新教材同步备课2024春高中数学第6章6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加减运算的坐标表示教师用书新人教A版必修第二册

平面对量的正交分解及坐标表示平面对量加、减运算的坐标表示学习任务1．了解平面对量的正交分解，驾驭向量的坐标表示．(数学抽象)2．理解向量坐标的概念，驾驭两个向量和、差的坐标运算法则．(数学运算)如图，在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，经常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2．在实际应用中，经常须要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的重量的和．学问点1平面对量坐标的相关概念学问点2平面对量加、减运算的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表：运算文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AB＝(xB－xA，yB－yA)向量坐标与点的坐标的区分是什么？[提示]意义不同．点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．1．设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________．[答案](2，5)，(4，3)2．已知点A(1，－2)，点B(4，0)，则向量AB＝________．[答案](3，2)类型1平面对量的坐标表示【例1】已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量OA的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．[解](1)设点A(x，y)，则x＝|OA|cos60°＝43cos60°＝23，y＝|OA|sin60°＝43sin60°＝6，即A(23，6)，所以OA＝(23，6)．(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．[跟进训练]1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示OA，[解]由题图可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，AB＝(－4，2)．类型2平面对量的坐标运算【例2】(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4) B．(7，4)C．(－1，4) D．(1，4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．(1)A[法一：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x=-4，y=-2，从而BC＝(－4，－2)－(3，2)法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC＝AC-AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－故选A．](2)[解]a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)．平面对量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则干脆应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必需先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算．(3)向量的坐标(线性)运算可类比数的运算进行．[跟进训练]2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求AB+[解]法一：∵AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，∴AB+BC＝(－2，10)＋(－8，4)＝(－10，BC-AC＝(－8，4)－(－10，14)＝(2，－法二：∵AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，∴AB+BC＝AC＝(－10，14)，BC-AC＝BA＝－AB＝类型3平面对量坐标运算的应用【例3】已知点O(0，0)，A(1，2)．(1)若点B(3t，3t)，OP＝OA+OB，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由．[解](1)OP＝OA+OB＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－23若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－13若点P在其次象限，则1+3t<0∴－23<t<－1(2)OA＝(1，2)，PB＝OB-OP＝(3－3t，3－3t若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB，∴3-故四边形OABP不能成为平行四边形．向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．[跟进训练]3．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．[解]设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由AB＝(1，2)，DC＝(3－x，4－y)，且AB＝DC，得D(2，2)；当平行四边形为ACDB时，由AB＝(1，2)，CD＝(x－3，y－4)，且AB＝CD，得D(4，6)；当平行四边形为ACBD时，由AC＝(5，3)，DB＝(－1－x，3－y)，且AC＝DB，得D(－6，0)，故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于()A．(－2，1) B．(2，－1)C．(2，0) D．(4，3)[答案]B2．已知A(2，－3)，AB＝(3，－2)，则点B的坐标为()A．(－5，5) B．(5，－5)C．(－1，1) D．(1，1)B[OB＝OA+AB＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．故选B3．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．(2，2)[由题意知a＝2cos45°i＋2sin45°j＝2i＋2j＝(2，4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．(－1，2)[设C的坐标为(x，y)，则由已知得OC＝AB，所以(x，y)＝(－1，2)．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．平面对量正交分解与平面对量基本定理存在哪些联系？[提示]平面对量的正交分解实质上是平面对量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2相互垂直．2．向量终点的坐标就是向量的坐标吗？[提示]假如一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，如：若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AB＝(xB－xA，yB－yA)．3．如何求两个向量的和或差的坐标？[提示]向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差．课时分层作业(八)平面对量的正交分解及坐标表示平面对量加、减运算的坐标表示一、选择题1．假如用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则AB可以表示为()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋jC[记O为坐标原点，则OA＝2i＋3j，OB＝4i＋2j，所以AB＝OB-OA＝2i－j．故选C2．已知向量AB＝(2，4)，AC＝(0，2)，则BC＝()A．(－2，－2) B．(2，2)C．(1，1) D．(－1，－1)A[BC＝AC-AB＝(－2，－2)．故选A3．(多选)下面几种说法中正确的有()A．相等向量的坐标相同B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C．一个坐标对应于唯一的一个向量D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应ABD[由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应多数个相等的向量，故C错误．]4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为()A．(－7，0) B．(7，6)C．(6，7) D．(7，－6)D[因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB＝DC．设D(x，y)，则有(－1－5，7＋1)＝(1－x，2－y)，即-6=1-因此D点坐标为(7，－6)．]5．(多选)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列选项正确的是()A．OA＝2i＋3j B．OB＝3i＋4jC．AB＝－5i＋j D．BA＝5i－jACD[i，j相互垂直，故可作为基底，由平面对量基本定理，有OA＝2i＋3j，OB＝－3i＋4j，AB＝OB-OA＝－5i＋j，BA＝OA-OB＝5i二、填空题6．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．－3[因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2m+n=9，m所以m－n＝2－5＝－3．]7．已知2023个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2022个向量的和为________．(－8，－15)[设其余2022个向量的和为(x，y)，则(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，∴(x，y)＝(－8，－15)．]8．如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则BD＝________．(－3，－5)[BC＝AC-AB＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，BD＝BC+CD＝BC-AB＝(－1，－1)－(2，4)＝(三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．(1)若OP＝AB+AC，求点(2)若PA+PB+PC＝[解](1)因为AB＝(1，2)，AC＝(2，1)，所以OP＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3)．(2)设点P的坐标为(x，y)，因为PA+PB+PC＝0，又PA+PB+PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3所以6-3x=0所以点P的坐标为(2，2)，故OP＝(2，2)．10．已知M(3，－2)，N(5，－1)，若NP＝MN，则点P的坐标为()A．(3，2) B．(3，－1)C．(7，0) D．(1，0)C[设点P的坐标为(x，y)，则NP＝(x－5，y＋1)．MN＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，因为NP＝MN，即(x－5，y＋1)＝(2，1)，所以x-5=2，y+1=1，解得x=7，y=0，所以点P11．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于()A．第一、二象限 B．其次、三象限C．第三象限 D．第四象限D[因为x2＋x＋1＝x+122＋3－(x2－x＋1)＝－x-12所以向量a对应的坐标位于第四象限．]12．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于()A．2，45C．2，-4A[设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a⊗b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝45，所以向量b＝2，13．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．(1，3)∪(3，＋∞)[当四边形ABCD为平行四边形时，则AC＝AB+AD＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故满意题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝a，AB＝b，四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求点B的坐标．[解](1)过点A作AM⊥x轴于点M(图略)，则OM＝OA·cos45°＝4×22＝22AM＝OA·sin45°＝4×22＝22∴A(22，22)，故a＝(22，22)．∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，∴C-32，332，∴即b＝-3(2)∵