第02章 计算机中的数制和编码

第2章

计算机中的数制和编码

主要内容

»计算机中的常用计数制、编码及其相互间的

转换；

＞二进制数的算术运算和逻辑运算；

A符号数的表示及补码运算；

A二进制数运算中的溢出问题；

A基本逻辑门及译码器；

＞定点数与浮点数的表示方法。

第2章计算机中的数制与编码

主要内容：

■2」计算机中的数制

■2.2无符号数二进数制数的运算

■2.3符号数的表示及运算

■2.4定点数与浮点数

■2・5计算机中的编码

第一节

计算机中的数制

movax,12h

calldisplay

2.1计算机中的数制

主要内容：

-2.1.1常用计数制

■2.1.2各数制间的转换

2.1计算机中的数制

-了解：各种计数制的特点及表示方法;

■掌握：各种计数制之间的相互转换。

2.1■工用用计数制

＞十进制(Decimal)—符合人们的习惯

＞二进制(Binary)—便于物理实现

A十六进制(Hex)—便于识别、书写

＞八进制(Octal)

1.十进制

■特点：以io为底，逢十进一；

共有0・9十个数字符号。

■表示：权表达式

n：整数位数m：小数位数

2.二进制

■特点：以2为底，逢2进位；

只有0和1两个符号。（数后面加B）

■表示：权表达式

n：整数位数m：小数位数

3.十六进制

■特点:以16为底，逢16进位（数后面加H）

有0・・9及A・・F共16个数字符号，

■表示:权表达式

n：整数位数m：小数位数

4.任意K进制数的表示

一般地，对任意一个K进制数S都可表示为

「〃一〃一十。

(S)k=SnXKI+Sn_2XA2+...SoXA

+S1XK'+•••+5XKm

n—1

=2S’xKi

i=一，n

其中：

,4一S的第i位数码，可以是K个符号中任何一个

n,m-整数和小数的位数；

K■■基数；N・・K进制数的权

5■如何区分不同进位记数制的数

字

在数字后面加一个字母进行区分：

A二进制：数字后面力口B,如工001B

»八进制：数字后面加0,如工0010

»十进制：一般不加，如1001

»十六进制：数字后面加H,如1001H

在明显可以区分其记数制的情况下，可以省略数

字后面的字母

5.如何区分不同进位记数制的数

字

0O

000011

000122

001033

001144

010055

010166

011077

01118

10009

1001A

1010B

1011C

1100D

1101E

1110F

1111

例

或

■234.98(234.98)10

或

■1101.11B(1101.11)2

或

■ABCD.BFH(ABCD■BF)16

2.L2各数制间的转换

■L非十进制数到十进制数的转换：

按相应的权表达式展开,再按十进制求和。

■例：24.AH=2X161+4X16°+AX16T

=36.625

注：A〜F分别用工0〜15代入

例：

10110010B=(?)10

13FAH=(?)10

2.十进制到非十进制数的转换

A十进制一二进制：

整数部分：除2取余；小数部分：乘2取整

»十进制一十六进制：

整数部分：除16取余；小数部分：乘16取整

以小数点为起点求得整数和小数的每一位。

注:十进制转换成任意K进制数与上类似,

整数:除K取余,小数:乘K取整。

十进制到二进制转换例

255=(?)B

2255

.......余数为

21271=5A

6.......余数为1=K1

2-3

3-.......余数为

2-1

-.......余数为

2151=1<3

--.......余数为

271=(

2-.......余数为1=勺

-3

21.......余数为1=1<6

-.......余数为仁J

O

255=(11111111)B

(30)10=(11110)2(266)io=(10A%

21300低位266/16=16.......A低位

2|151

217116/16=10

2|31

1/16=01高位

2|J_……1高位

0

18

0.8125

X2

—L6250.......1高位

(O.8125)io=(0.1101)20.6250

X2

L2500.......1

0.2500

X2

0.5000.......0

0.5000

X2

—L0000.......1低位

19

整数除以2倒取余数

小数乘以2正取整数

(49.58)10=(110001.100)2

0.58

1X2

01.16

0X2

00.32

1X2

10.64

谆

专

事ad

义

事

好

笊

兴

麻Hd

熊

林

+超

鼠

格M

制.

靠

城*

展

抑

■超

.

事

甯

双

+犯

靠

然

.H矍

图

、

林M

改

忻

格I

第

害K

营

藏^

7

)^

十进制到十六进制转换例

400.25=（?）H

■400/16=25..............余数=0（个位）

■25/16=1...................余数=9（十位）

■1/16=0....................余数=1（百位）

■0.25X16=4.0...........整数=4（1/10）

即：400.25=190.4H

3.二进制与十六进制间的蒋换

■用4位二进制数表示1位十六进制数

例：10110001001.110=(?)H

Ql^10001001.1100

589.C

注意：位数不够时要补0

3

・24=16,用4位二进制数表示工位十六进制数

0000.................0H

■।

■।

■।

1001.................9H

1010.................AH

1011.................BH

1100.................CH

1101.................DH

1110.................EH

1111.................FH

第二节

无符号二进制数的运算

2.2无符号二进制数的运算

主要内容：

.2.2.1无符号数的算术运算

■2.2.2无符号数的表示范围

■2.2.3逻辑运算

■2.2.4逻辑门

■2.2.5译码器

■2.2.6由基本门电路实现的部件

2.2

算术运算

「无符号数

二进制数」逻辑运算

♦有符号数:算术运算

2.2.1无符号数的算术运算

■加法运算

-减法运算

■乘法运算

■除法运算

注意事项:

■对加法：1+1=0（有进位）

-对减法：0・1=工（有借位）

■对乘法：仅有1X1=1,其余皆为0;

乘以2相当于左移一位。

■对除法：除以2则相当于右移工位。

例

>00001011X0100=00101100B

■00001011H-0100=00000010B

即：W=00000010B

余数=11B

2.2.2无符号数的表示范

■一个n位的无符号二进制数X,其表示范围为:

0<X<2n-l

若运算结果超出这个范围，则产生溢出。

■溢出的判别方法：

运算时，当最高位向更高位有进位（或借位）

时则产生溢出。

［例］:

11111111

+00000001

100000000

结果超出8位（最高位有进位），发生溢出。

（结果为256,超出8位二进制数所能表示的范围

255）

2.2.3逻辑运算

特点：按位运算，无进位/借位。

「与（A）

J或（V）

非（一）

、异或（®）

掌握：逻辑关系（真值表）和逻辑门。

例：A=10110110,B=01101011

求：AAB,AVB,A㊉B

”与"、"或"运算

-任何数和“0〃相“与”，结果为0

-任何数和"1”相”或”，结果为1

BB

AAB=CAVB=C

"非"、“异或”运算

-“非”运算即按位求反

-两个二进制数相“异或”：

相同则为0,相异则为工

B=AA㊉B二C

"与非"、"或非”运算

AAB=CAVB=C

A---------出0—C

B---------

2.24逻辑门

基本的逻辑门是与、或、非门，一个复杂的逻

辑电路是由这些基本逻辑门连接成的。

门电路是逻辑关系的基本硬件单元。按制作工

艺的不同，可分为双极型逻辑门和MOS型逻辑门。

两种工艺的代表类型为：TTL集成逻辑门和

CMOS逻辑门。

L与门（ANDGate）

AABY

&-----Y

B000

A010

B100

111

Y=AA

注：基本门电路仅完成1位二进制数的运算

2.或门（ORGate）

A—

——Y

B—

Y=AVB

3.非门（NOTGate）

A

A

AY

Y=A

4.异或门(exclusiveORGate)

一丫ABY

000

011

101

Y=A㊉B110

5.与非门(NANDGate)

Y=AABABY

001

A011

101

B

110

6.或非门（NORGate）

Y=AvBABY

001

A010

>1

Y100

B

110

2.2.5译码器（附用逻辑部件）

74LSXX系列是最常用的一种TTL门电路，

性能价格比也比较高。如74LS00为四二输入与

门、74LS32为四二输入或门，74LS86为四二

输入异或门等。通过基本的与或非门电路可以设

计出需要的各种复杂功能的电路，如加法器、译

码器、数值比较器、数据选择器、奇偶检验/产

生电路、编码器等。

2・2.5译码器

■例：设计的74LS138译码器:

3—8译码器原理

译码输出端

译码输入端

A丫7

74LS138真值表

使能端输入端输出端

Gj.G2AG?BCBAYo丫1丫2丫3丫4丫5丫6丫7

X01XXX11111111

X10XXX11111111

x11XXX11111111

0XXXXX11111111

10000001111111

10000110111111

10001011011111

100Oil11101111

10010011110111

10010111111011

10011011111101

10011111111110

第三节

符号数的表示及运算

2.3符号数的表示及运算

主要内容：

-2.3.1符号数的表示

■2.3.2有符号二进制数与十进制的转换

■2.3.3符号数的算术运算

■2.3.4符号数运算中的溢出问题

2.3符号数的表示及运算

计算机中的符号数的表示方法：

把二进制数的最高位定义为符号位。

符号位：“0〃一^表示正数，

“1〃一^表示负数。

■把符号也数值化了的数，称为机器数。

■机器数所表示的真实的数值，称为真值。

注:后面的讲述均以8位二进制数为例。

［例］:

真值机器数

、

+52=+0110100—00工工0100

符号位数值位

-52=-0110100f10工10100

2・31符号数的表示

■对于符号数，机器数常用的表示方法有原码、

反码和补码三种。数x的原码记作［X］原，反码

记作［X］反，补码记作［X］补。

注意：对正数，三种表示法均相同。

它们的差别在于对负数的表示。

1.原码［X］原

-最高位为符号位，用“0”表示正，用“工〃表示负；数

值部分照原样写出即可。

-优点：真值和其原码表示之间的对应关

系简单，容易理解；

-缺点：计算机中用原码进行加减运算比

较困难，0的表示不唯一。

正式定义为：

_jx2"T〉X》0

'X］原<2"T+x0》X〉-2"T

原码的例子

班号符芦位

V

真值X=+18=+0010010原码[X]g=O0010010

X=-18=-0010010[X]府10010010

n位原码表示数值的范围是

一(21-1)〜+(2〃-1-1)

对应的原码是111…1〜011..1

8/16位符号数的表示范

对8位二进制数：

■原码：-127~+127

对16位二进制数：

■原码：・32767z+32767

数0的原码

■8位数0的原码：

+0=00000000

-0=10000000

即：数0的原码不唯一。

2■区码［X］反

对一个数x：

■若x>0,则［X］反=［X］原

-若XVO,则［X］&=对应原码的符号位

不变，数值部分按位求反。

正式定义为：

「「X2"T>X>0

(2"-1)+X0>X>-2"T

反码例

■X=-52=-0110100

[X]原=10110100

[X]反1001011

反码的例子

符号符号位

IJ

真值X=+18=+0010010反码［X］反=00010010

X=-18=-0010010［X］反=11101101

n位反码表示数值的范围是

对应的反码是100…0〜011..1

数0的及码

[+0]反=00000000

[-0]反=11111111

即：数0的反码也不是唯一的。

3.补码［X］补

定义:

-若X>0,则［X］补凶反=凶原

-若XVO,则［X］补［X］反+1

正式定义为：

-2"T

[X]补=2"+X<X<2"i

例

■X=-52=-0110100

[X]原=10110100

[X]反=11001011

[*]补=[X]反+1=11001100

n位补码表示数值的范围是

_2"-1〜+(2~1-1)

对应的补码是100.・・0〜011..1

8/16位带符号数的表示范

对8位二进制数：

■补码：-128+127

对16位二进制数：

■补码：・32768z+32767

0的补码

■［+0］补=［+0］原=00000000

■卜0］补=［-01^+1=11111111+1

=100000000

t

对8位字长，进位被舍掉

［+0］补=『0］补=00000000

特殊数10000000

-该数在原码中定义为：・o

■在反码中定义为：-127

■在补码中定义为："128

■对无符号数，(10000000)2=128

4.8/16位符号数的表示范

对8位二进制数：

■原码：・127z+127

■反码：・127z+127

■补码：T28~+127

对16位二进制数：

■原码：・32767z+32767

■反码：・32767z+32767

■补码：・32768z+32767

2.3■2有符号二进制数与十进制的转

换

对用补码表示的二进制数:

1）求出真值

2）进行转换

例

将一个用补码表示的二进制数转换为十进制数。

■[X],h=00101110B真值为：0101110B

正数

所以：X=+46

■[X]#=l1010010B真值不等于：-1010010B

负数

而是：X=[[X]补]补=口1010010]补

=-0101110B=-46

2.3.3符号数的算术运算

-通过使用反码，可将求补码公式中的减法也

省略掉，最终实现避免减法运算。

■规则如下：

凶补=凶反+1

2.3.3符号数的算术运算

■采用补码作加法时，遵循以下原则：

要把符号位当作数据一同参与运算；

符号位相加后，若有进位存在，则把进位

舍去

2.3.3符号数的算术运算

■通过引进补码，可将减法运算转换为加法运算。

-规则如下：[X+Y]补=[X]补+[丫]补

[X-Y]#=[X+(-Y)]#=凶补+[・Y]补

其中X,Y为正负数均可，符号位参与运算。

补码的运算原理

模(module)就是一个计数系统的最大容量。例如，钟

表的模为12,8位二进制数的模为28。

凡是用器件进行的运算都是有模运算，运算结果超过

模的部分会被运算器自动丢弃。因此，当器件为n位时，有

X=2n+X(mod2n)

不难验证，

［X］补=2MX(mod2n)

因此，

［X土丫］补=2n+(X±Y)(mod2n)

=(2n+X)+(2n±Y)(mod2n)

=凶补+［土丫］补

例

X=-01工0100,丫=+工工10100,求0(+丫］补=?

■［X］原=10110100

・区］补=［X］反+1=工100工100

・丫［］补=［Y］原=01110100

■所以：［X+Y］补=凶补+［Y］补

=11001100+01110100

=01000000

X+Y=+1000000

2.34符号数运算中的溢出问题

■进（借）位一

■在加法过程中，符号位向更高位产生进位；

■在减法过程中，符号位向更高位产生借位。

■溢出一

■运算结果超出运算器所能表示的范围。

■有符号数运算，有溢出表示结果是错误的

■无符号数运算，有进（借）位表示结果是错误的

溢出的判断方法

■方法1:

■同号相减或异号相加——不会溢出。

■同号相加或异号相减可能溢出：

■两种情况：

.同号相加时，结果符号与加数符号相反

溢出；

■异号相减时，结果符号与减数符号相同

渝出O

溢出的判断方法

■方法2：

■两个8位带符号二进制数相加或相减时，若

则结果产生溢出。

C7为最高位的进（借）位；

C6为次高位的进（借）位。

观察以下E9种情况哪个溢出?

假定以下运算都是有符号数的运算。

CASE1:CASE2:

1011010101000010

+10001111+01100011

10100010010100101

无符号数：错误!无符号数：正确

CASE"有符号数：错误!ASE4:|有符导薮：错误

0100001000100010

+11001101+11001101

无符号数：藕漠巧°1]1111101111

有符号数：正确！

例：

■若：X=01111000,Y=01101001

则：X+Y=01111000

+01101001

11100001

即：次高位向最高位有进位，而最高位向前无

进位，产生溢出。

（事实上，两正数相加得出负数，结果出错）

第四节

定点数与浮点数

movax,12h

calldisplay

2.4定点数与浮点数

在计算机中，用二进制表示实数的方法有两种:

■定点法

-浮点法

定点数

-定点数：小数点位置固定不变的数。

■小数点的位置：

■纯小数符号XiX2・・・xn

t

小数点位置

■纯整数符号XX2...xn

t

小数点位置

浮点数

-浮点数来源于科学记数法

■例如：+123.5=+0.123X103

-0.001235=-0.123XIO'2

■浮点数：用阶码和尾数表示的数，尾数通常为

纯小数。

2EXF

数符阶符阶E尾数F

阶码।

小数点位置

80x86中使用的工EEE标准浮点数

■单精度浮点数（阶码偏移7FH）

313023220

数符阶E（8位）尾数F（23位），整数部分默认为1

小数点位置

■双精度浮点数（阶码偏移3FFH）

636252510

数符阶E（11位）尾数F（52位），整数部分默认为1

小数点位置

例：

■将101L10101用8位阶码、15位尾数的规格

化浮点数形式表示。

解：因为101L10101=0.101110101X24

所以要求的浮点数为：

000000100101110101000000

数符阶符阶码尾数（后补。到15位）

例：

■用IEEE标准单精度浮点数重做上题。

3

S^1O11-1O1O1=1.O111O1O1X2Z阶为

7FH+3=82H=10000010B

所以要求的浮点数为：

01000001001110101000000000000000

浮点数的表示

例.写出178.125以单精度浮点数形式存放的机器数

解：178.125(D)=10110010.001⑻

表示成规格化的浮点数为1.0110010001x27

・•・23位有效数字字段为

01100100010000000000000

真阶码为111

偏置阶码为1111111+111=10000110

符号位为0

・•.178.125的单精度浮点机器数为

01000011001100100010000000000000

表示成十六进制为43322000(H)

第五节

计算机中的编码

2.5计算机中的编码

主要内容：

■2.5.1BCD码

■2.5.2ASCII码

■2.5.3汉字编码

2.5计算机中的编码

非数值数据在计算机中必须以二进制形式

表示，非数值数据的表示本质上是编码的过程。

常用的二种：

•BCD码

•用二进制编码的十进制数

•ASCII码

•美国标准信息交换代码

2.5.1BCD码

■用4位二进制数表示一位十进制数。有

两种表示法：

■压缩BCD码

■非压缩BCD码

2.5.1BCD码

■压缩BCD码

-每一位用4位二进制表示，0000-1001表

示0~9,一个字节表示两位十进制数。

■如：92D,转换为BCD码为10010010B,

存储在一个字节，内容为：10010010。

2.5.1BCD码

■非压缩BCD码

-用用一个字节表示一位十进制数，高4位总

是0000,低4位的0000~1001表示0~9。

■如:92D,转换为BCD码为10010010B,

存储在两个字节，内容分别为：00001001,

00000010c

BCD码与二进制数之间的转换

■先转换为十进制数，再转换二进制数；反

之同样。

■例：

(00010001.00100101)BCD

=11.25

=1011.01B

2.5.2ASC□码

-采用7位二进制代码对字符进行编码。

■数字0~9的编码是0110000〜0111001(30H〜

39H),规律：高3位：011；后4位：二进制代

码(BCD码)。

■英文字母A〜Z的ASCII码从1000001(41H)开

始顺序递增；字母a~z的ASCH码从1100001

(61H)开始顺序递增，这样的排列对信息检索

十分有利。

■最高位通常总为0,有时也用作奇偶校验位。

ASCII码的校验

■奇校验

加上校验位后编码中“1”的个数为奇数。

例：A的ASCII码是41H(1000001B),

以奇校验传送则为C1H(11000001B)

■偶校验

加上校验位后编码中“广的个数为偶数。

上例若以偶校验传送，则为41H。

2.5.2ASCII码

■用8位二进制数表示

时，最高位总为0,ASCII

因此最高位（D7位）数字0〜930H-39H

可作为奇偶校验位。小写a〜z61H-7AH

大写A〜Z41H-5AH

■熟悉16进制数0・F回车符0DH

的ASCII码：换行符0AH

空格20H

■30H-39H,

■41H-46H

ASCII码一美国标准信息交换代码

ASCII字符表

X000001010Oil100101110111

0000NULDLESP0@Pp

0001SOHDC1I1AQaq

0010STXDC2!!2BRbr

0011ETXDC3#3CScs

0100EOTDC4$4DTdt

0101ENGNAK%5EUeu

0110ACKSYN&6FVfV

0111BELETB7Gwgw

1000BSCAN(8HXhX

1001HTEM)9IYjy

1010LFSUB*•JZjz

1011