高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)1.1集合的概念与表示(原卷版+解析)

1.1集合的概念与表示TOC\o"1-4"\h\z\u1.1集合的概念与表示 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1元素与集合的概念 2知识点2常用数集及表示符号 3知识点3元素与集合 5知识点4集合的表示方法 6知识点5集合的分类 8二、典型题型 8题型1元素与集合的关系 10题型2集合中元素的特性及应用 11三、难点题型 12题型1集合表示法的综合应用 13题型2集合相等 14四、活学活用培优训练 22一．基础知识点知识点1元素与集合的概念：(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．例1考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2021年10月1日，参加一带一路的国家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④例2下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．例3判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2020年在校的所有高个子同学；(4)eq\r(3)的近似值的全体．知识点2常用数集及表示符号：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR例1给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（多选题）下列关系式表示错误的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④例3给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的序号是______.知识点3元素与集合：1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，记作a∉A或aeq\x\to(∈)A，读作“a不属于A”．例1下列所给关系正确的个数是()①π∈R②eq\r(3)∈R③eq\r(6)∉Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2B．3C．4 D．5例2已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A.则a的值为________．例3集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素个数为________．知识点4集合的表示方法：表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，an，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合例1用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.(2)小于8的质数组成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C.例2用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.例3用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．知识点5集合的分类：(1)集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅(2)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．例1下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．，B．，C．，D．，例2（多选题）下列说法正确的是（

）A．很小的实数可以构成集合B．集合{x|y=x2-1}与集合是同一个集合C．由这些数组成的集合有4个元素D．集合是指第二或第四象限内的点集例3已知集合，若，求的值．二．典型题型题型1元素与集合的关系解题技巧：判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．例1已知集合，则（

）A．B．C．D．例2（多选题）下列关系中，正确的是（

）A．B．C．D．例3已知集合，.(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；题型2集合中元素的特性及应用解题技巧：由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤例1若，则的值为（

）A． B． C．或 D．例2（多选题）下列四个命题：其中不正确的命题为（

）A．是空集 B．若，则；C．集合有一个元素 D．集合是有限集.例3若，则中的元素应满足什么条件？三．难点题型题型1集合表示法的综合应用解题技巧：集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键例1集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．题型2集合相等解题技巧：已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．例1若，则的值为（

）A．0B．1C．D．例2（多选题）下列各组集合中M与N表示同一集合的是（

）A．与B．与C．与D．与例3已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.四．活学活用培优训练一、单选题1．当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤2．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（

）①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④3．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，154．已知集合，且，则（

）A． B．C． D．不属于中的任意一个二、多选题5．群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（

）A．关于数的乘法构成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群D．关于数的加法构成群6．设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合的聚点，则下列集合中，1为该集合的聚点的有（

）A． B．C． D．整数集Z三、填空题7．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．8．已知集合，则______.四、解答题9．已知集合.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；10．已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．(1)当；(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；(3)当M是两个元素的集合.11．设集合．(1)若、，证明：．(2)如果集合整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．12．已知集合，且．（1）判断是否为中元素（2）设，求证：（3）证明：若，则是偶数；1.1集合的概念与表示TOC\o"1-4"\h\z\u1.1集合的概念与表示 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1元素与集合的概念 2知识点2常用数集及表示符号 3知识点3元素与集合 5知识点4集合的表示方法 6知识点5集合的分类 8二、典型题型 8题型1元素与集合的关系 10题型2集合中元素的特性及应用 11三、难点题型 12题型1集合表示法的综合应用 13题型2集合相等 14四、活学活用培优训练 22一．基础知识点知识点1元素与集合的概念：(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．例1考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2021年10月1日，参加一带一路的国家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④例2下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．例3判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2020年在校的所有高个子同学；(4)eq\r(3)的近似值的全体．答案：例1B例2②[例1①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.例2①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．例3(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．]知识点2常用数集及表示符号：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR例1给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（多选题）下列关系式表示错误的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④例3给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的序号是______.答案：例1B【解析】【分析】根据数集的定义，即可得答案；【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.所以正确的个数为2.故选：B.例2．BCD【解析】【分析】根据给定条件利用各数集的定义并借助元素与集合的关系直接判断即可作答.【详解】对于①，是一个分数，分数是有理数，是有理数集，则，①正确，A正确；对于②，是一个无理数，而无理数是实数，是实数集，则，②错误，B错误；对于③，0是一个自然数，不是正整数，是正整数集，则，③错误，C错误；对于④，元素的属性不确定，而是整数集，则是错误的，④错误，D错误.故答案为：BCD例3．①③④【解析】【分析】根据数的分类直接判断.【详解】由题可得，，，，故①③④正确.故答案为：①③④.知识点3元素与集合：1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，记作a∉A或aeq\x\to(∈)A，读作“a不属于A”．例1下列所给关系正确的个数是()①π∈R②eq\r(3)∈R③eq\r(6)∉Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2B．3C．4 D．5例2已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A.则a的值为________．例3集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素个数为________．答案：例1C例22或4例33[例1①π是无理数∴π∈R故①正确，eq\r(3)是无理数∴eq\r(3)∈R，②正确.eq\r(6)是无理数∴eq\r(6)∉Q，④0是自然数是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z正确．例2集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6－a∈A.a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.综上所述，a＝2或4.例3∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6.即x＝2或1或0或－3.又x∈N.故x＝0或1或2.即集合A中的元素个数为3.]知识点4集合的表示方法：表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，an，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合例1用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.(2)小于8的质数组成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C.答案：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的实根为2，－1，所以C＝{2，－1}．例2用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.答案：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝－2x＋5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．例3用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．答案：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．知识点5集合的分类：(1)集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅(2)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．例1下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】根据集合元素的性质可判断.【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确．故选：B．例2（多选题）下列说法正确的是（

）A．很小的实数可以构成集合B．集合{x|y=x2-1}与集合是同一个集合C．由这些数组成的集合有4个元素D．集合是指第二或第四象限内的点集【答案】CD【解析】【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而很小的数标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出x和y异号;【详解】A选项：很小的实数标准不确定，故不能构成集合；B选项：其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，故不是同一集合．C选项：因为，故这些数组成的集合有4个元素．D选项：因为xy<0，故点（x，y）是第二或第四象限内的点．综上，CD正确．故选：CD例3已知集合，若，求的值．【答案】-1.【解析】【分析】由集合相等，分析两集合中元素，列出方程组，解得后可求值．【详解】∵集合，∴解得，则．故答案为：－1．【点睛】本题考查集合的相等，解题时注意集合中元素的性质，特别是互异性．二．典型题型题型1元素与集合的关系解题技巧：判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．例1已知集合，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用元素与集合的关系判断即可.【详解】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.所以，，，故选：D例2（多选题）下列关系中，正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】【分析】根据元素与集合间的关系逐项判断即可.【详解】因为是整数集，故，所以A正确；因为是实数集，故，所以B错误；因为是有理数集，故，所以C错误；因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD.例3已知集合，.(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；【答案】(1)，，，；【解析】【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在使，属于集合A，B即可.（2）法一：由（1）结论，并判断是否有，即知A与B的关系；法二：={x|x是的整数倍}，={x|x是的奇数倍}，即知A与B的关系；(1)法一：令，得，故；令，得，故.同理，令，得，故；令，得，故.法二：由题意得：，又，故，；，.题型2集合中元素的特性及应用解题技巧：由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤例1若，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），此时，符合题意；综上所述：.故选：A.例2（多选题）下列四个命题：其中不正确的命题为（

）A．是空集 B．若，则；C．集合有一个元素 D．集合是有限集.【答案】ABD【解析】【分析】根据空集的定义可判断A；根据元素与集合的关系可判断B；解方程求出集合中的元素可判断C；为正整数的倒数时，都有可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：含有一个元素，所以不是空集，故选项A不正确；对于B：当时，，则，故选项B不正确；对于C：只有一个元素，故选项C正确；对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故选项D不正确；故选：ABD.例3若，则中的元素应满足什么条件？【答案】且且【解析】【分析】根据集合中元素的互异性即可求解.【详解】根据集合中元素的互异性可得：，解得且且，所以应满足且且.三．难点题型题型1集合表示法的综合应用解题技巧：集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键例1集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．例2已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．[解]集合A中有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<eq\f(9,4)且a≠0.题型1集合相等解题技巧：已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．例1若，则的值为（

）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意得出或，求解即可.【详解】因为，所以或，由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，综上，，则.故选：C.例2（多选题）下列各组集合中M与N表示同一集合的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】BCD【解析】【分析】根据集合相等的定义，结合函数定义域和值域的求解方法，即可对每个选项进行判断.【详解】对A：因为集合中的元素对应不同的两个点，故集合不相等；对B：因为，故集合；，其定义域为，即，故；对C：，解得或，又当时，不满足题意，舍去；即；，即，，解得，故，则；对D：集合均表示奇数构成的集合，故.故选：BCD.例3已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；（2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解.(1)解：若，则有，解得；(2)解：，因为，所以，解得.四．活学活用培优训练一、单选题1．当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】D【解析】【分析】直接根据数域的定义，采用赋值法依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于①，当且时，由数域定义知：，是任何数域的元素，①正确；对于②，当且时，由数域定义知：，，，，…，，②正确；对于③，当，时，，③错误；对于④，若，则，且当时，，则有理数集是一个数域，④正确；对于⑤，，若且，则，则这个数不为则必成对出现，数域的元素个数必为奇数，⑤正确.故选：D.2．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（

）①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】对于①：假设，令，由已知推出矛盾，可判断①；对于②：由题意知，，再得，，从而判断②；对于③：由，得，，结合性质可判断③；对于④：，由，，可判断④.【详解】解：对于①：假设，则令，则，，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对；对于②：由题意知，，则，，故②正确；对于③：，，故③正确；对于④：，若，则，故④错误，所以一定成立的是①②③，故选：C.3．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15【答案】B【解析】【分析】先去掉绝对值，转化为两个方程，针对方程根的情况进行讨论．【详解】解：关于x的方程等价于①，或者②．由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．，对于方程①，．方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6．而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3，在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9；当时，方程②无实根，故P中元素和为6；当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6，故P中元素的和为12.故选：B．4．已知集合，且，则（

）A． B．C． D．不属于中的任意一个【答案】B【解析】【分析】设出的值，相加再判断得解.【详解】.故选：B二、多选题5．群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（

）A．关于数的乘法构成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群D．关于数的加法构成群【答案】CD【解析】【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.【详解】对于A：若，对所有的a、，有，满足乘法结合律，即①成立，满足②的为1，但当时，不存在，使得，即③不成立，即选项A错误；对于B：因为，且，但，所以选项B错误；对于C：若，对所有的a、，有，满足加法结合律，即①成立，满足②的为0，，，使，即③成立；即选项C正确；对于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；当时，，满足的，即②成立；，，使，即③成立；即选项D正确.故选：CD.6．设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合的聚点，则下列集合中，1为该集合的聚点的有（

）A． B．C． D．整数集Z【答案】ABC【解析】【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断.【详解】解：对于A，因为集合中的元素是极限为的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以为集合的聚点，故正确；对于B，因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项与之间的距离均小于，所以对任意，都存在，使得的x，所以为集合的聚点，故正确；对于C，对