易错点07图形的变化-2023年中考数学考试易错题【全国】（解析版）

备战2023年中考数学考试易错题

易错点07图形的变化

1.图形的平移

8.旋转与坐标变换

9.几何变换综合问题

易错题01图形的平移

平移的性质

(1)平移的条件

平移的方向、平移的距离

(2)平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大

小完全相同.②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对

应点.连接各组对应点的线段平行且相等.

支式练习

1.(2022春•新城区校级期中)在直角坐标系中，点A,8的坐标分别是(1,0),(0,3),将线段AB平移,

平移后点A的对应点A'的坐标是(2,-2),那么点B的对应点B'的坐标是()

A.(1,1)B.(1,2)C.(2,2)D.(2,1)

【分析】利用平移变换的性质，画出图形可得结论.

【详解】解：如图，观察图像可知，B'(1,1).

y

故选：A.

2.(2022秋•定远县期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(-1,0),点A第1次向上跳动1个单位至

点4(-1,1),紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1,1),第3次向上跳动1个单位，第4次向

左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A

第2022次跳动至点加022的坐标是()

A.(505,1009)B.(-506,1010)

C.(-506,1011)D.(506,1011)

【分析】设第〃次跳动至点4”根据部分点4坐标的变化找出变化规律“4〃(1,2/1),A4n+\(-

n-1,2〃+1),A4〃+2(n+1,2H+1),A4n+3(n+1,2/2)(〃为自然数依此规律结合2022=505X4+2

即可得出点A2022的坐标.

【详解】解：设第〃次跳动至点4“

观察，发现：A(-1,0),Ai(-1,1),A2(1,1),A3(1,2),A4(-2,2),As(-2,3),(2,

3),A?(2,4),As(-3,4),A9(-3,5),•••,

•\A4n(-H-1,2n),(-〃-1,2/?+l),A4〃+2(〃+l,2〃+l),A4M3(n+l,2〃+2)(〃为自然数).

72022=505X4+2,

.'.A2022(506,1011).

故选：D.

3.(2022•南京模拟)如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段A8,其长度为〃，第

二条路径为折线AC8,其长度为江第三条路径为折线ACEFGH/JKLB,其长度为c,第四条路径为半圆

弧ACB,其长度为止则这四条路径的长度关系为()

LB

A.a<b<c<dB.a<c<d<bC.a<b=c<dD.a<b<c=d

【分析】根据两点之间，线段最短可知〃最小，根据平移的性质可知%=AC+8C=c,根据圆的定义，可

得c<d.据此解答即可.

【详解】解：根据两点之间，线段最短可知a最小，

根据平移的性质可知b=AC+BC=AD+DE+EF+FG+GH+Hl+U+JK+KL+LB=c,

由圆的定义可知c<d,

.".a<b—c<d,

故选：C.

4.(2022秋•拱墅区期末)以A(-1,7),B(-1,-2)为端点的线段上任意一点的坐标可表示为：(-1,

y)(-2WyW7).现将这条线段水平向右平移5个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为(4,y)

(-20W7).

【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可.

【详解】解：现将这条线段水平向右平移5个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为(4,y)(-2

WyW7),

故答案为：(4,y)(-2WyW7).

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).

(1)在图中画出△A8C向右平移4个单位，再向下平移2个单位的△4B1C1；

(2)写出点4,B\,Ci的坐标：4(3,3),Bi(3,-2),Ci(0,1)；

(3)设点P在x轴上，且ABC尸与△A8C的面积相等，直接写出点尸的坐标.

【分析】（1）根据平移的性质作图即可.

（2）由图可得出答案.

（3）设点P的坐标为（x,0）,利用三角形的面积公式可得着|x+1|专,求出x的值，即可得出答案.

（2）由图可得，点Ai的坐标为（3,3）,Bi的坐标为（3,-2）,Ci的坐标为（0,1）.

故答案为：（3,3）；（3,-2）；（0,1）.

（3）△ABC的面积为/x5X3=与，

设点P的坐标为（x,0）,

.'./\BCP的面枳为/|x-（-1）|X3='^'|x+1|）

•3,।।15

解得x=4或-6.

J点尸的坐标为（4,0）或（-6,0）.

易错题02轴对称

轴对称的性质

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称;

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，

就可以得到这两个图形的对称轴.

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

变式炼习

1.（2022秋•福州月考）如图，在RtZ\ABC中，/BAC=90°,NB=55°,ADLBC,垂足为。，/\ADB

与△AQB，关于直线A。对称，点B的对称点是点8,则NC48的度数为（）

【分析】求出NC,ZAB'D,利用三角形的外角的性质求解即可.

【详解】解：；NB=55°,ZABC=90Q,

：.ZC=90°-55°=35°,

ADIBC,△4OB与△ADB，关于直线AD对称，

AZAB'D=NB=55°,

VZAB'D=NC+NCAB',

：.ZCAB'=55°-35°=20°,

故选:B.

2.（2022春•天桥区校级期中）如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边8c上一动点（且点P

不与点B、C重合），PELAB于E,P/=J_AC于尸.则EF的最小值为（）

【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接以，则以=ER所以要使E尸，即处最

短，只需B4LCB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得以的值.

【详解】解：如图，连接抬.

在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

：.BC2=AB2+AC2,

：.ZA=90°.

又于点E,PEIAC于点F.

NAEP=NA尸P=90°,

四边形PE4F是矩形.

:.AP=EF.

当以最小时，EF也最小,

即当APJ_C8时，朋最小,

'：^AB-AC=^BC'AP,即”=AB"AC=£,

22BC5

，线段E尸的最小值为n2.

5

3.（2022•上虞区模拟）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,乙4=30°,8C=时，点尸是斜边AB上

一动点，连结CP,将△BCP以直线CP为对称轴进行轴对称变换，8点的对称点为连结A8,则在

P点从点A出发向点B运动的整个过程中，线段AS长度的最小值为（）

A.1B.V3C.V3-1D.3-73

【分析】解直角三角形求出AC,再根据AB'2AC-CB，,可得结论.

【详解】解：在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=M，ZCAB=30°,

:.AC=MBC=3,

'：AB''AC-CB'=3-后

■'.AB'的最小值为3-遥，

故选。.

4.（2021秋•讷河市期末）如图，NAOB=30°,点P在NA08的内部，点C,。分别是点P关于OA、OB

的对称点，连接C£（交0A、分别于点E,F；若△PEF的周长的为10,则线段OP=（)

A.8B.9C.10D.11

【分析】首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案.

【详解】解：连接。。，OC,

；乙408=30°：点。、C分别是点P关于直线OA、08的对称点，

AZDOC=60°,DO=OP=OC,PF=DF,PE=CE,

...△OOC是等边三角形，

「△PEF的周长的为10,

.*.OP=10.

故选：c.

5.（2021秋•思明区校级期末）如图，已知AB〃C。，AD//BC,ZABC=60°,BC=2AB=8,点C关于

的对称点为E,连接BE交AO于点F,点G为C£＞的中点，连接EG、BG,则SABEG=（）

【分析】如图，取5c中点H,连接AH,连接EC交AO于M作EM_LCZ）交CD的延长线于M.构建

S&BEG—S^BCE+SECG-SABCG计算即可；

【详解】解：如图，取BC中点“，连接A”，连接EC交A。于N,作EMJ_C。交CO的延长线于M.

E

0HC

"：BC=2AB,BH=CH,ZABC=60°,

：.BA=BH=CH,

*'•/\ABH是等边三角形，

:・HA=HB=HC,

：.ZBAC=90°,

AZACB=30°,

V^CIBC,ZBCD=1800-ZABC=120°,

AZACE=60°,ZECM=30°,

•・・3C=2A3=8,

：.CD=4,CN=EN=2代，

.,."=4\@EM=2M，

:・S/\BEG=SABCE+SECG-SRBCG

=」X8X4我+上X2X2我平行四边形ABC。

224

=16V3+2A/3-4A/3

=14代

故选：B.

6.（2022秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，NABC=90°,AB=6,BC=8,AC边的垂直平分线交

BC于E,交AC于。，F为上一点，连接EF,点C关于EF的对称点C恰好落在的延长线上，则

CD的长为

【分析】利用勾股定理求出AC,设AE=EC=x,再利用勾股定理构建方程求出EC,再利用勾股定理求

出。E,可得结论.

【详解】解：•••/B=90°,AB=6,BC=8,

：*AC=NAB2+BC2=后+82=10,

垂直平分线段AC,

:.EA=EC,AD=DC=5,

设AE=EC=x,则有/=62+（8-x）2,

•l25

4

.,.EC=AE=空，

4

•。=®2@2=｛（普）2-52请,

'：EC=EC'=空，

4

：.C'D=C至-至=5.

442

故答案为：1.

2

7.（2022秋•东丽区校级期末）如图，在AABC中，A8=AC,ZBAC=108°,点。在8C边上，AABD、

△AFZ）关于直线A。对称，NR1C的角平分线交BC边于点G,连接尸G.NBAO=0,当。的值等于10°,

25°或40°时，△DFG为等腰三角形.

A

【分析】首先由轴对称可以得出△AOBgZMOF,就可以得出/B=/AF£>,AB=AF,在证明aAGF名

△AGC就可以得出NAFG=/C,就可以求出/OFG的值；再分三种情况讨论解答即可，当GC=GFH寸，

就可以得出/GDF=80°,根据NAQG=40°+0,就有40°+80°+40°+6+9=180°就可以求出结论；

当。F=GF时，就可以得出NGO尸=50°,就有40°+50°+40°+20=180°,当力尸=DG时，NGDF

=20°,就有40°+20°+40°+26=180°,从而求出结论.

【详解】解：：AB=AC,NBAC=108°,

，/8=NC=36°.

△48。和△AF£>关于直线AD对称，

：./\ADB^^ADF,

.•./B=NAFZ)=36°,AB=AF,/BAD=NFAD=6,

：.AF=AC.

：AG平分NMC,

：.ZFAG^ZCAG.

在△AGF和△AGC中，

，AF=AC

<NFAG=NCAG，

AG=AG

AAAGF^AAGC(SAS),

ZAFG=ZC.

乙DFG=ZAFD+ZAFG,

：.ZDFG^ZB+ZC=360+36°=72°.

①当GO=G/时，

：.4GDF=4GFD=T1°.

*.'/AZ)G=36°+0,

.•.36°+72°+36°+0+0=180°,

.•.0=18°.

②当=GF时，

：.ZFDG=ZFGD.

■:/DFG=72°,

；.NFDG=NFGD=54°.

A36°+54°+36°+20=180°,

/.0=27°.

③当DF=DG时，

：.ZDFG=ZDGF=12°,

：.ZGDF=36°,

・・・36°+36°+36°+26=180°,

・・・0=36°.

.••当®=18°,27°或36°时，ZiOFG为等腰三角形.

故答案为：18°,27°或360­

易错题03轴对称与坐标变化

坐标与图形变化-对称

(1)关于X轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数.

(2)关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数.

(3)关于直线对称

①关于直线x=m对称，P(a,b)=P(2m-a,b)

②关于直线y=n对称，P(a,b)nP(a,2n-b)

变式练习

1.(2022•清城区一模)在平面直角坐标系中，点A(f+2x,1)与点8(-3,1)关于y轴对称，则x的

值为（）

A.1B.3或1C.-3或1D.3或-1

【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数，构建方程求解.

【详解】解：•••点A（）+2x,1）与点B（-3,1）关于y轴对称，

.,./+2r-3=0,

.'.x--3或1,

故选：C.

2.（2021秋•花都区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如

图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m,-〃），其

关于y轴对称的点尸的坐标（3-%-巾+1）,贝ij（机-〃）2。22的值为（）

A.32022B.-1C.1D.0

【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出血，〃，可得结论.

【详解】解：’.•E（2/〃，-n）,F（3-n,-m+1）关于y轴对称，

.f-n=-m+l

I2m=n-3

解得，卜7,

ln=-5

（m-n）2022=（-4+5）2022=l,

故选：C.

3.（2022•金水区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2,0）,B（0,4）,点C与坐标原点

。关于直线A8对称.将AABC沿x轴向右平移，当线段AB扫过的面积为20时，此时点C的对应点C

的坐标为（）

c（春4）D•(+

bb

【分析】如图，连接0C交48于点K,过点K作KJLOB于点J.首先求出点C的坐标，再利用平移变

换的性质求出点C'的坐标.

【详解】解：如图，连接0C交于点K,过点K作K/J_08于点，

；.A(-2,0),B(0,4),

：.OA=2,OB=4,AB=^22+42=2V5,

,：O,C关于A8对称,

OC.LAB,CK=OK,

：.OK=A°-OB=,

AB5____________

(喑)2*,

'：KJ±OB,

875475

•F/BK-OK55_8

OB45

•'-BJ=VBK2-KJ2=^-

：.OJ=OB-BJ=4-也=匹，

55

：.K（一星，A）,

55

OK=CK,

・r（-168）

55

:线段A8扫过的面积为20,

线段4B向右平移了5个单位，

：.c（旦，A）.

55

故选：B.

4.（2022秋•渠县期末）在平面直角坐标系中，对△MBC进行循环往复的轴对称变换，若原来点4的坐标

是电,J5），则经过第2022次变换后所得的点4的坐标是_L^V3r_V2）_.

A-------------------►

关于谢对称关于y轴对称

【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4,然后根据商和余数的情况确

定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可.

【详解】解：•••点A第一次关于x轴对称后在第四象限，

点A第二次关于y轴对称后在第三象限，

点A第三次关于x轴对称后在第二象限，

点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，

..•每四次对称为一个循环组依次循环,

V20224-4=505-2,

经过第2022次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-向，近）.

故答案为：（-通，如）.

5.(2022秋•谢家集区期中)如图，在平面直角坐标系中，己知点A的坐标为(4,3).

①若AABC是关于直线y=l的轴对称图形，则点B的坐标为(4,-1)；

②若AABC是关于直线y=a的轴对称图形，则点B的坐标为(4,2a-3)

【分析】根据轴对称的性质，可得对称点的连线被对称轴垂直平分，即可得到两点到对称轴的距离相等.利

用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标.

【详解】解：根据题意，点4和点B是关于直线y=l对称的对应点，

.••它们到y=l的距离相等，是2个单位长度，轴，

.,.点B的坐标是(4,-1).

若△4BC是关于直线y=a的轴对称图形，则点8的横坐标为4,纵坐标为a-(3-a)=2a-3,

，点B的坐标为(4,2a-3点

故答案为：(4,-1),(4,2a-3).

6.(2022秋•温江区校级期中)在平面直角坐标系X。)，中，经过点M(0,相)且平行于x轴的直线可以记

作直线y=/n,平行于y轴的直线可以记作直线》=，小我们给出如下的定义：点P(x,y)先关于x轴对

称得到点为，再将点P1关于直线＞=，〃对称得点尸,，则称点P'为点尸关于x轴和直线的二次

反射点.已知点P(2,3),Q(2,2)关于x轴和直线)，=机的二次反射点分别为Pi,Qi,点M(2,3)

关于直线x=〃?对称的点为Mi,则当三角形PiQiMi的面积为1时，则1或3.

【分析】根据对称性质由已知点坐标求得P,Q\,Ml的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得，〃的

值便可.

【详解】解：根据题意得，P\(2,2m+3),Q\(2,2相+2),Mi(2m-2,3),

・・・PiQi=|2机+3-2〃？-2|=1,PMi=\2m-2-2|=|2/n-4|,

VAP121M1的面积为1,

••yXIX|2m-4|=P

解得m=1或3,

故答案为：1或3.

易错题04图形的翻折

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位

置变化，对应边和对应角相等.

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图

形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求

的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当

的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出

正确的未知数.

支式练习〉〉

1.（2022秋•二七区校级期末）如图，在矩形A8CD中，点F是8上一点，连结BF,然后沿着8F将矩

形对折，使点C恰好落在AQ边上的E处.若AE：EZ）=4：1,则tanNEBF的值为（）

A.4B.3C.AD.V3

3

【分析】由矩形的性质得O=NA=NC=90°,AD=BC,由折叠得NAEF=NC=90°,BE=BC,则

NDFE=NAEB=90°-ZDEF,AD=BE,即可证明由AE：£0=4：1,得EC=」A。，

5

AE=±AD,可求得8A=JBP2_AF2=3A。,则tan/EBF=E2=£D=』，于是得到问题的答案.

5"""AB5BEBA3

【详解】解：；四边形A8C£＞是矩形，

，/£)=NA=/C=90°,AD=BC,

由折叠得/AEF=NC=90°,BE=BC,

：.ZDFE=ZAEB=900-NDEF,AD=BE,

:.ADFEs^AEB,

•••E一F一--E-D,

BEBA

VAE：ED=4：1,

：.ED=^AD,AE=^AD,

.•.tan/EBF的值为工,

3

故选：C.

2.（2022秋•南岸区期末）如图，正方形A8CD的边长为4,E是边CO的中点，尸是边上一动点，连

接BF,将△ABF沿BF翻折得到△GBF,连接GE.当GE的长最小时，OF的长为（）

AB

A.2V5-2B.2V5-4C.4V5-6D.6-2V5

【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得BE的长，再由翻折知8G=54=4,得点G在以B为圆心,

4为半径的圆弧上运动，可知当点G、E、B三点共线时，GE最小，此时利用勾股定理列方程即可得到

。尸的长.

【详解】解：；正方形ABC。的边长为4,

.,./C=NA=90°,BC=CD=4,

•..点E是边CO的中点，

：.CE=DE=2,

BE=VBC2+CE2=712+22=2后

♦.•将aAB尸沿BF翻折得到△F8G,

：.BG^BA=4,

.•.点G在以8为圆心，4为半径的圆弧上运动，

如图所示，当点G、E、B三点共线时，GE最小,

...GE的最小值=BE-BG=2V5-4.

设QF=x,则AF=GF=4-x,

VZ£>=ZFGE=90°,

DE^+DF2=EF1=FG2+EG2,

即22+J?=(4-x)2+(2>/5-4)2,

解得x=6-2V5.

...£)尸的长为6-笳，

故选：D.

AB

3.（2022秋•运城期末）如图，在菱形A8CO中，NA=60°,点E,尸分别在AB,AD±,沿EF折叠菱

形，使点A落在BC边上的点G处，且EGJ_8。于点若AB=a（取加=1.4,我=1.7）,则8E等

于（）

B

【分析】连接AC,在中，求出A。的长度，进而求出AC的长度，然后根据EG,80,ACA.

BD,可得EG〃AC,进而可以解决问题.

【详解】解：如图，连接AC,交8。于点。，

•.•四边形A8CZ）是菱形，

J.ACLBD,AC=2AO,

,：ZBAD=60°,

AZBAO=30°,

：.AO=^-AB^J^a,

22

：.AC=2AO=yf3a,

•••沿E/折叠菱形，使点4落在8c边上的点G处,

：.EG=AE,

■:EGLBD,ACLBD,

：.EG//AC,

•EG=BE

ACAB'

,:EG=AE,

-AE_a_AE

：.BE=AB-AE=^-a.

27

故选:A.

4.（2023•市南区一模）如图，在矩形ABCQ中，AB=\,在BC上取一点£,连接AE、ED,将aABE沿

4E翻折，使点B落在8'处，线段EB咬4。于点F,将△£€¥）沿。E翻折，使点C的对应点。落在线段

EB'上,若点C恰好为的中点，则线段EF的长为（）

A.AB.迎C.Z.D--p2

226

【分析】由折叠的性质可得A8=AB'=CD=CQ=1,ZB=ZB'=90°=ZC=ZDC'E,BE=B'E,CE

=CE,由中点性质可得8E=2CE,可得BC=4)=3EC,由勾股定理可求可求CE的长，由“A4S”可

证△AB'F名△OC'F,可得。尸=8尸=返_,即可求解.

4

【详解】解：：四边形A8CO是矩形，

：.AB=CD=],AD=BC,NB=NC=90°

由折叠的性质可得：AB=AB'=CD=CD=\,ZB=ZB'=90°=ZC=ZDCE,BE=B'E,CE=CE,

:点C恰好为EB，的中点，

:.BE=2CE,

.•.BC=AZ)=3EC,

'：AE1=AB2+BE2,DE2=DC2+CE2,AD2=AE1+DE2,

：.1+4C£2+1+C£2=9C£2,

解得：CE=亚，

2_

:.BE=BE=M，BC=AD=-3返,。后=亚，

22

亚，

2

=ZDC/F

在△AB'F和△£）（"■中，，NAFB'=NDFC，

AB'=C'D

：./\AB'F^^DCF（A4S）,

：.CF=B'F=^-,

4

£F=CE+C1尸=2返■,

4

故选：D.

5.（2022秋•徐汇区期末）如图所示，在AABC中.沿着过点C的直线折叠这个三角形，使顶点A落在8c

边上的点E处，折痕为C。，并联结OE.如果BC=9c/n,且满足也迺=」，边4C=里加.

2AABC67

A

【分析】由折叠得EC=AC,ZBCD=ZACD,则点。到CB、CA的距离相等，设点。到C8、C4的距

离都是力，由&DBE=」SA4BC,可列方程』(9-AC)h=l(JLAC・〃+」X9/Z),解方程求出AC的值即

62622

可.

【详解】解：由折叠得EC=4C,NBCD=NACD,

...点。到CB、C4的距离相等,

设点D到CB、CA的距离都是hem,

VSADBE=A,BC=9cm,

2AABC6

SADBE——SMBC,

6

"."SADBE=—(BC-EC)h=—(BC-AC)h,SMBC—S/\ACD+S^BCD=—AC,h+—BC*h,

2222

AA(9-AC)/J=A(JLAC・/Z+』X9〃)，

2622

解得AC=至，

7

故答案为：^-cm.

7

6.（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形ABCQ的边长为5,点E是边CO上的一点，将正方形A8CO沿

直线AE翻折后，点。的对应点是点。,，联结C7J交正方形A8CD的边于点尸，如果AF=CE,那么

4尸的长是$.

【分析】根据翻折的性质得，DE=D'E,可得NED。=ZED'D,证明四边形AEC尸是

平行四边形，则AF=CE,AE//CF,可得CFLDD,,根据等角的余角相等可得NE。'C=ZD,CE,

则。'E=CE=DE,即可求解.

【详解】解：如图：连接

由翻折得，DE=D'E,

:.NEDD'=NED'D,

；四边形ABC。是正方形,

:.AB//CD,

；AF=CE,

...四边形4ECF是平行四边形，

：.AF=CE,AE//CF,

J.CF1.DD',

:.NEDD'+ZD'CE=NED'D+ED'C=90°,

：.ZED'C=ZD'CE,

：.D'E=CE=DE,

正方形ABCD的边长为5，

CE=4CQ=」AB=5,

222

2

故答案为：1.

2

易错题05中心对称

中心对称

(1)中心对称的定义

把一个图形绕着某个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图

形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心

的对称点..

(2)中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；

②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

变式练习

1.(2022春•嘉鱼县期末)如图，点O为矩形ABCQ的两对角线交点，动点E从点A出发沿AB边向点8

运动，同时动点F从点C出发以相同的速度沿CD边向点D运动，作直线EF,下列说法错误的是()

A.直线£尸平分矩形4BCD的周长

B.直线EF必平分矩形ABC。的面积

C.直线EF必过点。

D.直线EF不能将矩形ABCD分成两个正方形

【分析】根据AE=FC,£>F=BE可知：直线EF平分矩形ABC。的周长正确；

证明△£>〃下丝/XBA/ECASA),直线EF必平分矩形ABCD的面积正确，直线EF必过点O正确;

直线EF不能将矩形ABCD分成两个正方形，可判断D错误.

【详解】解：连接8。交EF于M,

•••四边形A8CQ是矩形，

J.AB^CD,AB//CD,AD^BC,

:.DF=BE,NDBE=NBDF,NDFE=NBEF,即直线EF平分矩形ABC。的周长，故A正确；

：./\DMF^/\BME（ASA）,故8正确；

：.FM=EM,DM=BM,

与O重合，即直线EF必过点O,故C正确；

当AB=2AO,EF垂直AB时，直线EF将矩形ABC。分成两个正方形，所以原说法错误，故。错误；

故选：D.

2.（2022秋•莱西市期末）如图，点。为矩形A8C。的对称中心，点E从点A出发沿A8向点8运动，移

动到点B停止，延长E。交CD于点凡则四边形AEC尸形状的变化依次为（）

A.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

B.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形

C.平行四边形f正方形一菱形~矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

【分析】通过作图观察即可得出答案.

【详解】解：画图如下，

由图可知最后会与原有矩形重合,

，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形f菱形一平行四边形一矩形,

故选：A.

3.（2021秋•中牟县期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中

心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得

到的图形与图①〜④中相同的（）

A.图①B.图②C.图③D.图④

【分析】由于每经过4次旋转后两矩形重合，而2022=4X505+2,所以第2022次旋转后得到的图形与

图②相同.

【详解】解：由于每经过4次旋转后两矩形重合，2022=4X505+2,

.•.第2022次旋转后得到的图形与图②相同.

故选：B.

4.（2022•仙居县二模）如图，把正方形ABCO绕着它的对称中心。沿着逆时针方向旋转，得到正方形4'

B'CD',A'B1和8'C'分别交AB于点E,F,在正方形旋转过程中，NEO尸的大小（）

B

AB

0/

A.随着旋转角度的增大而增大

B.随着旋转角度的增大而减小

C.不变，都是60°

D.不变，都是45°

【分析】连接AO,BO,A'O,AB',依据正方形的性质，即可得到进而得出

(SSS),根据全等三角形的的性质，可得NAOE=NB'OE.同理可得，ZBOF=ZB,OF,根据NEOF=

ZB,OE+ZB'OF^l.ZAOB,可知在正方形旋转过程中，/EOF的大小不变，是45°.

2

【详解】解：如图所示，连接AO,BO,A'O,AB',

•.•正方形ABC。绕着它的对称中心。沿着逆时针方向旋转，得到正方形A'B'CD',

：.AO=BO,

：.ZOAB'^ZOB'A,

又•.•/OAE=/O8'E=45°,

ZEAB'=ZEB'A,

：.AE=B'E,

又,：EO=EO,

：.^AOE^/\B'OE(SSS),

ZAOE=ZB'OE.

同理可得，NBOF=NB'OF,

：.ZEOF=ZB'OE+ZB'OF=^ZAOB=1-X90°=45°.

22

.•.在正方形旋转过程中，/EOF的大小不变，是45。.

故选：D.

5.（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点4在元轴上，定点B

的坐标为（8,4）,若直线经过点0（2,0）,且将平行四边形OA8C分割成面积相等的两部分，则直线

A.y=x-2B.y=2x-4C-y-|x-lD.y=3x-6

【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称

中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可.

【详解】解：•••点8的坐标为（8,4）,

•••平行四边形的对称中心坐标为（4,2）,

设直线DE的函数解析式为y=kx+b,

则（4k+b=2,

l2k+b=0

解得,

Ib=-2

・・・直线DE的解析式为y=x-2.

故选:A.

易错题06轴对称与最短路线问题

1、最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通

过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的

交点就是所要找的点.

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，

多数情况要作点关于某直线的对称点.

变式炼习

1.（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角AABC中，ZC=40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N

分别是AC和BC边上的动点，当△「〃义的周长最小时，NMPN的度数是（）

A.90°B.100°C.110°D.80°

【分析】分别作尸关于BC,AC的对称点E,D,连接。E,交AC于交BC于M此时△MNP的周

长最小，由条件求出/OPE的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到

E=40°,从而求出/MPN的度数.

【详解】解：分别作P关于BC,AC的对称点E,D,连接QE,交AC于"，交BC于M此时△MNP

力

〈NPHM=NPGN=90°,NC=40°,

.../OPE=360°-NPHM-NPGN-NC=360"-90°-90°-40°=140°,

.".ZD+Z£=180°-ZDPE=180°-140°=40°,

'：PM=DM,NP=NE,

:.NMPD=ND,NNPE=/E,

:.NMPD+NNPE=ND+NE=40°,

：.4MPN=4DPE-(NMPD+/NPE)=140°-40°=100°.

故选：B.

2.(2022秋•南沙区校级期末)如图，在△ABC中，ZABC=60°,BO平分NABC,点E是BC上的一动

点，点P是BO上一动点，连接PC,PE,若48=6,SMBC=\5Y/3,则PC+PE的最小值是()

A

B

A.3A/3B.6C.5aD.10

【分析】在BA上截取8F=2C,连接C凡PF,PE,CF交BD于点G,得到aBCF是等边三角形，利

用等边三角形三线合一，得至l」PF=PC,进而得至I」PC+PE=P尸+PE2EK找到当P,E,尸三点共线时，

PC+PE最小，连接CP并延长交AB于H,利用等边三角形的三条高线相等，以及$^皿0=15«，求出

FE的长度，即为PC+PE的最小值.

【详解】解：在BA上截取B尸=BC,连接CF,PF,PE,CF交BD于点G,

；BF=BC,N4BC=60°,

/\BCF是等边三角形，

•.•8。平分乙48。，

C.BGLCF,CG=FG,

：.PF=PC,

：.PC+PE=PF+PE^EF,

...当P,E,尸三点共线时，PC+PE最小,

是等边三角形，E是8c的中点,

：.FE±BC,

连接CP并延长交A8于H,

•.•等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，

:.CHLBF,FE=CH,

7AB=6>

SAABC=15V3»

•••yABCH=15V3>

...CH=2X15愿=5我,

6

：.FE=CH=5-/3,

.”C+PE最小值为5a.

故选：C.

3.（2022秋•和平区校级期末）如图，在四边形4BCO中，NA=NC=90°,M,N分别是BC,AB边上的

动点，NB=58°,当△QMN的周长最小时，NM£W的度数是（）

D

B

A.122°B.64°C.62°D.58°

【分析】延长DA到E使DA^AE,延长DC到F,使CF=DC,连接EF交AB于N,交BC于M,此时，

△DMN的周长最小，根据等腰三角形的性质得到NE=/ADMNF=NCDM,设NMON=a,根据三

角形的内角和列方程即可得到结论.

【详解】解：延长D4到E使D4=AE,延长QC到F,使CF=QC,连接EF交A8于N,交8c于M,

此时，△OMN的周长最小，

VZA=ZC=90°,

:.DM=FM,DN=EN,

；.NE=NADN,NF=NCDM,

VZB=58°,

/.ZADC