2024版新教材高中数学第六章计数原理6.2排列与组合同步练习7组合的应用新人教A版选择性必修第三册

同步练习7组合的应用必备学问基础练一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．在含有2件次品的30件产品中，任取3件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有()A．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,28)B．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,28)C．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,29)D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,28)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,28)2．从3名男生和2名女生中，任选两名同学参加学校座谈会，至少有一名是男生的选法共有()A．5种B．6种C．8种D．9种3．[2024·山东菏泽高二期末]有一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，不同的选法种数是()A．9B．24C．84D．2884．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者(甲单位6名、乙单位4名)中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为()A．156B．180C．194D．6725．[2024·黑龙江哈尔滨高二期末]今年“五一”期间人民群众出游热忱高涨，某地为保障景区的平安有序，现增派6名警力去A、B两个景区执勤．要求A景区至少增派3名警力，B景区至少增派2名警力，则不同的支配方法种数为()A．35B．60C．70D．1206．平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为()A．14B．48C．91D．4207.如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源．在古代传闻中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数，则选取的4个数之和为偶数的方法数为()A．60B．61C．65D．668．[2024·江西景德镇高二期中]在底面为平行四边形的四棱台ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取四点，则这四点不共面的取法有()A．62种B．64种C．60种D．58种二、多项选择题(每小题5分，共10分)9．[2024·广东广州高二期中]某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若随意选择三门课程，则选法种数为35B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为2010．[2024·山东济宁高二期中]在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中随意抽出3件，则下列结论正确的有()A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)种C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98)种三、填空题(每小题5分，共10分)11．[2024·安徽合肥高二期末]某电影院有4部科幻电影和2部喜剧电影即将上映，小明准备观看其中的3部，且至少观看1部喜剧电影，则不同的观看方案有________种．(用数字作答)12．[2024·河北石家庄高二期末]6名高校毕业生到绿水村、青山村、人和村担当村官，每名毕业生只去一个村，绿水村支配2名，青山村支配1名，人和村支配3名，则不同的支配方法共有________种．四、解答题(共20分)13．(10分)[2024·江苏泰州高二期中]从6名男生和5名女生中选出4人去参加某项大赛．(1)假如要求4人中男生和女生都要有，那么有多少种选法(用数字作答)?(2)假如男生甲和女生乙最多只能选1人，那么有多少种选法(用数字作答)?14．(10分)[2024·云南保山高二期中]一个口袋中有大小相同且编有不同的号码的8个白球和5个彩球．(1)若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种？(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法？关键实力综合练15．(5分)[2024·河北张家口高二期末]现有5名高校生准备到甲、乙、丙3所学校实习，每所学校至少有1名，每名高校生只能去一所学校，若到甲、乙两所学校实习的人数不相同，则不同的实习方案种数为()A．243B．200C．100D．50[答题区]题号1234567891015答案16.(15分)[2024·安徽池州高二期中]10级台阶，青蛙一步可跳一级，也可跳两级，也可跳三级．(1)当出现且只出现一步跳一级与一步跳两级两种跳步方法时，青蛙跳完台阶的方法数是多少？(2)当出现且只出现两种跳步方法时，青蛙6步就可跳完台阶的方法数是多少？同步练习7组合的应用1．解析：取一件次品有Ceq\o\al(1,2)种不同方法数，取2件正品有Ceq\o\al(2,28)种不同方法数，故恰好取到1件次品的不同方法数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,28).答案：B2．解析：依题意，若有一名男生，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6种选法；若有两名男生，则有Ceq\o\al(2,3)＝3种选法；综上可得一共有6＋3＝9种选法．答案：D3．解析：依据题意知，第1题的选法有Ceq\o\al(3,4)＝4种，第2题的选法有Ceq\o\al(2,3)＝3种，第3题的选法有Ceq\o\al(1,2)＝2种，则有4×3×2＝24(种)选法．答案：B4．解析：所选4名志愿者来自同一单位的共有Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,4)＝16种选法，则所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝210－16＝194.答案：C5．解析：由题意可知分两种状况：①A景区增派3名警力，B景区增派3名警力，则有Ceq\o\al(3,6)＝20种方法，②A景区增派4名警力，B景区增派2名警力，则有Ceq\o\al(4,6)＝15种方法，所以由分类加法计数原理可知共有20＋15＝35(种)方法．答案：A6．解析：因为平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,8)＝420.答案：D7．解析：由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.若选取的4个数的和为偶数，①4个数都为偶数，共有Ceq\o\al(4,4)＝1种方法，②2个奇数，2个偶数，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝60种方法，③4个数都为奇数，共有Ceq\o\al(4,5)＝5种方法，综上共有1＋60＋5＝66(种)方法．答案：D8．解析：由题意，从四棱台ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取四点，总状况为Ceq\o\al(4,8)＝70，若四点共面，分两类：四棱台ABCD­A1B1C1D1的表面，共6个；四棱台ABCD­A1B1C1D1的对角面，如ACC1A1，共6个；故四棱台ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取四点，则四点不共面的取法有70－(6＋6)＝58.答案：D9．解析：对于A，选法种数为Ceq\o\al(3,7)＝35，故A正确；对于B，若物理和化学选一门，其余两门从剩余的五门中选，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20种选法；若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)＝5种选法．故共有20＋5＝25种选法，故B错误；对于C，物理和历史同时选，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)＝5种选法，故不同时选的选法种数为35－5＝30，故C正确；对于D，只选物理，不选化学，则历史也不选，有Ceq\o\al(2,4)＝6种选法；只选化学，不选物理，有Ceq\o\al(2,5)＝10种选法；若物理、化学都选，则历史不选，有Ceq\o\al(1,4)＝4种选法．故共有6＋10＋4＝20(种)选法，故D正确．答案：ACD10．解析：依据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，则合格品的取法有Ceq\o\al(2,98)种，不合格品的取法有Ceq\o\al(1,2)种，则恰好有1件是不合格品的取法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种，则A正确；若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种状况，①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种取法，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)种取法，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)种，B正确；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有Ceq\o\al(3,100)种取法，其中全部为合格品的取法有Ceq\o\al(3,98)种，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98)种，D正确；若抽出的3件产品中至多有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有Ceq\o\al(3,100)种取法，其中有2件为不合格品的抽法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)种，则至多有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)种，C错误．答案：ABD11．解析：若小明观看1部喜剧电影和2部科幻电影，则观看方案有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种；若小明观看2部喜剧电影和1部科幻电影，则观看方案有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4种，故不同的观看方案有12＋4＝16(种).答案：1612．解析：先从6名高校毕业生选出2名支配到绿水村，有Ceq\o\al(2,6)种方法；再从剩余的4名高校毕业生选出1名支配到青山村，有Ceq\o\al(1,4)种方法；最终剩余的3名高校毕业生支配到人和村，有1种方法，依据分步乘法计数原理可知不同的支配方法共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＝60种．答案：6013．解析：(1)若只选男生，则有Ceq\o\al(4,6)＝15种选法；若只选女生，则有Ceq\o\al(4,5)＝5种选法．故假如要求4人中男生和女生都要有，那么有Ceq\o\al(4,11)－15－5＝310种选法．(2)若选了男生甲没选女生乙，则有Ceq\o\al(3,9)＝84种选法，若选了女生乙没选男生甲，则有Ceq\o\al(3,9)＝84种选法，若男生甲和女生乙都没选，则有Ceq\o\al(4,9)＝126种选法，故男生甲和女生乙最多只能选1人共有84＋84＋126＝294种选法．14．解析：(1)若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，故不同的取法有Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,5)＝28＋40＝68(种).(2)若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，故不同的取法有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,5)＝140＋80＝220(种).15．解析：依题意实习方案有两大类：①甲3人、乙1人、丙1人(或甲1人、乙3人、丙1人)和②甲1人、乙2人、丙2人(或甲2人、乙1人、丙2人)，若为①甲3人、乙1人、丙1人或甲1人、乙3人、丙1人，则有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)×2＝40(种)；若为②甲1人、乙2人、丙2人或甲2人、乙1人、丙2人，则有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)×2＝60(种)；综上可得一共有40＋60＝100(种