四川省眉山市2025届高三数学一轮讲义7函数的周期性

Page12函数的周期性：学问梳理一周期函数的定义：1.函数对定义域中的随意都满意函数是以为周期的周期函数例.设函数则下列结论错误的是（）A.的值域为B.是偶函数C.不是周期函数D.不是单调函数2.由周期函数的定义获得的小性质：（1）若是函数的周期，则也是函数的周期，若函数的定义域为，则也是函数的周期（2）周期函数的定义域不行能为闭区间3.最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．留意：不是全部的周期函数都有最小正周期，如：；二周期函数的性质1.的周期为的周期为例：若存在常数，使得函数满意：，则的一个正周期为。2.若函数满意：；；；；则函数是周期函数；3.函数的周期性、对称性的区分：(1)，这是周期问题；周期为；，这是对称轴问题；对称轴为。(2)，这是周期问题；周期为；，这是对称轴中心问题；对称轴中心为。4.为奇函数（或偶函数），且有对称轴（或对称中心），则为周期函数；（驾驭周期的推法）例1.1.(2024·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.502.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2017)＋f(2019)的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算3.函数y＝f(x)对随意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________.5.为奇函数，且是以为周期的周期函数，则有对称中心；6.为偶函数，且是以为周期的周期函数，则有对称轴；7.为奇函数且满意，则①关于对称；②关于点对称；③的周期为。例题分析：例1：求周期函数的表达式1.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对随意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)．例2.求周期函数的值1.(2024·江苏卷)函数f(x)满意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))则f[f(15)]的值为________.2.定义在上的函数满意.当时，；当时，.则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A.335B.338C.1678D.20123.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），则f（5）＝（）A．0B．1C．D．54.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值为.例3.求函数的周期1．已知函数满意，当0<x<时，，则=__________.2.定义在R上的偶函数满意，且在上单调递增，设，，，则大小关系是 ()A．B．C．D．3.若定义在实数集R上的偶函数f(x)满意f(x)>0，，对随意x∈R恒成立，则f(2019)等于()A．4B．3C．2D．14．设f(x)是(－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（） A．1.5 B．－0.5 C．0.5 D．－1.55.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2017)＋f(2018)＝()A.3 B.2 C.1 D.0例4.画周期函数的图像1．若定义在上的函数满意且时，，则方程的根的个数是A．4 B．5C．6 D．72.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.A．6 B．7C．8 D．93.已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)4.已知定义在R上的偶函数满意：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2则x1＋x2＝－8.以上命题中全部正确命题的序号为________．函数的周期性：学问梳理一周期函数的定义：1.函数对定义域中的随意都满意函数是以为周期的周期函数例.设函数则下列结论错误的是（）A.的值域为B.是偶函数C.不是周期函数D.不是单调函数答案:C.2.由周期函数的定义获得的小性质：（1）若是函数的周期，则也是函数的周期，若函数的定义域为，则也是函数的周期（2）周期函数的定义域不行能为闭区间3.最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．留意：不是全部的周期函数都有最小正周期，如：；二周期函数的性质1.的周期为的周期为例：若存在常数，使得函数满意：，则的一个正周期为。答案：的正整数倍都是答案。2.若函数满意：；；；；则函数是周期函数；3.函数的周期性、对称性的区分：(1)，这是周期问题；周期为；，这是对称轴问题；对称轴为。(2)，这是周期问题；周期为；，这是对称轴中心问题；对称轴中心为。4.为奇函数（或偶函数），且有对称轴（或对称中心），则为周期函数；（驾驭周期的推法）例1.1.(2024·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50答案：C解析：法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二取一个符合题意的函数f(x)＝2sineq\f(πx,2)，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2017)＋f(2019)的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算答案：C解析：由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(1)，f(2019)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2017)＋f(2019)＝0.3.函数y＝f(x)对随意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________.答案：4解析：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2016)＋f(2018)＝－f(2014)＋f(2014＋4)＝－f(2014)＋f(2014)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.5.为奇函数，且是以为周期的周期函数，则有对称中心；6.为偶函数，且是以为周期的周期函数，则有对称轴；7.为奇函数且满意，则①关于对称；②关于点对称；③的周期为。例题分析：例1：求周期函数的表达式1.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.答案log2(3－x)解析当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，又f(x)在R上是以2为周期的偶函数，∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x).2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对随意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.例2.求周期函数的值1.(2024·江苏卷)函数f(x)满意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))则f[f(15)]的值为________.答案eq\f(\r(2),2)解析因为函数f(x)满意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))所以f(15)＝f(－1)＝eq\f(1,2)，因此f[f(15)]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).2.定义在上的函数满意.当时，；当时，.则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A.335B.338C.1678D.2012答案：B解析：定义在上的函数满意，当时，，当时，.f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=.3.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），则f（5）＝（）A．0B．1C．D．5答案:C解析：提示：把代入4.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值为.答案：解析：由题意，所以又②，解①②得例3.求函数的周期1．已知函数满意，当0<x<时，，则=__________.答案：2.定义在R上的偶函数满意，且在上单调递增，设，，，则大小关系是 ()A．B．C．D．答案：D3.若定义在实数集R上的偶函数f(x)满意f(x)>0，，对随意x∈R恒成立，则f(2019)等于()A．4B．3C．2D．1答案：D解析因为f(x)>0，f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝eq\f(1,fx＋2)＝eq\f(1,\f(1,fx))＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝eq\f(1,f－1)，得f(1)＝eq\f(1,f1).即f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.4．设f(x)是(－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（） A．1.5 B．－0.5 C．0.5 D．－1.5答案：B5.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2017)＋f(2018)＝()A.3 B.2 C.1 D.0答案C解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2017)＝－f(2017)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，∴f(2017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2017)＋f(2018)＝－f(2017)＋3＝1.例4.画周期函数的图像1．若定义在上的函数满意且时，，则方程的根的个数是A．4 B．5C．6 D．7答案：A解析：因为函数满意，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，如图，易得两函数的图象有个交点，所以方程有个根．故选A．2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y