新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形第二讲三角函数的图象与性质-小题备考微专题2三角函数的性质

微专题2三角函数的性质常考常用结论1．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．2．三角函数的奇偶性与对称性y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．3．三角函数的周期(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个最小正周期．1.[2024·安徽马鞍山二模]函数f(x)＝2sin(x＋)在下列区间中单调递减的是()A．(0，)B．(，π)C．(π，)D．(，2π)2．(多选)下列命题正确的是()A．y＝3cosx－2的最小值为－5B．y＝|cosx|的最小正周期为2πC．y＝sin(2x＋)关于直线x＝对称D．y＝tan(x－)在区间(0，)单调递增3．已知曲线y＝－2cos(x＋φ)的一条对称轴是x＝，则φ的值可能为()A．B．C．D．2.(1)[2024·全国乙卷]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间()单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝()A．－B．－C．D．(2)[2024·广东广州三模](多选)若函数f(x)＝sin4x＋cos4x，则()A．函数f(x)的一条对称轴为x＝B．函数f(x)的一个对称中心为(，0)C．函数f(x)的最小正周期为D．若函数g(x)＝8[f(x)－]，则g(x)的最大值为2技法领悟1．三角函数单调区间的求法(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．推断对称中心与对称轴的方法利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴确定经过图象的最高点或最低点，对称中心确定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行推断．[巩固训练2](1)[2024·安徽合肥一模]已知函数f(x)＝cos(x＋)cos(x＋)，则下列说法正确的是()A．点(－，0)是曲线y＝f(x)的对称中心B．点()是曲线y＝f(x)的对称中心C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴D．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴(2)[2024·湖南岳阳模拟]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)，若函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称，且关于直线x＝轴对称，则ω的最小值为________．微专题2三角函数的性质保分题1．解析：由2kπ＋<x＋<2kπ＋得2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z，f(x)的减区间是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z，只有选项B的区间(，π)⊆()．故选B.答案：B2．解析：当cosx＝－1时，y＝3cosx－2的最小值为－5，A正确；f(x)＝|cosx|，则f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|＝f(x)，即π为y＝|cosx|的周期，故y＝|cosx|的最小正周期不是2π，B错误；当x＝时，y＝sin(2×)＝1，所以y＝sin(2x＋)关于直线x＝对称，C正确；当x∈(0，)时，x－∈(－)，函数y＝tanx在(－)上单调递增，故y＝tan(x－)在区间(0，)单调递增，D正确．故选ACD.答案：ACD3．解析：由题意，－2cos(φ＋)＝±2，即cos(φ＋)＝±1，于是φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，经检验，只有当k＝1时即φ＝时符合．故选C.答案：C提分题[例2](1)解析：由题意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin＝sin，f＝sin(－×2＋)＝sin＝，故选D.(2)解析：由题意得，f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－＝cos4x＋.当x＝时，f(x)＝cos(4×)＋＝，又f(x)min＝，所以x＝是函数f(x)的一条对称轴，故A正确；由选项A分析可知f＝，所以点(，0)不是函数f(x)的对称点，故B错误；由T＝＝，知函数f(x)的最小正周期为，故C正确；g(x)＝8[f(x)－]＝2cos4x，所以g(x)max＝2，故D正确．故选ACD.答案：D答案：ACD[巩固训练2](1)解析：由题意得f(x)＝cos(x＋)cos(x＋)＝－sinx(cosx－sinx)＝(sin2x－sinxcosx)＝)＝－(sin2x＋cos2x)＋＝－sin(2x＋)＋，由2x＋＝kπ得x＝－，则f(x)的对称中心为()(k∈Z)，所以A，B错误．由2x＋＝＋kπ得x＝，则f(x)的对称轴方程为x＝(k