备考2025届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破3概率统计与其他知识的综合

突破3概率、统计与其他学问的综合1.[设问创新]鲁班锁是中国一种古老的益智玩具，它与九连环、华容道、七巧板被称为中国民间的四大传统益智玩具.鲁班锁看似简洁，却凝合着不平凡的才智，是榫卯结构的集中呈现，一般由六根木条组成，三维拼插，内部榫卯咬合，外观严丝合缝，十字立体，易拆难装，特殊奇异.某玩具公司新开发了A，B两款鲁班锁玩具，记A，B两款鲁班锁玩具所获利润分别为X万元、Y万元，依据销售部市场调研分析，得到相关数据如下表：（成本利润率＝利润÷成本×100％）A款鲁班锁玩具：成本利润率4％8％10％概率P0.30.60.1B款鲁班锁玩具：成本利润率3％5.5％7.5％概率P0.20.30.5（1）若A，B两款鲁班锁玩具的投资成本均为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差；（2）若A，B两款鲁班锁玩具的投资成本共为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和的最小值.解析（1）A款鲁班锁玩具的利润：20×4％＝0.8，20×8％＝1.6，20×10％＝2，B款鲁班锁玩具的利润：20×3％＝0.6，20×5.5％＝1.1，20×7.5％＝1.5，则X的分布列为X0.81.62P0.30.60.1Y的分布列为Y0.61.11.5P0.20.30.5所以E（X）＝0.8×0.3＋1.6×0.6＋2×0.1＝1.4，E（Y）＝0.6×0.2＋1.1×0.3＋1.5×0.5＝1.2，则D（X）＝（0.8－1.4）2×0.3＋（1.6－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.1＝0.168.D（Y）＝（0.6－1.2）2×0.2＋（1.1－1.2）2×0.3＋（1.5－1.2）2×0.5＝0.12.（2）记A款鲁班锁玩具的投资成本为m（0≤m≤20）万元，则B款鲁班锁玩具的投资成本为（20－m）万元，投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和f（m）＝D（m20X）＋D（20－得f（m）＝（m20）2×0.168＋（20－m20）2×0.12＝m2400×0.168＋（1－m10＋m2400）所以当m＝253时，投资A，B两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和取得最小值2.[2024贵州六校联考]为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球竞赛，经过三轮的筛选，最终剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛接受五局三胜制，即当甲、乙两人中有一人先赢得三局竞赛时，该选手获胜，竞赛结束.每局竞赛皆须分出输赢，且每局竞赛的输赢不受之前竞赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为p（0＜p＜1）.（1）若竞赛进行三局就结束的概率为f（p），求f（p）的最小值；（2）记（1）中，f（p）取得最小值时，p的值为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙实际竞赛的局数，求X的分布列及数学期望E（X）.解析（1）三局就结束竞赛的概率f（p）＝p3＋（1－p）3，f'（p）＝3p2－3（1－p）2＝6p－3，当0＜p＜12时，f'（p）＜0；当12＜p＜1时，f'（p）所以f（p）在（0，12）上单调递减，在（12，所以当p＝12时，f（p）取得最小值，为1（2）由（1）知，p＝p0＝12X的全部可能取值为3，4，5，P（X＝3）＝（12）3＋（1－12）3＝P（X＝4）＝2×C32×（12）2×（1－12）×P（X＝5）＝2×C42×（12）2×（1－12）2×所以X的分布列为X345P133E（X）＝3×14＋4×38＋5×383.[2024安徽六校联考]为庆祝中国共产党成立102周年，某校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史学问竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组（每组两人），进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有1道是送分题（即每位同学至少可答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再接着答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.（1）若第1次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；（2）若第1次由甲组答题，记第n次由甲组答题的概率为Pn，求Pn.解析（1）将第1次由甲组答题记作事务A，第2次由乙组答题记作事务B，则第1次由乙组答题为事务A，因为答对的题数之和为3的倍数的可能状况为1＋2，1＋5，2＋4，3＋3，3＋6，4＋5，6＋6，所以其概率为5×2+236则答对的题数之和不是3的倍数的概率为1－13＝2则P（B）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝12×23＋12×1（2）第（n＋1）次由甲组答题，是第n次由甲组答题，第（n＋1）次接着由甲组答题的事务与第n次由乙组答题，第（n＋1）次由甲组答题的事务和，它们互斥，又各次答题相互独立，所以第n次由甲组答题，第（n＋1）次接着由甲组答题的概率为13Pn第n次由乙组答题，第（n＋1）次由甲组答题的概率为23（1－Pn），因此，Pn＋1＝13Pn＋231－Pn=-13Pn＋23（n∈N*），则Pn＋1－因为第1次由甲组起先，所以P1＝1，所以{Pn－12}是首项为12，公比为－所以Pn－12＝12×（－13）n－1，故Pn＝12×（－13）n4.[2024山东省试验中学模拟]某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登记消费信息，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知某顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从其次次摸球起先，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为（1）求P2的值，并探究数列{Pn}的通项公式；（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程.解析（1）记该顾客第i（i∈N*）次摸球抽中奖品为事务Ai，依题意，P1＝27P2＝P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（A1）P（A2｜A1）＝27×13＋（1－27）因为P（An｜An－1）＝13，P（An｜An－1）＝12，Pn＝P（An）＝P（An－1）×P（An｜An－1）＋P（An－1所以Pn＝13Pn－1＋12（1－Pn－1）＝－16Pn－1所以Pn－37＝－16（Pn－1－由P1＝