高中数学高二教案学案原创复数（江苏王起）-高中数学

3.1.1数系的扩充与复数的概念

【教学目标】

•、知识与技能：理解复数的有关概念以及符号表示；掌握复数的代数表示形式及其有关概念；

二、过程与方法：通过在问题情境中了解数系得扩充过程及复数的分类表；

三、情感态度和价值观：体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过

程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念.

【教学难点】复数概念的理解.

【教学过程】

一、回顾总结

1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概

括和总结）自然数一整数一有理数一无理数一实数

相关链接：数的发展里程

2.提出问题

我们知道，对于实系数一元二次方程/+1=0,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得

在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

3.组织讨论，研究问题

我们说，实系数一元二次方程炉+1=0没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有•个实数

的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？（最根本的问题就是要解决-1

的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于-1.）

二、新课内容：

引入新数i,并给出它的两条性质

根据前面讨论的结果，我们引入一个新数i,i叫做虚数单位，并规定：

（1）;2=-1；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.

有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（一1

可以开平方，而且一1的平方根是士》）.

1.提出复数的概念

根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数。相加.由于满足乘法交换律

及加法交换律，从而可以把结果写成〃+方这样，数的范围又扩充了，出现了形如a+bi（a,bwR）的

数，我们把它们叫做复数.其中a叫做这个复数的实部，b叫做虚部

全体复数所形成的集合叫做复数集，•般用字母C表示，显然有：

（1）N*^N2Z^Q茎R2C.（2）复数a+bi（a,b为实数）!头数3=0）

［虚数（6工0）（当a=0时为纯虚数）

巩固练习：

例1、下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各

是什么？4,2-3i,0,-5+V2z,6i（教材P104例1）

23

练习、判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数

（2）若b为实数，则2=而必为纯虚数

（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数

例2、实数m分别取什么值时，复数z=m（m-l）+（m-l）i是⑴实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（教

材P104例2）

练习：实数m分别取什么值时，复数z=m2+m-2+（m2-l）i是⑴实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

2.提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等.也

就是

a+bi=c+diOa=c,且b=d・

由此容易得出：a+bi=°=>a=0,且b=0•

例3、已知x+y+（x-2y）i=2x-5+（3x+y）i,求实数x与y.

分析：因为x,yGR,所以由两个复数相等的定义，可列出关于x,y的方程组，解这个方程

组，可求出x,y的值.

练习：教材P105一练习4

思考：两个复数若不全是实数，能否比较大小？

最简单的虚数单位i和0的大小如何？（若i>0,贝ijF>0,-l>0不成立；若i<0,则F>0,-l>0不

成立。这样两个复数只要不全是实数，就不能比较大小。）

例4、对于实数x,是否存在实数a,使3x?+（x-a+lyi>27+（x2+a-ax-l）i,若存在，求出a的范

围集合：否则说明理由

解：x-a+l=O=x?+a-axT,且3x'>27,a<-2或a>4

三、归纳总结

（1）、虚数单位i的引入；

（2）、复数的代数形式：％=。+方,其中。6尺。6/?；

（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。

四、布置作业：P105--习题1~4

［补充习题］

1、复数z=sin2x-i（l-cos2x）是纯虚数，则实数x=

2、设z=log2（m2-3m-3）+ilog2（m-3）,若其实部的范围是（0,1）,则实数m的范围是

3、关于x的方程x2-（2i-l）x+2p-i=0有实数根，求实数p的值或范围

［答案］

3、p=l/8

备课资料：

数系的发展历程

数的概念是从生活、生产、科研等社会实践中发展起来的，每一种数的发展均有两个方向：一是其

内涵的增容、规范及应用的日臻完善的纵向过程，二是对其出现的不可调和的矛盾而衍生新数的横向

发展，在这种纵横交错中，数一步步走向系统完整。

一，正整数在勇往直前中成熟

人类最初只有“无”与“有”这两个描写一天有无猎物或是否见到同伴的词。后来，从“有”中

分化出“多”与“少”等模糊的量词。由于具体记数的需要，人们开始用自己的手指，伸出一个手指

去说明有-只兔子或抓住一只羔羊，正整数1就这样诞生了，由1而有2、3、4……；为了表示更多的

数，人们借助于用具来体现，由于用具选择的不同，体现的规则也不尽相同，从而形成不同的位值数，

如：我国以手指记数，指头至十完结，十之后借助于绳子打结，形成“结绳记数”的十进制规则，后

逐渐以“结绳”与手指共同记数，成为世界上最早采用十进制的国家；古希腊则“以石记数”，沿用古

巴比伦的六十进位制；而中美洲的马雅人采用二十进位制，等。

现在国际上记数符号——数字，为阿拉伯数字，实质是文字诞生较早的印度首先发明和使用的，

后传入阿拉伯，十三世纪才由欧洲人将之译成拉丁文而传入欧洲。所以，在欧洲人看来，数字来自阿

拉伯而称阿拉伯数字，但在译制过程中，不同时代随社会文明的进步，代码及符号又不尽相同。至1522

年，英国的Tonstall所写的书中，才形成现在这种数字写法。

这样，加上一些运算规则，形成了正整数体系的雏形，系统的定义则是在公理化思想、集合概念

都出现后，由意大利的Peano于1891年在他的论文《关于数的概念》中提出的，称自然数公理（Peano

说的自然数即正整数，不含数字0）,其要点是五条公理：①1是自然数；②1不是任何其他自然数的直

接后继者；③每个自然数a都有一个后继者；④若a的后继者与b的后继者相等，则a与b相等；⑤

若一个自然数组成的集合S含有1,又若当S含有任意数a时，它一定含有a的后继者，则S含有全

体自然数。这样，正整数才真正走到成熟。

二，分数、负数、零的引入，使数在纤纤细步的增容中完成量变的积累

随社会的发展，分配及更精确丈量土地的需要，正整数已不够用，人们引进了分数。世界上最早

有关分数的记载，要数埃及的纸草文书，但迟至公元前1650年的Ahmes所著的《获得一切奥秘的指

南》，仍将分数化成分子是1再加以计算；我国在公元前100年的《周髀算经》中就有了具体分数的计

算，在其后的《孙子算经》及《九章算术》中就明确总结了分数的计算、表示方法，（只不过当时分数

的表示方法是分子在上、分母在下、中间无横线，且带分数的整数部分又排在最上面）。现今的分数表

示法2,迟至1175年中亚西亚的Al-Hassan才在其著作中出现，同时十进制分数西传过程中与印度文

a

化相结合，如：叙利亚的Al-Battanl于十世纪引入正切、余切时采用了小数，使分数在编译过程中改进

为另一面貌形式。

负数及运算法则也是我国最先引入的：在《九章算术》中，以收入、余钱、入帐为正，付款、不

足、减掉为负，并系统阐述了加减的运算法则，因该书是对前人经验的总结，因此实质负数及其运算

规则比它要早些；至1299年，朱世杰编的《算学启蒙》中有了负数乘除法的法则。欧洲对负数的处理

是由意大利的Fibonacci提出后又不敢承认，•段时间内将之视作“假数”或“荒诞的数”，至Bcmbell

才给出明确的定义，Girdrd将负数与正数等量齐观，并用“-”表示负数，一直沿用至今。

另一方面，为表示“没有”的意思而引入数字零。现今发现的文献中，最早有零的是公元前600

年的巴比伦泥版文书，只不过当时零用空格表示，且仅仅作为一个记号，并没有引入计算。对零引入

计算的要数印度人为先：约在三、四世纪，他们就用“表示零，并加以计算应用，但总结出“一数

乘零得零，-数加零、减零不变”的计算的规律则在9世纪末Mahavira的《计算精要》文献中。至于

现在的零写法“0”，以公元初印第安人马雅族用贝壳的图形符号“O”（俗称蝌蚪文）为早。无论如何，

零的加入，使位值制得以真正完善。

三，跌宕起伏的无理数

远在公元前500年左右，古希腊著名的Pylhagores学派就认为：“万物皆数，数皆可归为整数或整

数之比，此比称公度比”，即现在的正有理数（因当时欧洲还没有负数及零的概念）；但在公元前五世

纪时，该学派的一名成员Hippasus发现：“正方形的对角线与其一边无公度比”，这一发现使该学派成

员大为惊慌居然有人敢反对伟大的Pythagores!在争论和大家的愤怒声讨中，犯了众怒的Hippasus

被抛入大海。

Hippasus虽然死了，但他的“无公度比”的观念并没有随之消亡。Plat。学派的前驱Theodorus又

证明了石、后、V7也没有公度比，可惜这一学派又不愿接受无理数这一新概念。之后的Eudoxus

及Euclid是通过“量”概念的引入，用几何方法处理这种“无公度比”（用现在的话说，就是找近似的

有理数来代替这个数），这又基本上将无理数抹杀。在东方的印度，也同样在十二世纪仍将无理数当作

有理数加以处理。直至十九世纪的1872年，德国的Dedekind才将之分离出来，为区分以往的数而命

名为无理数，将原有的可以化为整数比的数称有理数，并将无理数与有理数统称实数，创建了实数理

论；之后的1874年，德国的Cator验证了Dedekind理论的正确性，并证明了“实数与数轴上点——对

应”的理论，至此，完成了真正意义上的实数理论。

四，无聊游戏中出现的复数

人们最早在研究方程时，认为x2+l=0之类的方程必定无解，由于习惯用历史来解释现实与告诉未

来，所以人们也就习惯地将“其有解”视作是永不可能的。1545年，意大利的Cardano在其著作《大

术》中讨论了这样的问题：“是否可以将十分成二部分，使它们的积等于40”，用现在的话即解方程

X2-10X+40=0,他大胆提出了两个解5±C15（只不过当时不这样记），Cardano将之称作“诡辩量”，

既然是诡辩量，自然在当时也将之视作一种无聊的游戏（它标志着虚数的诞生），正是这一游戏，27

年后，意大利的Bembeli在其《代数学》中，用之完整地得到了一元三次方程的求根公式。

但，人们的观念并没有随之带来变化。如：Descartes在1637年的《几何学》中，认为它非实在,

故起名为imaginarynumber（虚数）！大科学家Newton也不承认它，继续把它当作一种无聊的游戏；

Leibniz更是发扬这一传统思想，称：虚数是介于存在与不存在间的无聊的两栖物。

至1747年，法国的D'Alembert才将虚数与实数并列看待，并将实数与虚数统称为数（当时的实

数实质指的是有理数）；1777年，瑞士的Euler系统地建立了复数理论，并首次用i表示虚数单位，发

现了复指数函数与三角函数间关系；至1801年，德国的Guass系统地使用了i这个记号及运算法则，

将实数与虚数统称复数，并将复数与几何建立了对应关系，复数理论走向了应用。

五，计算机的问世，使“二进制”这一古文明复活

自然界中存在着大量截然相反的状态，如：有与无、大与小、高与底、通与断，既然用十个手指

可以用来表示十进制数，那么用两手或两脚也可以记数，这样就形成了二进制记数法。在我国周朝的

《易经》中就记载了用不断的横“一”和断开的横“-”表示两种相反的状态，如果将“一”记作现在

的1,而“」’视作现在的0,其实就形成了现在的二进制，根据各种文献考证，这一符号诞生于原始

社会伏羲时代的“八卦”。但由于二进制表示数很冗长，人们并没有在数学中引起重视，在我国，它却

成为算命的理论基础壮大起来。

1698年，德国的Leibniz对中国传去的“八卦”产生了浓厚的兴趣，他预言：这将对科学研究非

常重要，并提出了用机器代替人进行逻辑思维活动的设想，为此他还写了一封热情洋溢的信给当时的

康熙皇帝，希望与中国学者共同研究八卦，进行文化交流。但当时的“天朝大国”闭关自守，对之自

然是“不屑一顾”。

至1847年，英国的Boole-George发表了《逻辑学的数学分析》，紧接着于1854年他又发表《思

维规律》，建立了逻辑代数（俗称Boole代数），但这一理论并没有引起人们的重视；直到1936年，美

国麻省理工学院的Shannon将逻辑代数用于电子电路后，人们开始认识到：它是电路设计的理论根据

和主要分析手段，紧接着于1946年，第一台电子计算机问世，二进制被用来作为计算机的基本数而引

起人们的重视；又为解决它表示数太过冗长的致命弱点，开发出八进制、十六进制等等。这样，数冲

破了十进制原有的包围，形成了应用数学的燎原之势。

总之，数的发展历程基本呈现：出现早、承认慢、系统理论互关联的特点。

附录数的发展历程一览表

年代对应中国年代国家主要成就

旧石器晚期伏羲时代中国八卦图出现，标志着数与二进制的诞生

-4200-2200黄帝族成契时代中国象形字诞生，有《洛书》《河图》数学文献

~唐尧起时期巴比伦出现以石记数及六十进位制

埃及象形字出现

-1850夏槐王朝埃及纸草文书中有了分数记我

-1650夏发王朝埃及Ahmes纸草文书中，将分数分子化为1进行计算

-600周定王5年巴比伦泥版文书中以“口”代表零

-400左右周安王2年希腊Hippasus提出了有无理数存在

-300周赦王15年希腊Euclid《几何原本》用近似有理数取代无理数

-100汉武帝天汉元年中国《周髀算经》记载了具体分数的计算

月1世纪西汉美国印第安人马雅族用“口”表示零

100-200东汉中国《九章算术》《孙子算经》含有了分数的运算法

则及负数的概念

850唐宣宗大中4年印度Mahavira写成《算术精要》，提出零的运算法则

920梁末帝贞明5年，契叙利亚Al-Battanl引入小数

丹太祖神册5年

1299元成宗大德3年中国朱世杰《算学启蒙》有了负数的运算法则

1522明世宗嘉靖元年英国Tonstall首用阿拉伯数字

1545明世宗嘉靖24年意大利Cardana引入诡辩量（复数）

1572明隆庆6年意大利Bcmbelli用复数得出一元三次方程的通解

1585明万历13年比利时Stevin《论十进制》出版

1620明泰昌元年荷兰Girard用表示负数

1637清崇德2年，明崇祯法Descartes命名虚数imaginarynumber

10年

1689清康熙28年德Leibniz指出八卦对科学研究很重要，提出了用机

器代替人进行逻辑思维活动的设想

1747清乾隆12年法D,Alem将有理数与虚数同样看待

1777清乾隆42年瑞士Euler创立复数论

1801清嘉庆6年德Guass系统将复数与几何建立关系

1847清道光27年英Boole创立逻辑代数

1872清同治11年德Dedekind命名有理数、无理数与实数

1874清同治13年德Cantor证明实数与数轴上点一一对应

1891清光绪17年意大利Peano提出正整数公理

1936民国25年荚Shannon将逻辑代数用于电子电路

1946民国35年美第一台电子计算机问世

3.2复数的四则运算（1）——加减与乘法

［教学目标］

一、知识与技能：理解复数的加、减、乘运算法则，能用它们进行复数的四则运算

二、过程与方法：通过多项式类比得出复数加法、乘运算，通过实数的运算法则和减法规定进行减法

运算

三、情感态度与价值观：体会复数运算的合理性

［教学重点］复数的加、减、乘运算

［教学难点］复数范围内分解因式

［教学过程］

一、引言：i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么任意两个复数按照怎样的法则

进行运算呢？

—>新课内容：本节中a、b、c,d、x^yGR

1、复数的加法与多项式加法类似：a+bi+(c+di)=(a+c)+(c+d)i两个复数的和仍然是•个复数

容易验证：复数的加法满足交换律和结合律，即：Z1+Z2=Z2+Z),(z1+Z2)+Z3=ZI+(Z2+Z3)

2、复数减法怎么办？实数当中，减法是加法的逆运算，即a+b=c,b称c与a的差，记作c-a

同理,对于复数，c+di+(x+yi)=a+bi,x+yi也称a+bi与c+di的差,记作(a+bi)-(c+di)

由加法定义，c+x=a,d+y=b，解得x=a-c,y=b-d,于是a+bi-(c+di)=(a-c)+(c-d)i两个复数的差仍然是一个复

数

你能总结出复数加减运算的•般规律吗？

两个复数相加减，就是把他们的实部和虚部分别进行加减

练习：教材P108—--1

3、复数的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+{ad+bc)i.

指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式.注

意i2=-l

复数乘法也满足交换律、结合律以及分配律.

练习教材P108--2

思考"a>0时，方程x2+a=O在复数范围内的解是什么？(土及i)

例1、计算求(a+6i)(a-bi).

此例的解答可由学生自己完成.(a2+b2)

说明:将a-bi称a+bi的共枕复数，记作a+bi=a-bi

思考1：一个复数z,什么情况下是实数？(£=z)

思考2：在复数范围内，你能将x?+y2分解因式吗？(x=y2=(x+yi((x-yi))

例2、在复数范围内分解因式X2+2X+5,

解：X2+2X+5=(X+1)2+4=(x+1+2i)(x+1-2i)

练习:教材P108--3,4,5

三、总结：a+bi土(c+di)=(a±c)+(c土d)i,两个复数相加减，就是把他们的实部和虚部分别进行加减

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,a+bi=a-bi.一个复数z是实数=z=z

［作业］教材Pl11-1,2,5,6,10

［补充习题］

1、Z1,Z2分别为非零复数，A=z,+Z2［.B=zM+Z2W，问A、B能否比较大小，如果可以，比

较它们的大小；不能说明理由

2、判断卒2和Z1什么关系

[答案]

1、可以比较大小，A(B

2、相等

备课资料：复数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律证明过程

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.证明如下。

设Z1=1+,z=a4-马=%+

22h2i,b3i

(1),/z1z2=(«1+b]i)(a2+b2i)=(a]a2-b1b2)+(b]a2-a}h2)i

Z2Z}=(%+4i)(q+bj)=(a2a]-b2b])+(h2a]+a2bI)i：.=Z2Z{

(2)*.*(z)z2)z3=[(%+卬)(。2+%川(〃3+&i)=Kq〃2—々％)+(々。2+〃也2)i]xQ+.i)

=[(。口2一4人2)。3-(bg+a[h2)b3]+[(/?]%+〃也)。3+(〃]〃2—4。2)®]

=(a]a2a3一/7,/?2a3一/7,a2/?3一a}h2b3)+(h]a2a3+%b2a3+a1a2b3一b}h2b3)i

4Q2Z3)=(q+，，)[(。2+%i)(〃3+/，)]=(q+b}i)x[{a2a3-h2b3)+(h2a3^-a2b3)i]

=[a](a2a3一b2b3)-b](b2a3+a2b3)]+[仇(a2a3一62b3)+a](b2a3+a2b3)]i

=(q〃2a3一。/2人3-b}b2a3-Iqa2b3)+{h]a2a3-b}h2h3+a}b2a3

={a]a2a3-“仇%—A%/一。也4)+(々a2a3+。仇。3+2b台—b}b2b3)i

；•(Z|Z2)Z3=Z|(Z2Z3)

(3)*.*z1(z2+Z3)=(a,+—[(。2+媳)+(%+-i)]=(4+，i)[(，2+%)+(%+%)〃

=[a](a2+。3)—々(么+4)]+[b](a2+a3)+aI(Z>2+Z?3)]z

a

={a]a2+q%一b】b?-b]b3)+(h]a2+4%+\^i+。仇"

ZjZ2+Z1Z3=(q+々。(出+%，)+(q++%i)

(aa2-姑2)+(32+a/2)i+(4的一仇％)+(4%

1+atb3)i

=（a1a2-b{b2+axa3-4伉）+（bta2+a仇+4阳+。也），

=（%。2+%。3一岫2-44）+（仿出+%。3+。仇+“力3»•'•%（12+23）=+石马

3.2复数的四则运算（2）——乘方与除法

［教学目标］

一、知识与技能：理解复数的乘方与除法运算，能用它们进行复数的相关运算

二、过程与方法：通过多项式类比得出复数乘法运算，通过类比有理化来得到除法转化为乘法的运算

方法

三、情感态度与价值观：体会复数运算的合理性

［教学重点］复数的乘方、除法运算

［教学难点］复数综合运算

［教学过程］

一、在实数运算中，有了加而逆运算出现减，有了乘逆运算而出现除，叠运算出现乘方，复数乘方与

除法怎么办呢？

二、新课内容：

1、复数乘方与实数乘方类似

Z,ZQ是复数,m、n为正整数，则zmzn=zM,（zm）n=zmn,（Z|Z2）n=zJz2n

真正计算时，涉及了i的乘方，计算厂//3/,i5的值，由之你能得到什么结论？

结论：i防=1,严=i，产2=7,严3=-i

j

例1、设&=----求证：（1）l+co+co2=0；（2）。3=1.

22

说明:a）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立;（2）复数的混合运算也是乘方，乘除,最后

加减,有括号应先处括号里面的.

变形1：如果石=一!一如i,则1+@+02=o与#=1还成立吗？（成立）

22

变形2：能写出x3=l的三个根吗？（1,

2222

2、复数的除法：复数的除法也是乘法的逆运算，ZIZ=Z2,称Z为Z2和Zi的商，记作Z=红，这样计

Z|

算除法的总体思路是变成乘法计算

2-；

例2、计算上」

3-4/

2-i

解：［方法一］设-----=x+yi,(x,y€R),于是2-i=(3-4i)(x+yi)=3x+4+(3y-4x)i,,于是

3-4z

3x+4y=2x=

解得＜所以

3y-4x=-13-4z55

y=

说勿：根据除法是乘法的逆运算,常常将除法变成乘法,根据发数相等得到除法的值。

1

在学习无理数时，要花简一个分母含有根式的式子，我们常常进行分母有理化，如

2-V3

2+6

=2+A/3,相应的复数是否分母也可以实数化呢？又如何进行实数化?

(2-V3)(2+V3)

2-1(2-z)(3+4z)2+8Z-3/+421.

［方法二］-----=--------------=-------------=—+—i

3-4z(3-4/)(3+4z)2555

说明:复数除法的另一方法是分母实数化,实数化的具体技巧是分子、分母同乘分母的共枕复数

100

例3、求$=Z贬1的值

k=l

解：S=l+2i+3i2+4i3+.......+100F①

iS=i+2i2+3i}+.......+99i,,+100i,°°②

2w

①一②得：(1-i)S=l+i+i+i+...+i-100=-——-——-100=-100,S=—熊。=100(1+0=_^(|+j)

1-i1-i(l-i)(l+i)

备用课堂练习：教材PllO--练习题

三、小结：产=1,i4"'=i,严J,严J

复数乘方与实数乘方类似

复数除法有两个思路，一根据除法是乘法的逆运算，常常将除法变成乘法，根据复数相等得到除

法的值；二是分母实数化，实数化的具体技巧是分子、分母同乘分母的共聊复数

四、作业：教材P111—3,4,7,8,9

［补充习题］

1、求7-24i的平方根

2、求函数f(n)=(?)"+(?咒nGN的值域

1-i1+i

［答案］

1、±(4-3i)

2、{2,0,-2)

3.3复数的几何意义

［教学目标］

一、知识与技能：了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数的加、

减运算的几何意义

二、过程与方法：通过类比得到复数与点与向量的对应关系，从向量着手，说明复数加、减的儿

何意义，并应用

三、情感态度和价值观：体会知识的渐进功能

［教学重点］复数减法法则.

［难点］对复数减法几何意义理解和应用.

教学过程设计

一、引入新课

实数与数轴上的点一一对应，复数a+bi取决于什么？能否用几何形式来体现？(板书课题：复数

的几何意义)

二、新课内容

1、复数z=a+bi(a,bdR)取决于点(a,b),而后者可以通过点的坐标来体现，这样建立直角坐标系来表

示复数的平面称复平面，x轴称实轴，反应一个复数的实部，y轴称虚轴，除原点外表示复数的虚部。

这样：复数a+bi<二=岖>复平面内的点(a,b)

思考：实数在复平面内的位置落在___________；唇虚数呢？

2、点Z(a,b)又与向量文对应，这样得到

这样，复数z=a+bi说成点Z或向量0Z,相等的向量表示相同的复数

向量。Z的模叫做复数片a+bi的模，记作Izl或la+bil=Ja?+b*

思考：lzl,£l有什么关系？

练习：教材P130-—练习1、2、3、4

例1、设zGZ,满足下列条件的点Z的集合图形是是什么？

(l)lzl=2(2)2<lzl<3教材113页例3

3、复数加减法的有什么儿何意义？

可以根据向量加减法的儿何意义得到。设2=4+/^(a,OCR),z尸C+di(C,deR),对应向量

分别为谖，存如图

由于复数减法是加法的逆运算，设z=(a-C)+(6-d)i,所以z-z尸Z2,Z2+Z尸z,由复数加法几

何意义，以方为一条对角线，近।为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边5亍2

所表示的向量OZ?就与复数Z・Z］的差(6Z-C)+(〃・d)i对应，如图.

在这个平行四边形中与Z-Zi差对应的向量是只有向量方2吗？

还有Z］Z.因为OZ24ZZ，所以向量4Z,也与zz差对应.向量Z1Z是以Z1为起点，z

为终点的向量.

概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差Z-Z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

例2、根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式.

解：设复平面内的任意两点z“Z?分别表示复数Zi,Z2,那么Z2即复数ZLZi的模.如果用d表示点

Z),Z2之间的距离，那么d=|z「Zi|.

练习1：在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.

(1)lz-l-il=lz+2+il；(2)lz+il+lz-il=4；(3)lz+2l-lz-2l=l.

思考:对于实数a,b有labl=lallbl,对于向量则初西•茗IWI西II区I,对于复数lz㈤与口1。1有什

么关系，证明你的结论

三、小结：复数的几何一样，尤其减法的几何