高考高中数学：必考核心考点总结详解

高中数学：必考核心考点总结详解

一、三角函数部分

1、同角三角函数的基本关系：siYa+cos2a=1、把上=tana、tanacota=l

cosa

2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(a±/7)=sinacos/7±cosasin/7

cos(a±/?)=cosacos+sinctsinp

(,tana±tan

tana±/?)=---------------

1qptanatan

3、降幕公式：

sinxcosx=;sin2K；sin2x-^-(l-cos2x)；cos2x=^(1+cos2x)

4、4$m0.七+6008加工5/^~7~^\111(3：+0)(辅助角/由(。,6)所在象限决定，tan。=g)

5、二倍角的正弦、余弦、正切公式：

siii2a2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-11l-2sin“a

c2tana

tan2a=-------

1-tana

6、正弦定理：-^—=^—=-^—=2R(火是△48c外接圆的半径)

sin/smgsinC

7,余弦定理：

a1-bz+cz-26ccosA;b2=a2+c:-2accosB;c2=b2+a2-2bacosC.

8、三角形面积公式：

①S=

(2)S=gbcsin/=^acsinB=gabsinC

③s=%(R为△襁(2外接圆半径)

47?

④S=；(o+b+c)r(r为△ASC内切圆半径)

⑤海伦公式：S=ylp(p-a')(p-b)(p-c)(其中p=g(a+，+c))

⑥坐标表示：/月=($*),AC=(x2,y2),则$=3囚为%|

9、常用名称和术语：坡角、仰角、俯角、方位角、方向角

二、数列部分

用("=1)

10、。”与S"的关系：%=，

S“—S,i(”22)

11、等差数列:

①定义：an-an_x=d在2)或4“-4=dOeNQ

②等差数列的通项公式及其变形：

+(〃_1)<7=加+%(neN+)；an=am+(n-m)d(m、neN.)

d-———(n^m,m、neN.)

n-m

③等差数列的前九项和S〃：

n（a+a„）~n（n-l）,

Si=2=%7中；S”=啊+'d

12、等比数列：

①定义：~^~=q（q*0,WGN,,〃22）或&^=4（#0,力eN.）

an-\an

②等比数列的通项公式及其变形：

勺=4"=［亍,（叱°，〃"+）

4=%(?""(qx°,"‘，〃cN+)

(9=°,相，«€Nt)

SE=S”+SH=S“+SH

%（夕=1）

③等比数列的前，项和S”：<=4（l-/）_q_/g~

、17=If

13、求数列的通项公式的方法

①公式法：

若数列｛4｝是等差数列：找.和d,再利用公式4=4+5-1）"（«eN+）；

若数列｛3｝是等差数列：找4和以再利用公式q=q小（〃cNQ.

工（〃=1）

②知S,求％法：利用%=°<\”\；

③叠加法：形如：%=%T+/(")(蚱N,,〃》2)或%+i=%+g(〃)(weN,)；

④构造法：形如：％=左4T+6（k、b均为常数，且上wl,b^O,〃cN.,n>2）；

构造一：设（4+2）=W/-i+2）n{4+可是等比数列

构造二：由4=%1T+6n4+1=垢“+6,相减整理：左n式

an~4-1

等比数列

⑤广义叠加法：形如：4=%T+/（〃）（左为常数，且左Hl,〃GN,，珍2）或

4+i=®+g（M）（左为常数，且化h1，«eN+）

构造一：4=牝-+/（的=>*=第+等，令转化成年=%+g（〃）

KKK八,

再叠加；

构造二：%=3+g⑺n鬻=小+整?，令时尸普,转化成加1=4+〃⑺

再叠加；

®叠乘法：形如:3-=/（"）（〃eN,,*2）或“叱=8（“）OeN,）；

4Tan

⑦对数变换法：形如：％=她/">°，4>°，〃GM，吟2）或%“=她上（6>0,

4>0,〃eN+，）；

构造一：。”=ba.=>lga“=Alga-十1g6，令6M=1g/,化成bn=kbn_x+加再用构

造法即可

构造一：%+i=加广=Iga.1=-ga“+lg6,令6”+i=lg%+i，化成4+1=瓦>“+心再用

构造法即可

注意：底数不一定要取10,可根据题意选择

⑧倒数变换法：形如：（左为常数且左NO，«eN+,”22）或

man

一％=纳（々为常数且左看。，«eN）eg；<2=---~（k,m,b均为不

+n+]<7（2^十K

为零常数，«cN+）

11,[i1

构造一：4一。”一1==二■■一~=~kn{-}是等差数列；

an%J

构造二：4“一区=%+14=>7一一；=—=]（是等差数列

ma1k\b,1

构造三：氏+产n嬴令％=工？化成时|=9"+夕再用

构造法.

⑨递推公式：形如：4m%（左，b均为不为零常数，〃。+）

.、/、p+q-t

法一（待定系数法）%+2=k4+1+bann(4+2-qa“+J=p(a-qa)<

n+1n[-pq=b

=｛%+「幽,｝是等比数列，进而化归为。”+1=«0+8（〃）形式再用广义叠加法即可.

法二（特征根法〉an+2=kan+1+ban,%=a,。=若％,W是特征方程

x2-kx-b=0的两个根，当菁工电时，％=出一+叱t（月，8由3=。，%=尸，

"=L2决定）；

当芭=/时，an-[A+Bn）x^'（A,8由％=/，4=夕，〃=L2决定）.

说明：若数列｛（｝是斐波那契数列：满足4=a,T+a“-2（«€N+,啰3）

pa+qk

®不动点法:形如：-=嬴/（-6，夕，4均为常数，且武工效，必。，“一丁

/2GN+)

构造：“e二符号n特征方程'=当特征方程有且仅有一根％时’则

・二一,是等差数列；当特征方程有两个不同的实根看,9时，贝J%』，是等

MFUrJ

比数列.

14、求数列的前〃项和公式S"的方法:主要看通项的形式，选择不同的方法.

①公式法：

%=加+6=>先猜后证｛叫是等差数列=>5„=也善）或1=的+纥114；

««,(?=1)

4二树1n先猜后证｛4｝是等比数列=>凡=q（l-

-4—

1一夕

②倒序相加法：如：等差数列前”项和s.=〃（'4+""）由此法得到.

2

③裂项相消法：形如：」一（｛4｝是公差为d的等差数列，HGNJ常见的拆项

如下:

1_1<1____]_]1_11

^^一£〔工-嬴/”(“+i)”“+i

1=i(1______L_1

(2n-l)(2n+l)-2<2n-l2n+l)

-J—(攵为常数，且上工0);

力(力+左)k\nn-v\)

©错位相减法：形如：｛《©｝或体(｛4｝是等差数列，也｝是等比数列)

IAJ

四步：乘以公比、错位相减、等比求和、化简.

⑤十秒错位相减法：

kb—y4

n｝n

形如：an=(kn+b)q-,Sn=(An+B)q-B(其中/=工，B=—y)

©九秒错位相减法：

形如：an=(kn+b](f,Sn=工+----J/----，一,卜城q

1q-\(?-i)J["1(g-1))

⑦分组求和法：形如通项(=等差土等比土常见数列，分类求和再相加减.

⑧奇偶求和法：针对奇、偶数项，要考虑符号的数列求其，就必须分奇偶来讨论，最

后进行综合

⑨分类讨论法：针对数列｛4｝的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和

的问题，主要是分段求.如：求数列｛⑸|｝的前附项和.

⑩数学归纳法：针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全

归纳法猜出S.的表达式，然后用数学归纳法证明之.

三、立体几何部分

15、三视图：将三视图还原实物图：（三步法）

看视图，明关系一分部分，想整体-综合起来，定整体.

16、六大必考定理：（码条件）

①线面平行

符号：

条件：qua,b（za,b//a

结果：b//ct

②线面垂直：

条件：aua、bua,a^]b=P,ILa,lib

结果：Zia

③面面平行：

符号：

条件：ac/?,bu0,aD6=P,a//a,b//a

结果：oc//p

④面面垂直

条件：ILa,lc/3

结果：oclp

⑤线面平行=>线线平行

符号：

条件：a//a,au/3,afl/?=b

结果：b//a

⑥面面垂直=>线面垂直

符号：

条件：al/?,Zc/?,aC\^=a,ILa

结果：IVa

17、空间向量与立体几何（理科）

（1）空间向量

①空间两点间的距离：设点力（大，乂,zj,B（x2,y2,z2）,

贝1|^|=J（马一西）2+（%-Y）2+（22—4）2

②空间向量直角坐标运算：设£=（苞，乂，4）,5=（々,%/2）则：

a+b=（x}+x2,y,+y2,zI+z2）；a-Z>=（x]-x2,y,-z2）；

Xa=（疝],丸必，丸4）（丸wR）；a-b-XyX2+y}y2z}z2*

③空间向量的坐标表示：设N=（和虐用），3=（毛,%,Z2）,

则：BA=OA-OB=（x}-x2,yi-y2,z}-z2）

④空间的线线平行、垂直、夹角公式：设2=（4阵zj,3=（%/，%），贝U：

Xj=AX2

a//boa=兀b（6W6）J=；

Zi=乜

a-Lbab=Q\x2+>[必+ZR=0；

夹角公式：8S«&=7T丰普等一（飙闫。㈤）

&+y：+z：W+y；+z；'/L」

推论：（演E+PM+z/JW（J+y：+zj（¥+y；+z；）（三维柯西不等式）

异面直线所成的角6：6>e（0°590°]

卜产2+必先+2/2|

cos9=cosb,B&+i+z；（其中。为异面直线。，b所

成的角.%，3分别为异面直线。，方的方向向量）;

直线4B与平面a所成的角6：6>e[00,90°]

UB-W\AB­/w

sin9=]1__,0=arcsin------（前为平面a的法向量，方为直线,45的方

.加卜阿.阿

向向量）;

二面角a-/一月的平面角6：6>G[0°,180°]

八m*n八m-nm-n

cos0=]—TiTT1,9=arccos,成re-arccospjpj（”为平面a、尸的法向量）

RHHHm\\n\

⑤利用法向量求空间距离：

,1

点。到直线/的距离：d=~（点若。为直线/外的一点，刀在直线

a

/上，万为直线/的方向向量，h-PQ^则点Q到直线/距离为）

点/到平面a的距离：若点/为平面々外一点，点/为平面a内任一点，平面a的法

向量为小则。到平面a的距离就等于砺在法向量元方向上的投影的绝对值.

n-MP\n-MP

即d枷|

异面直线间的距离：设向量分与两异面直线。，b都垂直，M&a,Peb则两异面直

线a,3间的距离d就是宓在向量[方向上投影的绝对值.

]^-MP

即d=

n

四、概率与统计部分

18、数字特征：

-1

平均数：样本数据的算术平均数，即x=-（须+电+/+…+4）；

n

_2_2_2"|

样本方差：52=-11一%）+（工2-%）+…+（/一x）I;

19、线性回归方程：y=bx+a（最小二乘法）

，n___

^x^-nxy

b=—____________

Vv2-n；2注意：线性回归直线经过定点（%,少）

乙/〃兀

1=1

a=y-bx

20、独立性检验：K2=——1_其中〃=a+b+c+d为样本容

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

量，K?的值越大，说明“x与y有关系”成立的可能性越大.

21、概率部分

(1)随机事件/的概率：P(/)=—(O<P(>1)<1)

n

(2)互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)

（3）对立事件：。（⑷+。（%）=1

m

（4）古典概型：事件,4发生的概率。（月）=一

n

d的测度

（5）几何概型:「（月）=其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面

D的测度’

积、体积等.

（6）离散型随机变量的分布列：离散型随机变量X可能取的不同值为王，…，七，

(7)两点分布：X~(O,1),E(X)=p,D(X)=p(\-p)

⑻二项分布：X-B(n,p),E(X)=np,。(丫)=呐(1-p)

(9)超几何分布：X~H{k,M,N),典星)=玲仪幻=吟(1《)俱与

(10)条件概率：公式：P(8|/)=今黑，2(力)>0.

(11)事件的独立性：P(AB)=P(A)-P(B).

(12)独立重复试验的概率公式：

如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在"次独立重复试验中这个试验恰好发

生上次的概率：与(左一0)""(左=0,1,2,…〃)

(13)取有限值的离散型随机变量的数学期望、方差：

2

E(X)"Pi+*2P2+…+…+玉2;D(X)=£(七-E(X))Pl

1=1

E(aX+b)=aE[X)+b；D(aX+6)=a2D(X)

五、圆锥曲线部分

22、超级韦达定理:

庐=1,消了得(//2+6282*+(为2/。卜+/(02_6252)=0

Ax+By-\-C-0

A=4a2b2B2(a2A2+b2B2-C2)>0^>a2A2+b2B2-C2>0

2a2AC

a2(C2-b2B2}

2ab•"+¥•+/戌-c?

23、弦长硬算公式：弦长|9|

24、弦长公式:

2

①|AB|=>/l+Xr|xj-x2|=Jl+%2J(X[+x2-4XJX2

必_闵=Jl+±J(M+%)2-4%%=>表音

25、点差法：将将月（士,乂），6（受,8）代入椭圆方程中做差：（M（Xo，%）是相交弦

4-2222

大-XK

2+-J/2o

中点）,2

ABa

+

弁一义一（必一%）（乂+必）一左.为=_包

C-a<xQ<a')

V-X；（玉一工2）（玉+%2）月BxQa

22

26、若为（%,%）在椭圆「+斗=1上，则过片的椭圆的切线方程是岑+浮=L

a2b2a甘

r2V2

27、若打（X。,梵）在椭圆）+-=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为Pi、P2,

ab

则切点弦P1P2的直线方程是笄+誓=1-

ab

28、若PQ是椭圆W+4=l（a>b>0）上对中心张直角的弦，贝I」

a2h2

3+3=4+』(”的弓=匹).

r】r,ab

22

29、若椭圆A+A=l(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为小+为，=1

ab

(力Bw0)，则⑴^+^L=A2+B2；(2)L=;

ab2a2A2+bzB2

22222

30、给定椭圆C\：从』+a2y2=。2从(a>b>0),C2：bx+ay=(—；-^raZ>)

a+b

对G上任意给定的点P0(x0,y0)，它的任一直角弦必须经过a上一定

a2-b2a2-b2、

x0./+产》

a2+b2

22

31、椭圆2+4=1(a>b>0)的焦半径公式：lA/^Ua+KJjV/Ua-eXo

ab

32、已知椭圆二+4=1(a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且

ab2

。八0。・①春+苏=》+看②IOPMOQ.的最大值为舞;③

2i2

SbOPQ的最小值是二一.

a+b

22

33、设P点是椭圆二+与=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fi、F2为其焦点

a2b2

记4"=8，则①IPF^PF21=卢F②S&PRF,=/tan《.

1+COS，2

22

34、设A、B是椭圆0+1=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

a1b2

ZPAB=a,NPA4=Q,N3尸/=7,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有①

1z

,„2a621cosa|/,2„20b

^4|=-;------■•②tanatan/=l-e.③S=———-cot/.

a-c2cosy△皿b-a

过平面上的。点作直线4：y=2x及4：y=-2x的平行线，分别交X轴于加;N,

35、

aa

交轴于凡。.①若+QN/=/,则尸的轨迹方程是

1v2

\+4=1(0>0力>0).②若|OQ|2+|OH|2=〃，则p的轨迹方程是

a2b“

%+}=l(a>0,6>0).

36、若外(x0,%)在双曲线1—4=1(a>0,b>0)上，则过外的双曲线的切线方程

a：b2

是学—等=1.

cCt)

22

37、若月(4,九)在双曲x线=-v匕=1(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切

(2b

线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线方程是学一袈=1.

ab

22

38、若PQ是双曲线工■一2T=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则

尹｝吟木科的N砌.

尤2v2

39、双曲线J-2T=1(a>0,b>o)的焦半径公式：(月(一c,0),鸟(c,0)

arb

当A/(x(),%)在右支上时，\=ex0+a,\MF2\=ex0-a.

当u(力,北)在左支上时，|上阴|=-ex0+a,\MF2|=-ex0-a.

22

40、已知双曲线匚一与=1(b>a>0),0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，

a"b

且0”。.①册+册=*-奈②IOPEOQ■的最小值为片;

2»2

③见的的最小值是小—.

b-a

六、导数部分

41、函数在某点处的导数：lim以马士竺匕®=7'(/)

42、导函数的定义：,(x)=lim小+"KM=生；

7Ax-oAxdx

43、导数的几何意义：%=/'(不)，尸(飞,%)为切点

44、常见初等函数的导数公式

C'=O(。为常数)(/)'=局-1

(sinx)=cosx(cosx)=—sin.r

(优)=a*lna(。>0且。1)(e、)'=e

(logM=---(]>0且或1)(InxV=—

xlnax

45、导数的运算法则：设/(%),g(x)是可导的则

(/(x)±g(x)y=//(x)±gz(x)：(/(x)-g(x))=r(x)g(x)+/(x)g,(x)

7、(x)]1U(x)g(x)-f(x)g'(x)(g(x)»

_s(x)\g2(x)'

q(x)J=cr(x)(。为常数)

46、复合函数求导的链式法则：设y=/(〃),"=g(x),则y=/(g(x))

X=y'u•〃'=7'(〃)・g'(x)=/'(g(x))，g'(x)；

47、导数单调性的判断：

①如果在(。,6)内，/z(x)>0,那么/(x)在此区间是增函数；

②如果在(。乃)内，r(*)<o,那么〃x)在此区间是减函数；

③如果在(。,6)内，r(x)=0,那么〃X)在此区间是常数函数.

48、求单调区间的一般步骤：

①求〃x)的定义域；②求/'(X)；③画出了'(x)的示意图；④作答.

49、求可导函数y=/(x)极值的步骤:

⑤列表；⑥作答.

50、求函数》=/(可在［4可上的最大值与最小值的步骤：

①求函数J，=/(x)在(。㈤内的单调性；

②求函数y=/(x)在(兄6)内的极值；

③比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值〃。)，〃6),其中最大的一个是

最大值，最小的一个是最小值.

51、零点定理：

①零点存在性定理：若y=/(x)在区间［46］上连续不断，则

y=/(x)在(白㈤内有零点.

②零点唯一性定理：若y=/(x)在区间上连续不断且单调，

则丁=〃切在(°㈤内有唯一零点.

③等价关系：函数y=〃x)的零点o方程7(x)=o的根o与x轴有交点

的横坐标.

52、利用导数解决恒成问题：

①“任意2(<)任意”型

VxeZ),(r为常数)恒成立O1nNf；

VXGZ),a为常数)恒成立O；

VX2€D2,〃玉)2g(毛)恒成立O/(MmmNgGk；

AGD,,Vx2€D2,/(七)Wg(i)恒成立O/(X)MVg(x)m1n.

②“存在2(<)存在”型.

3XGZ),a为常数)能成立o/aL型；

BxeD,f(x)<t"为常数)能成立O;

叫eR,玉2€2，〃占)*(%)能成立O/(X)E3(x)mm；

加吟,3x2eD2,/(网)4g(电)能成立o/(x)m1114g(x)皿.

③“任意》(<)存在”型.

Vx,w〃，加2,〃玉丝妙切成立^^/⑺皿么⑺…

叫e2，/(不)《8(毛)成立0/(》)由=0小

HX1cA，VX2€D2,/(%)2g(芍)成立O/(乂心"⑺皿⑼；

叫eR,Vx2€D2,/(%)8(/)成立o11Vg(x)m.

④“存在=存在”型与“任意=存在”型

叫eR,玉M2，〃%)=g(毛)能成立o〃x)与g(x)的值域有公共部分;

VX,€D,,3X2GD2,/(为)=g(毛)能成立o〃x)的值域是g(x)的值域的子集.

53、利用导数证明不等式:

①函数不等式：

函数类不等式：欲证〃x)>g(x),构造尸(M=〃x)-g(x),只需要证明/(x)>0

即可；

②数列不等式：根据所证不等式的特征，建立函数不等式，对自变量适当赋值，放

缩.

54、必须烂熟在心里的不等式：当x>0时，e>x+l>x>x-l>lnx>l--

x

55、泰勒公式：

23n

X1xXX

C=1+Xd------1--------F…H--------1■…

2!3!fi

一

e=1-xd------------1--••+(-1)"—+.•.

2!3!''«!

352/2+1

.XX/1”X

sinx=x-----+—+・・・+(-I-----------F•••

3!5!(2/7+1)!

-X2X4/X2n

COSX=1-----+—+…+(-1-------H----

214!V7(2«)!

1

l-x+x2-^+…+(-1)2+•■•

1+x

—-1+x+x2+X?+…+x”+…

1-X

234n

XXXX

l[n/(Il+<x\)=x——+------+•••,+/(-i].)-----F•••

/\X2X3X4

In1-x=-x-------------------

234n

56、洛必达法则：若函数/(x)和g(x)满足下列条件:

limf(x)=0乃lim父(x)=0.

理/(x)=8及蚓g(x)=°°；

那么要^=/.

zg(x)…g(x)

000

洛必达法则可处理7；,—,0.CO,r,00。，0°,8-8型.

08

备注：若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

57、拉格朗日中值定理：

若函数〃x)满足如下条件：/(x)在闭区间口回上连续；/(x)在开区间(。,6)内

可导，则在(。,6)内至少存在一点使得可⑶=八?一八？

七、选考部分

58、坐标系与极坐标：

（1）点.”的极坐标：极径、极角、点W的极坐标记为M3。），也可写成A/仙。+加）

（左GZ）.

222

（2）极坐标和直角坐标的互化：x=pcos,0,y=p3ind,p=x+y,tan8=9xw0）.

59、极坐标系下的两点间的距离公式：=+耳一2©/92cos（6»-4），

p\Pi,a），i=1,2

60、圆锥曲线极坐标方程统一形式：p=-空~其中。为焦点到准线的距离；

1±ecos。

参数方程:

（1）直线的参数方程：经过点优,打），倾斜角为a的直线的参数方程为

x=xQ+tcosa

y=yQ+/sina

x=tj+rcos^

（2）圆的参数方程：圆心为（。力），半径为「的圆的参数方程为■/.„；

'7[y=b+rsin&

x2v2\x=acos3

（3）椭圆的参数方程：椭圆\+2=1的参数方程为；

a2b2[y=bsin6

62、直线的参数方程意义：经过点44,（飞,肾），倾斜角为"的直线的参数方程为

x=xQ+tcosa

y-yQ+£sina

①设点W的参数为f,则|/|=〃小7；

②设点河2对应的参数分别为4，%,则线段的中点f对应的参数

，=专，线段WGAAI长度为，-力；

63、不等式的性质：

①对称性：a>b<^>b<a-

②传递性：a>b,b>c=>a>c.

③加法法则：a>b<=^>a-vob+c；a>byc>d=a+c>b+d.

④减法法贝U：a>b,c<d^>a-c>b-d；

⑤乘法法则：

a>b,c>0=>ac>be\

a>b,c<0=>ac<be；

a>6>0,c>d>0=>aobd.

⑥除法法贝U：a>b>0,0<c<d=>->4

ca

⑦倒数法则：a>b,ab>Q=>-<^-；

ab

⑧乘方法则：a>b>0=>d'>bn（〃GN+，且〃》2）

⑨开方法则：a>b>0=>4a>^b（«eN+,且吟2）

64、含有绝对值的不等式:当a>0时，有

国<aox2<a2o-a<x<a-

国>aox2>a2x>a^x<-a

65、绝对值三角不等式性质：同-妆区,±4<同+四

66、柯西不等式：

①设%b,c,d均为实数,贝11（片+的（/+切43+刎2,当且仅当次/=*

时等号成立.

②设4,%，…，4和4，b2,4,…，々均为实数，

则（d+片+d+…+。；）（6+方；+Y+…+6：）2（44+Q?+%&+…+。也

当且仅当a=0（z=1,2>3,…）或存在一个实数左，使得4=屹（/=1.

2,3,…，力）时，等号成立.

八、选填小题部分

67、摩根定理：①(jN)n(jB)=J(/U8)；②(jz)u(j8)=JjnB)

68、注意区分集合中元素的含义：【数集一般都要进一步化简】

①数集：

.=｛x|F(x)=O｝方程的解集

8=｛x|y=/(x)｝函数y=〃x)的定义域

。=卜|〃》)>0｝或｛.“(》)<0｝不等式的解集

D=Wy=f(x)}函数歹=/(x)的值域

②点集：

4={(x,y)|F(x,y)=0}曲线；8={(x,y)忸(x,y)>0}区域

C={(x,yW(x,y)<。}区域；。=卜卜=(/(7)应(。»,令a=(x,y),

(苍吟；„'=｛(内)忸(％刃=可

则£»=.

69、ab=0u»a=0或6=0；。方=0。白工0或6/0；

70、合二为一的几种类型：

b

f+“2=-kC

①‘0不，电是方程Y+-X+上=0的两根;

caa

x1•x=-

2a

ax,+方匹+c=0

②n$,W是方程R2+6x+c=0的两根;

ax2+刎+c=0

n〃x)=Ax有两个不等实根，"n

f(n)=lcn

、,,

③Q\ax.++aby；.++c。==Q0=经过收,升'％)，。(生幻两点的直线方程为汆+“+。=°

_[f(x\x>0|x|“ff(x]x>0

④奇函数：J'=〃"x<O=T"闻；偶函数：y\f(x)x<0=*忖)

—J1一XJ—XJX<u

aa>bba>b

⑤^二二max{a,6}；y=<=min{a,6}

ba<baa<b

71、三次函数〃x)=/+6/+cx+d(a>0)的解析式:

①若己知/(x)=0的三个根为不，巧，三，则可设=

②若已知/(x)=0的两个根为%,%则可设〃x)=a(x-%)(x-xj(x+m)

③若己知/(x)=0的一个根为项，则可设〃x)=a(x-匹)(/+皿+〃)

72、三次函数+加:?+cx+d(aw0)有极值的充要条件是

/'(x)=3av2+26x+c=0有两个不相等的实数根

73、基本(均值)不等式：一正二定三相等，积定和最小，和定积最大

利用胃2痣或丝—2师(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，

一定要看等号能否成立，否则利用数形结合法、单调性法完成：

74、集中分时函数求最值的方法：

-rnx+n।

①y=((令，=-倒数换元法)

(ar+b)ax+b

(2)y=(令f=yjmx+n)

，a慰x+：b"

gax2+bx+cmx+n，&.、

③y=---------或》=-----；----(令+

mx+nax+bx+c

75、图像变换：

(1)平移变换：设函数y=f(x)，其他参数均为正数

①〃X)T/(X+。)：/(x)的图象向左平移。个单位

②。)：/(X)的图象向右平移a个单位

③〃x)f/(x)+6：〃X)的图象向上平移b个单位

④-6：〃x)的图象向下平移b个单位

(2)伸缩变换：设函数y=/(x),其他参数均为正数

①/(x)f/(H)：/(x)的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍(*>1,伸

缩;0<上<1,拉伸)

②/(x)->"(M：/(X)的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的左倍(上>1,拉伸；

0<A-<l,收缩)

(3)翻折变换：

①〃x)f|/(x)|：x轴上方的图象不变，下方的图象沿x轴对称的翻上去

②X