备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题39等差数列等比数列基本量

专题39等差数列、等比数列基本量【学问点总结】一、基本概念1、数列(1)定义.依据确定依次排列的一列数就叫做数列.(2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2、等差数列(1)定义.一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差数列的通项公式.若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().(3)等差中项.若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.3、等比数列(1)定义.一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比数列的通项公式.等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.(3).(4)等比中项假如成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前项和二、基本性质1、等差数列的性质(1)等差中项的推广.当时,则有,特殊地,当时,则有.(2)等差数列线性组合.①设是等差数列,则也是等差数列.②设是等差数列,则也是等差数列.(3)等差数列的单调性及前项和的最值.公差为递增等差数列,有最小值;公差为递减等差数列,有最大值;公差为常数列.特殊地若,则有最大值(全部正项或非负项之和);若,则有最小值(全部负项或非正项之和).(4)其他衍生等差数列.若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.2、等比数列的性质(1)等比中项的推广.若时,则,特殊地,当时,.(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.②设与为等比数列,则也为等比数列.(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比确定).当或时,为递增数列;当或时,为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).3、等差数列与等比数列的转化(1)若为正项等比数列,则为等差数列.(2)若为等差数列,则为等比数列.(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.【典型例题】例1．（2024·内蒙古包头·一模）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】设公差为，则有整理得，又由可得，所以解得，故选:B.例2．（2024·四川巴中·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．33 B．66 C．22 D．44【答案】A【解析】由题意知：，则，则.故选：A.例3．（2024·全国·高三专题练习）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为成等比数列，则，即，因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以．故选：A．例4．（2024·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公细致算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最终一天走的路程是（

）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里【答案】A【解析】设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，依据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得，故选：A.例5．（2024·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，，数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.故选：D例6．（2024·青海西宁·统考一模）已知等比数列的前n项和为，若，则（

）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】由题意得：，，，即，，，因为数列是等比数列，所以，即，解得：，故选：C.例7．（2024·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，的公比.故选：A.例8．（2024·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列中，，，成等差数列，则（

）A．或 B．4 C． D．【答案】A【解析】由题设，若等比数列的公比为，所以，而，则，解得或，所以，当时，当时.故选：A例9．（2024·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满意：，若存在两项使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设数列的公比为，由可得：，又，，由可得：，，解得：，，，，解得：，，（当且仅当，即时取等号），（当且仅当时取等号），即的最小值为.故选：A例10．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝________.【答案】3n2－2n.【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn.由已知可得，化简得，解得，所以Sn＝3n2－2n.故答案为：3n2－2n例11．（2024·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则______．【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，，所以，所以．故答案为：例12．（2024·陕西商洛·统考一模）公比的等比数列满意，，则__________．【答案】【解析】由等比数列性质知：，解得：或，又，，，.故答案为：.例13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．【答案】【解析】由题意令，即2不是数列与的公共项；令，即4是数列与的公共项；令，即8不是数列与的公共项；令，即16是数列与的公共项；依次类推，可得数列：，即是首项为4，公比为4的等比数列，故数列的前n项的和为，故答案为：例14．（2024春·上海·高三校联考阶段练习）记为等比数列的前项和，若则______．【答案】【解析】等比数列的前项和为，设其公比为，由得：，因此，于是，所以.故答案为：52例15．（2024春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列是等比数列，且，则__________．【答案】4【解析】依据等比数列的性质，有，则，解得，所以．故答案为：4．例16．（2024·全国·高三专题练习）求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.【解析】由知：，且数列为等差数列，所以，由得：，即，解得，所以的取值集合为.例17．（2024·全国·高三专题练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，.求和的通项公式.【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，或（舍去），故，，的通项公式为，的通项公式为.例18．（2024春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，(1)求的通项公式；(2)记，若数列的前项和.【解析】（1）由题知即解得，所以.（2）.【技能提升训练】一、单选题1．（2024春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）1682年，英国天文学家哈雷发觉一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相像.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回来.这就是闻名的哈雷彗星，它的回来周期大约是76年.请你预料它在本世纪回来的年份（

）A．2042 B．2062 C．2082 D．2092【答案】B【解析】由题意，可将哈雷彗星的回来时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，则等差数列的通项公式为，∴，.∴可预料哈雷彗星在本世纪回来的年份为2062年.故选：B.2．（2024·河北邯郸·统考一模）在等差数列中，“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当的公差时，由，得m是随意的正整数，由，得，则“”是“”的必要不充分条件．故选:A.3．（2024·陕西商洛·统考一模）已知等差数列满意，，则的公差为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】设的公差为d，因为，解得.故选:C.4．（2024春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过视察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变更规律所形成的学问体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变更如图所示，相邻两个节气晷长的变更量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（

）A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺【答案】C【解析】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变更量为，所以有，立春日晷长为，夏至的日晷长为，所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，故选：C5．（2024春·全国·高三校联考阶段练习）在等差数列中，若，，则（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【解析】因为是等差数列，设其公差为，所以，解得，所以.故选：B．6．（2024春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（

）A．84 B．144 C．288 D．110【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，则，即，整理可得，由数列各项不相等，解得，即，，故.故选：A.7．（2024·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）在递增等比数列中，，且是和的等差中项，则（

）A．256 B．512 C．1024 D．2048【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，因为是和的等差中项，所以，即．又因为，所以，解得或．又因为等比数列是递增数列，所以．又因为，所以．故选：B.8．（2024·河北石家庄·统考一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，，整理可得，解得，所以，，所以，.故选：B.9．（2024·江西赣州·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由成等差数列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.故选：C.10．（2024春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和，若，则（

）A．150 B．160 C．170 D．与和公差有关【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，所以，所以.故选：B11．（2024·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公细致算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（

）A．224里 B．214里 C．112里 D．107里【答案】A【解析】由题设，每天行程是公比为的等比数列，所以，可得，则第一天走的路程224里.故选：A12．（2024·浙江嘉兴·统考模拟预料）数列的前项和为，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，设数列的前项和为，即，当时，，当时，由得，两式相减得，也符合上式，所以，，所以数列是等比数列，首项为，公比为.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前项和为.故选：D13．（2024·河南·校联考模拟预料）已知等比数列的前n项和为，且，，则（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】因为，当时，，当时，，则，当时，，则，因为是等比数列，所以，则，所以，解得，则，则.故选：B.14．（2024春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（

）A．96 B． C．72 D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，因为，且由题可得，所以，因为，解得，所以，故．故选：B.15．（2024春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（

）A．81 B．63 C．41 D．32【答案】C【解析】因为，所以，故，设等差数列的公差为，则，所以，因为，，，，依次成等比数列，，所以，所以，所以，故选：C.16．（2024秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知等比数列的前三项和84，，则（

）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】设等比数列的公比为，等比数列的前三项和84，则当时，，不满意题意，当时，，，则，令，即，解得，则，则，故选：B.17．（2024·河南·校联考模拟预料）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（

）A．17 B．19 C．21 D．23【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，整理得①.又，即，所以②.由①②得，故.故选：A18．（2024春·青海西宁·高三统考开学考试）在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，由，得：，即，解得：.故选：B.二、多选题19．（2024·全国·模拟预料）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（

）A． B．当时，C． D．【答案】BC【解析】A选项：因为，所以，所以A不正确；B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；C选项：因为，所以，所以，所以C正确；D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D不正确．故选:BC.20．（2024秋·广东深圳·高三统考期末）等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是（

）A．是等比数列B．数列，，成等比数列C．若，则是递增数列D．若，则是递增数列【答案】AB【解析】由题意，，；对于A，，所以是首项为，公比为的等比数列，正确；对于B，因为，，，，,它们成等比数列，正确；对于C，若，，则，为递减数列，错误；对于D，，若，，则，，是递减数列，错误.故选：AB.21．（2024·全国·高三专题练习）若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】AD【解析】设等比数列的公比为，，则是以为公比的等比数列，A对；时，，则不是等比数列，B错；，时，，此时不是等比数列，C错；，所以，是公比为的等比数列，D对.故选：AD．22．（2024·全国·模拟预料）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．是数列中的项C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列【答案】ACD【解析】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，.对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；对于B选项，令，可得，B错；对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；对于D选项，，则，所以，，故数列为等差数列，D对.故选：ACD.23．（2024·全国·高三专题练习）记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（

）A．数列是等差数列 B．数列是递减数列C． D．当时，取得最大值【答案】ACD【解析】∵，∴数列是等差数列，故A正确；，∵，从而，可知数列不是递减数列，故B错误，C正确；∵，，∴当时，取得最大值，故D正确.故选：ACD.24．（2024·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满意，，则下面结论正确的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n项和为【答案】ABD【解析】由题意得，，即，解得，所以，故A、B正确；得，故，故C错误；所以数列的前n项和为，故D正确.故选：ABD.三、填空题25．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则________．【答案】【解析】，即，又由，即，所以等差数列的公差为，又由，解得，所以数列的通项公式为.故答案为：26．（2024秋·吉林辽源·高三校联考期末）在数列中，，，则______．【答案】2024【解析】因为，且，所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列.，则.故答案为：202427．（2024春·江苏扬州·高三统考开学考试）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S3=4，S6=12，则S9=______.【答案】28【解析】因为{an}为等比数列，所以数列,也为等比数列，所以有,得，所以，故答案为：2828．（2024秋·广东揭阳·高三统考期末）记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______.【答案】【解析】设等差数列的公差为d，则，，，所以.故答案为：.29．（2024春·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）设等比数列的公比，前项和为，则______.【答案】【解析】由等比数列求和公式以及通项公式可得.故答案为：.30．（2024春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列为等差数列．为等比数列，且成等差数列．则___________．【答案】【解析】设的公比为，则由成等差数列，可得，而为等差数列．则，所以，即，解得，故，故答案为：31．（2024春·江西·高三校联考开学考试）已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满意条件的的通项公式可以是_________（写出一个即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】令，则数列单调递增，且，，，，，，所以，，，，即，当时，即，所以，所以是中唯一的最小项，故符合题意.故答案为：（答案不唯一）32．（2024秋·内蒙古包头·高三统考期末）记为等比数列的前项和.，，则______.【答案】【解析】由等比数列的性质可得，，结合题意，得，又，所以，所以.故答案为：33．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）公比的等比数列的前n项和为，且，，则______．【答案】【解析】因为，，所以，又，所以或（舍），所以.故答案为：.34．（2024·云南红河·弥勒市一中校考模拟预料）若等比数列的各项均为正数，且，则__________.【答案】21【解析】由等比数列的下标和性质有，所以.因为数列的各项均为正数，所以，因为，所以.故答案为：21.35．（2024秋·辽宁·高三辽河油田其次高级中学校考期末）已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________【答案】【解析】在等比数列中，满意，由等比数列的性质可得，即，所以，又由，所以所以数列的前项和，故答案为：.36．（2024·高三课时练习）若等比数列的前n项和，则常数k的值为______．【答案】【解析】当时，.时，，因为是等比数列，所以，即，解得．故答案为：．四、解答题37．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差d不为0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比数列，求数列{an}的通项公式.【解析】由已知得，设公差为d，则有，即，，，；综上，的通项公式为：，.38．（2024·黑龙江·黑龙江试验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满意，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．(1)求数列和的通项公式；(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．【解析】（1），，，即，，，故为等差数列，设公差为，故，，解得：，，所以，设等比数列的公比为，，因为，成等差数列，所以，即，与联立得：或0（舍去），且，故，（2）由题意得：为中的整数个数，故，所