吉林省梅河口市2025届高三数学下学期开学考试试题含解析

高三期初考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，由交集的概念即可求解.【详解】因为，所以.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数四则运算以及共轭复数的概念即可得解.【详解】因为，所以.故选：C.3.已知向量，满意，，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】由向量数量积公式计算即可得.【详解】因为，，所以.故选：A.4.已知椭圆的上焦点为，则（）A. B.5 C. D.7【答案】C【解析】分析】由焦点概念以及平方关系即可求解.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，．因为，所以，所以.故选：C.5.设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解.【详解】依题意，在上恒成立，记，则在上恒成立，在上单调递增，所以只需，解得，故选：A．6.第19届亚运会在杭州实行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名高校生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆，全部志愿者支配方案总数为，甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，甲不去场馆，分两种状况探讨，情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为.故选：B．7.已知正方形的边长为1，将正方形围着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据线线垂直可证明线面垂直，进而依据余弦定理求解，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由于平面，所以平面，平面，由于，则，在中，利用余弦定理可得,所以，过作垂线，垂足为，由，平面，所以平面，又平面，所以，所以，不妨设，则，所以由余弦定理得，，故选：A．8.已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，，余弦定理得，得，由，求，最终由求值即可.【详解】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率，则，由余弦定理得，所以，又，所以，设，则，，所以，所以，，故选：D．点睛】思路点睛：双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理余弦定理和，中利用余弦定理得，可求得，点坐标满意双曲线方程，可得，可求，利用计算即可．二、多选题（每题5分，少选得2分，错选0分）9.下列等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】依据题意结合三角恒等变换逐项分析推断.【详解】对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D错误；故选：AB.10.已知，若，则（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】对于AB：依据题意消去，结合的取值范围分析求解；对于C：依据基本不等式运算求解；对于D：依据“1”的灵敏应用结合基本不等式分析求解.【详解】因为，，则，可得，对于选项AB：因为，所以，，故AB正确；对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C错误；对于选项D：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8，故D正确；故选：ABD.11.已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A. B.的离心率为C.曲线经过的一个顶点 D.与有相同的渐近线【答案】ACD【解析】【分析】依据双曲线的渐近线方程求出即可推断A；依据双曲线的离心率公式即可推断B；求出双曲线的顶点即可推断C；求出双曲线的渐近线方程即可推断D.【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，解得（舍去），故A正确；双曲线，所以的离心率为，故B错误；双曲线的顶点为，因为，所以曲线经过的一个顶点，故C正确；对于D，令，则，即的渐近线方程为，故D正确.故选：ACD.12.已知数列，下列结论正确的有（）A.若，，则B.若，，则C.若，则数列是等比数列D.若为等差数列的前项和，则数列为等差数列【答案】ABD【解析】【分析】干脆利用累加法可推断选项A项；构造为等比数列可推断B项；利用与的关系可求得通项公式即可推断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法推断等差数列即可推断D项.【详解】对于选项A，由，得，则，故A项正确；对于选项B，由得，所以为等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，故B项正确；对于选项C，因为，当时，，当时，，将代入，得，所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.对于选项D，设等差数列的公差为d，由等差数列前项和公式可得，所以与n无关，所以数列为等差数列，故D项正确.故选：ABD.三、填空题（每题5分）13.已知向量，则在上的投影向量的坐标为______．【答案】【解析】【分析】依据向量的坐标运算可得，进而结合投影向量的定义运算求解.【详解】由题意可得：，所以在上的投影向量的坐标为.故答案为：.14.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______．【答案】6【解析】【分析】设，分析可知为奇函数，依据奇函数的对称性分析求解.【详解】设，则的定义域为，且连绵起伏，由，可知为奇函数，设在上的最大值为，由奇函数的对称性可知在上的最小值为，则函数在区间上的最大值为，最小值为，所以.故答案为：6.15.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】首先得的定义域为，进一步列不等式组即可得解.【详解】因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满意，解得，所以函数定义域为.故答案为：.16.已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可.【详解】由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以，设外接圆半径为，则，即，由余弦定理得：，整理可得，所以的面积，故的内切圆半径，所以，因为，所以，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为．【点睛】结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论：(1)椭圆焦点三角形的周长；(2)椭圆焦点三角形的面积；(3)三角形外接圆的半径公式：；(4)三角形内切圆的半径公式：(其中为三角形面积，为周长)四、解答题17.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得或，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为，所以，所以，即；【小问2详解】解：因为，所以或，所以.18.已知向量，，设函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合向量数量积的坐标运算求出，即可得出最小正周期；（2）时，可得，依据函数的图象和性质即可求出结果.【小问1详解】由向量，，可得，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】由（1）知，当时，可得，所以当时，即，函数的最小值为.19.2024年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局竞赛的输赢相互独立，第一局甲先手．（1）若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；（2）若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且竞赛结束，竞赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据相互独立事务及互斥事务的概率公式计算可得；（2）依题意可得的全部可能结果为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：设事务为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，输赢胜，胜输赢，胜胜胜四种状况，所以；【小问2详解】解：依题意可得的全部可能结果为、、，则，，，所以的分布列为所以；20.设为数列的前项和，已知为等比数列，且．（1）求数列通项公式；（2）已知，设，记为数列的前项和，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项；（2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式.【小问1详解】为数列的前项和，，则有，所以，等比数列的公比为2，又，所以；【小问2详解】证明：由（1）知，，当时，，所以，所以，则，因此．21.已知正项数列是公差为2的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）利用已知条件可列出的两个方程，联立，解出，从而再由是等差数列得通项公式；（2）数列的前项和可用错位相减法求得.详解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，则，又成等比数列，所以，解得或，因为数列为正项数列，所以.所以，故.（2）由（1）得，所以，所以，即，故.点睛：解决数列求和问题首先要驾驭等差数列和等比数列的前项和公式，其次要驾驭一些特别数列的求和方法，设是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，数列用错位相减法求和，数列用裂项相消法求和.22.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若是的微小值点，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）求导，构造函数，利用导数求解单调性即可求解，（2）求导，结合分类探讨求解函数的单调性，即可结合极值点的定义求解.【小问1详解】当时，，设，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极大值，所以，所以在上单调递减；【小问2详解】，设，则，（i）当时，二次函数开口向上，对称轴为，当时，单调递增，因为，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的微小值点．当时，，又，所以存在，使得，所以当时，单调递增，又，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的微小值点；（ii）当时，，当时，单调递减，当时，，单调递增，所以是的