+l)(x+4)(x+9)3

的不同的实数解的个数为.

23.（2020•江苏•高三竞赛）已知函数/W是定义在R上的奇函数，若f（x）+x+e-，为偶

函数，且/（〃-2）+/（°2）40,则实数。的最大值为.

24.（2022•北京•高三校考强基计划）已知“X）是二次函数，/（-2）=0,且

2x"（x）4号，则*0）=.

25.（2021•全国•高三竞赛）实数x、y满足］口-3）（4+3）一”’①，则苫、的大小关

7'+11'=⑶，②.

系是.

26.（2021•全国•高三竞赛）已知函数/（》）=（；］］（x＞l）,如果不等式

（1-&'）/T（X）＞〃?（/"-J7）对X€上，9恒成立，则实数机的取值范围

Io4

27.（2020•全国•高三竞赛）设名。＞0,满足：关于x的方程而+J|x+a|=6恰有三

个不同的实数解占，々,天，且为＜々＜£=。，则的值为

四、解答题

28.（2022•广西•高二统考竞赛）设“为正整数，3|a,/（l）=tz,令

〃〃+1）』阿'师"，

“2.求证：存在M使得〃、1.

|/（"）+3,〃（〃）0Z,

29.（2022•福建•高二统考竞赛）如果对任意的整数x,y,不等式4》2+丁+12丘（y+1）

恒成立，求最大常数k

30.（2022•湖北武汉•高三统考强基计划）已知函数/（力=2/+352+6（3-4卜+202%.

若“X）是区间［-2,2］上的单调增函数，求实数«的取值范围.

【高中数学竞赛真题-强基计划真题考前适应性训练】

专题02函数真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)

一、单选题

1.(2020•北京•高三校考强基计划)设函数/(x)=e*+a(x-l)+6在区间口,3]上存在零

点，则/+〃的最小值为()

2

A.-B.eC.—D.2

22e

【答案】D

2

【分析】利用点到直线的距离结合导数可求合+b的最小值.

【详解】设零点为，，则a(—l)+He'=0,

因此“2+/~re[1,3],

(r-1)+1i

考虑函数g(x)=(f-2x+2)e-,其导函数g'(x)=(-2x2+6x-6)e<*<0,

因此函数g(x)在U，3]上单调递减，从而/+从的最小值为3=e2.

g⑴

故选：D.

2.(2020•北京•高三校考强基计划)设多项式/(x)的各项系数都是非负实数，且

/(i)=(⑴=r(i)=/"(D=i,则的常数项的最小值为()

A.gB.—C.—D.—

2345

【答案】B

【分析】利用导数可求系数和的4个等式，结合组合数的性质可判断常数项的最小值.

n

【详解】设/(幻=41+41》+%/+。3/++anx,其中qN0(i=0,l,,〃)，

4。+4+。)+q++4〃=L

4+2%+3%+=1,

」2iw+3.2•q++〃,(鹿-1)•=1,

3•2•1•/+-+〃•(〃-1)•-2)•。〃=1,

从而。3=三一C：%~—C：a“，

6

。2=g-C；%-C4a4--CR'

%=1-C；%-C，3--，

a0=~a2~~an，

于是％=生+C>3++

二3-%-(C-C；)%-一

17—

=2_^_C^4_+C〃_】a“

=；+(c*c)%++©_*)”.

=g+Ck++Cn-Ian

-r

等号当/=%==%=0时取得，因此所求最小值为g,

故选：B.

3.(2020•北京•高三校考强基计划)设函数/(x)=^^+sinx在区间”2,2］上的最大

e+e

值为M,最小值为〃?，则()

A.M+m=2B.M+m=l

C.M-m=2D.M—m=\

【答案】A

【分析】利用函数的对称性可求M+〃z=2,再利用特殊值法可判断最小值小于零，从

而可判断CD的正误.

【详解】注意到/(X)+/(T)=2,因此M+m=2,故选项A正确，选项B错误.

而注意到/(-与|=3-1<0,

I2)1+e

于是A7-机=(2-«/)-%=2-2m>2,

故选项CD错误.

综上所述，只有选项A正确.

故选：A.

4.(2020•北京•高三校考强基计划)已知/㈤的导数存在，y=/(x)的图象如图所示，

设S⑺(a4Yb)是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=f及x轴围成的平面图形的面积，

A.7'&)的最大值是广⑷，最小值是/'(c)B./'(X)的最大值是广(c),最小值是

f'(b)

C.£⑴的最大值是S'(a),最小值是S'(c)D.S，⑺的最大值是S'(c),最小值是S'S)

【答案】D

【分析】根据图像，利用导数的定义，化简S«)=lim四钝二出，然后，逐个选项

AfOAf

进行判断即可.

【详解】如图所示,广⑶的最大值为了‘⑷,最小值为如S).

由导函数的定义，得S,⑺=limS=lim△'=/*)=limf(t}=f(t).

7

、A/TOZA/TOZA/->0''、，

则S'(f)的最大值是S'(C),最小值是S'(b).

故选：D

5.(2022•北京•高三校考强基计划)已知国表示不超过x的整数，如[1.2卜1,[-L2]=-2.

已知。=上手,则网[=()

A.321B.322C.323D.以上都不对

【答案】A

【分析】记4=，则由其所对应的特征根方程知数列%满足

。“+2=4向+/，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解

【详解】记4=

则由其所对应的特征根方程知数列满足为+2=4制+。,且%=2吗=1,

依次可得出=3,%=4,a=7,%=11，4=18,%=29,4=47,%=76,

即）=123,4]=199,。[2=322.

所以[d]=32L

故选：A

6.(2022•全国,高三专题练习)设函数f(x)=J/依+x+a,若曲线y=—厂sinx+—/上

存在点(%,%)使得，(/(%))=%成立，则实数。的取值范围为()

A.10,e2-e+l]B.10,e2+e-l]C.[0,e2-e-l]D.10,e2+e+i\

【答案】C

【分析】利用函数的单调性可以证明/(%)=%.令函数,f(x)=x，化为

a=x2-lwc-x.^hM=x2-lwc-x,利用导数研究其单调性即可得出.

【详解】解：•-阅inx1,

.,.当sinx=l时，尸*及11大+野■取得最大值y=\^+gLe,

、t/・-EXc_1.e+lm,/口目一士c—\e+1.

当sinx=-l时，y=^-sinx+^-取得琅小值y=--—+^-=1,

即函数y=^sinx+三的取值范围为[I,e],

若y=等sinx+等上存在点(%,%)使得/(/(%))=%成立，

则%€[1,e].

又_/'(x)=>/比x+x+a在定义域上单调递增.

所以假设/(%)=(>%,则/(/(%))=/(c)>f(y0)=oy0,不满足设“％))=%.

同理假设f(y0)=c<y0,也不满足了(/(%))=%.

综上可得：/(%)=%.%€口,见

函数f(x)=&nx+x+a,的定义域为(0,+»),

.,•等价为〃x+x+a=x,在(0,可上有解

即平方得/nx+x+a=x2,

则a=x2—lnx—x,

设/z(x)=x2-lnx-x,则h\x)=2x-\--=2n=3+13D,

XXX

由”(x)>0得此时函数单调递增，

由〃(x)<0得0<x<l,此时函数单调递减，

即当x=l时，函数取得极小值，即力(1)=1——1=0,

当x=e时，/?(e)=e2—Ine—e=e2-e—\,

则0釉(x)e2-e-i.

则O^ze2-e-\.

故选：c.

【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力

与计算能力，属于难题.

二、多选题

xXCI

7.(2020•湖北武汉•高三统考强基计划)设函数，(x)={；3°一’则()

4x-3x,x<a

A.当/(x)有极小值时，a>：

B.当/(x)有极大值时，a>-1

C.当/(x)连续时，。的可能值有3个

D.当/(x)有2极值点时:“=0或;

【答案】BC

【分析】作出，=》和〉=4/一3犬的图象由图象依次判断各选项即可得出结果.

【详解】作出y=x和y=4/-3x的图象，如图,y=4x3-3x有x=±g两个极值点.

对于选项A,当。=0时，f(x)有极小值，A错误；

对于选项B,当/s)有极大值时，a>~,所以B正确；

选项C,要使/(尤)连续，则。必须取在丫=兀和y=4/-3x的交点处，这样的。恰有三个,

故C正确；

对于选项D,要/(x)有两个极值点，则a=0或故D错误.

故选：BC.

8.(2022•浙江宁波•高三统考竞赛)已知“〉0且。制，关于x的不等式优>3〃-1，下

列结论正确的是()

A.存在a,使得该不等式的解集是R

B.存在a,使得该不等式的解集是0

C.存在a,使得该不等式的解集是(f,2022)

D.存在a,使得该不等式的解集是(2022,”)

【答案】ACD

【分析】结合指数函数相关知识对选项逐一进行判定.

【详解】①awg,优>0Z3q-l,xeR,故A正确；

②g<a<1,/>3a-1=。砥。"-1)=x<log„(3a-1),又log„(3a-l)e(logfl2,+<x>),

故存在。使得log“(3〃-1)=2022,不等式解集为(『),2022)故C正确；

x

③a>l,a>3a-I="叫=>x>|Ogfl(3a-1),又logo(3a-l)e(log„2,+oo),

故存在a使得log。。a-D=2022,不等式解集为(2022,+8)故D正确；

④结合A、C、D选项，当或；<a<l或a>l时，不等式都存在解集，故不满足

解集为空集，所以B错误.

故选：ACD.

9.(2020•湖北武汉•高三统考强基计划)设正整数上使得关于x的方程fcv=sinx在区间

(一3万,3幻内恰有5个实根为<*3<*4<毛，则()

A.X,4-X2+X3+X4+X5=0

c29451

B.V/<---

122

C.x5=tanx5

D.X2,x4,X5成等差数列

【答案】ABC

【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可.

【详解】解:如图所示，函数¥=去与函数丁=目11人一恰有5个交点.

选项A,根据对称性可知%+々+七+尤4+毛=0，正确;

选项B,考虑在区间(2万,当

内，两函数在X=*5时相切，所以

所以满足/=tanxs，

，一29乃54八公294

H'ijtan---=tan——=2+73<---

121212

294「，立

所以天.正确;

12

选项C,两函数在『时相切，所以“\kx.—sinx.，所以"tans正确;

选项D,若々，七，4成等差数列，则因为々，匕关于原点对称，所以必有%=3匕,

kx=sinx

443

则3Ax4=sin3/=3sinx4-4sinx4=3kx4-4(fct4y,则5=0,

sin3X4=3&4

故不符合题意，错误.

故选：ABC.

三、填空题

10.(2022秋•河南驻马店•高二确山县第一高级中学校考竞赛)若函数于(x)=t-F^的

定义域为3,旬，值域为3,句，则实数f的取值范围是.

【答案】卜(-2

【详解】解析：易知=在团向上单调递减，

因为函数/(x)的值域为口,勿，所以卜［?二"即<t-+3—h,

，-际j两式相减得'

1/0)=凡

Ja+3—Jb+3—Ci—b=(a4-3)—(b+3)=(da+3)~—(Jb+3)~»

所以屈5=1.因为所以而

t—Jb+3+。=〃-+3+1»

所以r=(Q+3)_V^_2=(V^_g)

乂所以一2</K—2.

24

故答案为：，，一2.

11.(2022•新疆•高二竞赛)已知C(x)=2"+In+1+@-2「*+1011,则不等式

/(2x+1)+/(x)>2022的解集为.

【答案】

【详解】令g(x)=/(x)-1011,易得g(x)为奇函数且单调递增.

原不等式等价于g(2x+1)+g(x)>0og(2x+1)>g(—x).

白斤以2x+1>—xx>—.

3

故答案为：

12.(2021•全国•高二专题练习)若函数y=/(x)(x>0)满足矿(x)-f(x)=x2e*(其中e为

自然对数的底数)，且〃l)=-e,则/(ln2e)=.

【答案】0

【分析】构造函数F(x)=/，可得尸(x)=e*,即尸(x)=e*+m,结合/⑴="，可

X

得机=—2e,即尸(x)=e*-2e,/(x)=x(e'-2e),代入x=ln2e即得解

【详解】令尸。)=」也，

X

则F'(x)=矿=e，,

JT

_F(x)=e'+m.又/(1)=-e，1.F(l)=-e,

m=-2e,

/.F(x)=eA-2e,

于是f(x)=x(e*-2e),

/(ln2e)=0.

故答案为：0

13.(2022•广西•高二统考竞赛)设y于'(X)是严格单调递增的函数，其反函数为

y=g(x).设占，2分别是方程/(力+尸2和g(x)+x=2的解，则%+%=.

【答案】2

【详解】/(x)+x严格单调递增.

且〃玉)+X1=2=g(&)+/虫g仇))+g优)，

故芭=g(%)，々土为)，

于是占+々=七t/'(占)=2.

故答案为：2.

14.(2022•广西•高二统考竞赛)已知("+1)"+'--，"3+1)<产|-(〃-1)””，

k=41

-l<a<0.设x=J状，则x的整数部分为.

【答案】14996

【详解】由(〃+1户一产l/(a+l)〈相+—1户，取a=-g,»=4,5,---,106,

222太=4122

将不等式相加可得(10"+1尸-43<：2忘<(10"尸-33,

则x的整数部分为14996.

故答案为:14996.

15.(2022•江苏南京•高三强基计划)函数y=J工4+J15-3X的值域为.

【答案】［1，2］

■Jx-4-smO由仁|sin”^>0。得八匹「7i

【详解】令2ky

>/5<t'=cos0

则y=sin，+G，cosO=2sin|6+二|,0e2k兀，土+2k兀

所以

故答案为：口，2］.

16.(2022•福建•高二统考竞赛)已知函数小)=啕(；加_》+!)在区间［2,3］上恒正,

则实数a的取值范围为.

【答案】件十件例)

【详解】设g(x)=51or2_x+15，由g(2)=2a_2+51>0,得a>3j，

当4〉；，且2vxv3时，g*(x)=6Z¥-l>0,

□11

所以时，g(x)竹凉一+；在区间［2,3］上递增，

①若黄”1,则XG［2,3］时,f(x)>0o|g%；，因此?<”<，

4［g(3)<l49

②若则xe［2,3］时，/(x)>0=g(2)>l,因此a>:,

综上，〃的取值范围为

故答案为：件飙信+8]

17.(2022•贵州•高二统考竞赛)函数/(x)=W+g+的对称中心为

xx+1x+2022

3力)，则2a+b=.

【答案】1

r1X+2x+202311+—!—+2023,

【详解】加下+—+H----------------=-H-----------F

x+2022xx+1x+2022

设gQ)=/d011)—2023

11

--------------\----------------+4-----------------F-------------

x-1011x-1010x+1010x+1011

11

g(-x)=-----------------F-----------------F+------------------F---------------

-x-1011-x-1010-X+1010-x+1011

11

-------+-------++x+1010+x+1011=-g(%)，

x-1011x-1010

g(x-1011)-2023是奇函数,所以月)关于点(-1011,2023)对称,

2a+h=2x(-\m1)+2023=1.

故答案为：1.

18.(2022•贵州•高二统考竞赛)3x0<0,使得f+ix-ai_2<0(aeZ)恒成立，则

所有满足条件的a的和

【答案】0

【详解J山f+1x—。|—2<0^\x-a\<2—x2(—<^2<x<V2)，

x~—2Vx—av2—x~,

2

令0］：)，=丁-2,C2:y=-x+2,XG(->/2,>/2),

l：y=x-a.G，C2，/在同•坐标下的图像如图所示:

由］y=一x-a占2得-f+2=i，x.+x—(a+2)=0,

Q

当△=I+4(〃+2)=0时，a=——,

4

9999

由图对称性知—<—ci<—,/.—<a<—,

4444

JA={-2,T0J2},・・・元素之和为0,

故答案为：0.

-2x,x<0,、口

19.(2021•全国•高三竞赛)已知C(x)=->1、八方程

-1,x>0,

f(x)+2jrm+|/(x)-2>/1^7|-2«X-4-0有三个实根玉<々<七.若

退一毛=2(龙2-百)，则实数。=.

【答案】叵口

2

【详解】设g(x)=2j［=？',—14x41，

注意到max(/(x),g(x))=g(f(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|).

故方程可变形为max(/(x),g(x))=ox+2.由-2x2271=7，得x4-孝，

［9忘］

—2x,XG-1,----,

2

从而有max(/(x),g(x))=J「厂］

2A/1-X2,XG———,1.

2

由_2x=or+2,得玉=-----一］工&4---,进而0(〃(2血_2.

〃+212J

.____4〃

I112\j1—x2=公+2，得“3=°，々=一/+4.

因为X1<W<x3,x3-x2=2(x2-x］),所以2%=3X2,即f4,='

故答案为：空口.

2

20.(2021•全国•高三竞赛)己知s、t是关于x的整系数方程or?+bx+c=0(a>0)的两根,

1<5<r<2,则当正整数a取得最小值时，h+c=.

【答案】-4

【详解】设f(x)=a(x-s)(x-f),则/(幻=0^+8+。,

因为/(1),/(2)eZ,所以/(I)-/(2)>1,

所以Q~2--------------------=---------------------.

(1-5)(1-0(2-5)(2T)(S-1)Q-1)(2-5)(2-r)

又因为(s-l)(2-s)w"(r-l)(2T)w!，所以6216,但〃*16,所以。25.

44

当a=5时，/(1)­/(2)=25(5-1)Q-1)(2-s)(2T)所以/⑴"(2)=1,

L16)

所以川)=/⑵=1.

于是,f(x)=5x2-15x+11,故。+c=-15+ll=-4.

,.____°,、,(2-cosx+>/2sinxV,万,__

21.(2021•全国•高二竞赛)/(x)=lg-----：---------x^k/r+—,keZ,可以表不

(sinx+1八2)

为一个偶函数g(x)和奇函数〃(》)的和，则g(x)的最小值是.

【答案】0

【详解】解析：因为f(x)可以表示为一个偶函数g(x)和奇函数/X)的和，

所以

八/、.12-cosx+V^sinx)1(2-cosx-\/2sinx>

2g5)=lg-----:----:-----+1g------:----;——

(sinx+1)(-sinx+1

22、

.((2-cosx)-2sinX

lg1-sin^A

.(3COS2X-4COSX+2^1f,Jcosx-1丫1八

叫一蓊一产g2

当X=2后T,兀eZ时,(g(X))min=0.

故答案为：0.

(x-l)U-4)(x-9)21+1X3+43X3+93

22.(2021•全国•高三竞赛)方程+-----V1-----7-----r=1

(x+l)(x+4)(x+9)3U+1)30+4)31+9)3

的不同的实数解的个数为.

【答案】5

【详解】解析：易知x=0是原方程的解.

当XHO时，a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),原方程

(x-l)(x-4)(x-9),2「x3+l,X3+43,x3+93

(x+l)(x+4)(x+9)3|_(x+l)3(x+4)3(x+9)3

等价于

x3+49xx+4x+9x]_0

(x+l)(x+4)(x+9)—|_(x+l)2+(x+4)2+(X+9)2J-'

方程两端同除X,整理后得x(/-98x2-288x+385)=0.再同除X,得

(X2-31)2-(6%+24)2=0.

gp(X2+6X-7)(X2-6X-55)=0,从而有

(x+7)(x-l)(x+5)(x-ll)=0.

经验而玉=-7,々=1,匕=-5,匕=11均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数

根.

故答案为：5.

23.(2020•江苏•高三竞赛)己知函数/(X)是定义在R上的奇函数，若/(x)+x+e-*为偶

函数，且/(吁2)+/(叫<0,则实数”的最大值为.

【答案】1

xK

【详解】解析：由题意/(x)+x+e=f(—x)—x+e=—f(<x)—x+e,

则/(x)=Ef-x，求导可得/(X)为单调递增的函数，

故/⑷卜/Q-“)，则/J—a,解得—24a41,则实数。的最大值为1.

故答案为：1.

24.(2022•北京•高三校考强基计划)已知/(x)是二次函数，/(-2)=0,且

2x</(x)<^,则〃10)=.

【答案】36

【分析】法-：由f(-2)=0,^^f(x)=(x+2)(ax+b)=ax2+(2a+h)x+2h,则由

/(同，2%整理后即为44+/?244“〃+84+4人一4,由

(加一+(4a+2/?)x+4/?—440,讨论2a—1=0,2a—1K0可得出2々=。，由此可解

,4;a=:,可求出〃x)的解析式，即可得出答案.

法二：由2x4/(x).>；4n0、〃x)-2x4；(x-2)2,设8(司=4(工-2)(》-〃7)(4*。),

讨论加工2和相=2结合题目条件可解得。=；,可求出/(x)的解析式，即可得出答案.

【详解】法一：

由/(-2)=0,nJiS/(^)=(^+2)(ax+&)=ar2+(2a+b)x+2b,

贝！J由/(x)22x得+(2〃+〃-2)x+2Z?W0,

所以“20且(2〃+人一2尸W8M,整理后即为4/+〃<4ab+8a+4b-4,

由/(x)4得伽—1*+(4a+2b)x+4b-440,

若2a—1=0则必有4a+抄=0,此时与(20+6-2148成矛盾,

所以2。-140且(4a+如244(20-1)(46-4),

整理后为4/+h2<4ah-8a-4b+4,

与4a2+b2<4ab+8a+4b-4相力口即得4a2+b2<4ab，

即(2a-》)240,所以2a=0,

所以/(x)=(x+2)(or+2a)=a(x+2)2,

又由于在原不等式中令x=2可得4V/(2)V4,所以"2)=4,由此解得。=:

所以〃x)=；(x+2)2j(10)=36.

法二：

2.1

2%</(%)<^y^=>0</(x)-2x<l(x-2)2,

令g(x)=/(x)-2x,则g(-2)=4,g(2)=0,设g(x)=a(x-2)(x-m)(ar0).

若6w2,贝!J

—

I-

](x-2)--g(x)=-g'(z2)=a(m-2)^0,

于是a(m-2)>0时，存在与<2使得g(x0—2)、g(x(,)<0,矛盾；

a(w-2)<0时，存在%>2使得g(x0—2)2—g(x0)<0,矛盾；

故MJ=2,令X=-2,则16a=g(_2)=4=>a=；.

于是〃x)=g(x)+2x=；(x-2)2+2x=；(x+2)2,进而/(10)=36.

故答案为：36.

25.(2021•全国•高三竞赛)实数x、y满足(4,-T)(4'+3')=F'①，则x、的大小关

系是.

【答案】x>y##y<x

【分析】比较x、y的大小关系，在等式中比较x、y的大小关系，利用假设法结论正确

的答案，结论错误则结果与假设的相反.

【详解】假设x”.由①知⑹一夕=133由于13Y13v，贝h3V，从而

mo"设/⑺=（j|J+七），则削在R上递减，且f（y）2i，又

=所以"y）>/（2）.于是y<2.

由②知，7'+11V=13*,又irviP，所以7"+11'4131即（t）+1.）4L

类似上面有X>2.于是x>y与xVy矛盾故x>y.

故答案为：x>y.

26.（2021•全国•高三竞赛）已知函数/（x）=（U）（x>l）,如果不等式

（1一«）尸（X）>〃2（机一J7）对恒成立，则实数机的取值范围

Io4

【答案】/

【分析】求出尸（幻=正鲁（0<*<1）,将己知条件转化为（1+刈6+1-/>0对

l-yjx

xe4，）恒成立，利用换元法转化为gQ）=（l+〃2）f+l-，〃2>0,对re恒成立,

1O442

>0,

由，可解得结果.

>0

【详解】Qy=1^^；=[l_gj(x>l),♦

22

乂x>1,0<----<1,/.0<1------<1,/.0<y<1

x+1x+\

・•・广(x)=(0<x<l)

\-\lx

由题意得（1-«）•正-6）对上，:恒成立，

1-VxU64J

等价于五+1〉一石），即（1+⑼4+1-〃，>0对工£恒成立,

164

显然加工一1,令t=G

所以（1+恤+「小＞。，对恒成立,

令g«）=（l+〃2）/+l—/7?是关于t的一次函数,

-(l+a)+l-a2>0

要使g（f）＞o,对fG恒成立,即＜

1

—(1+ci)+1-矿9>0

解得：一1＜〃＜:,所以实数，”的取值范围（-用

故答案为：卜,

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法:

①分离参数a2〃x）恒成立（a＞/（x）1rax即可）或a＜〃力恒成立（a＜"引向“即可）:

②数形结合（y=/（x）图像在y=g（x）上方即可）;

③讨论最值“司*20或“XL*40恒成立

27.（2020•全国•高三竞赛）设。力＞0,满足：关于x的方程加+J|x+a|=6恰有三

个不同的实数解不々，鼻，且&＜电＜》3=8，则5的值为

【答案】144.

【分析】令f=x+5,将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进

行计算，即可得到结果.

【详解】解：令f=x+］则