2024九年级数学下册第28章锐角三角函数综合素质评价新版新人教版

其次十八章综合素养评价一、选择题(每题3分，共30分)1．下列实数中是无理数的是()A．tan30° B．eq\r(3,8) C．eq\f(1,7) D．eq\r(49)2．(母题：教材P84复习题T1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA等于()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5) C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)3．[2024·太原五中模拟]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝eq\r(3)，则∠B等于()A．15° B．45° C．30° D．60°4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(1,2) D．eq\r(3)5．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3) C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)6.为出行便利，近日来越来越多的市民运用了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调整．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为()(结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)A．80cm B．72cm C．76cm D．70cm7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)8．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在x轴上，∠AOB＝60°，B(4，0)，点D，E分别是边OB，OA上的点，将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，若AE＝AF，则点F的坐标为()A．(2eq\r(3)，2eq\r(3)) B．(2eq\r(3)，4) C．(3，4) D．(2eq\r(3)，3)9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为()A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°10．[2024·泸州]如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝eq\f(4,3)，若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为()A．y＝3x B．y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(15,2) C．y＝－2x＋11 D．y＝－2x＋12二、填空题(每题3分，共24分)11.如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)12．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(2),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－cosB))eq\s\up12(2)＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C＝________.13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinA＝eq\f(5,13)，以点C为圆心，R为半径作圆，使A，B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是__________．14．(母题：教材P69习题T8)如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝eq\f(3,4)，则平行四边形ABCD的面积是______．15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，假如将线段BD围着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．16．[2024·连云港]如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x<0)的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝eq\f(2,3)，则k＝________．17．[2024·桂林]如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O动身沿OB方向行走，已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是________m.18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，点G在AE上，且EG＝EF，点M，N分别为GF，CD的中点，连接MN，则MN的最小值为________．三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分)19．(母题：教材P68习题T3)计算：(1)tan30°cos60°＋tan45°cos30°；(2)(eq\r(3)－1)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－2)＋|eq\r(3)－2|＋tan60°.20．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．21．[2024·鄂尔多斯]如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC的中点，连接OE，DE，BD．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝eq\f(4,5)，求OE的长．22．[2024·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开拓了两条长跑熬炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间缘由，小明确定选择一条较短线路进行熬炼，请计算说明他应当选择线路①还是线路②？23．[2024·潜江]为了防洪须要，某地确定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝34是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)24.“十四五”开局，全面推动乡村振兴，加快农村农业现代化，无人机遥感数据采集引领农业精准发展．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为120m的A处测得试验田一侧边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田另一侧边界M处俯角为48°，已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，eq\r(3)≈1.73，结果精确到0.1m)

答案一、1．A2．B3．D【点拨】依据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再依据特殊锐角的三角函数值得出答案．4．A【点拨】过点A作BC的垂线，与BC的延长线交于点D，在Rt△ABD中，由AD＝3，BD＝3，可得△ABD是等腰直角三角形，计算即可得出答案．5．D6．C【点拨】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH，再求出CH＋AP即可得到答案．7．A8．A【点拨】过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G.依据四边形AOBC是菱形，∠AOB＝60°，B(4，0)，可得∠OAC＝120°，OH＝eq\f(1,2)OA＝2，AH＝eq\r(3)OH＝2eq\r(3)，则A(2，2eq\r(3))．又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EF＝2EG.∴EG＝AE·cos30°＝eq\f(\r(3),2)AE.故EF＝eq\r(3)AE.由将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，有OE＝EF＝eq\r(3)AE，从而eq\r(3)AE＋AE＝4，则AE＝2eq\r(3)－2，即AF＝2eq\r(3)－2，可得F(2eq\r(3)，2eq\r(3))．9．D【点拨】有两种状况：当顶角为锐角时，如图①，sinA＝eq\f(1,2)，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin(180°－∠BAC)＝eq\f(1,2)，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.10．D【点拨】连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，作直线MN，则直线MN为符合条件的直线l，如图．∵四边形OABC是矩形，∴OM＝BM.∵点B的坐标为(10，4)，∴M(5，2)，AB＝10，BC＝4.∵四边形ABEF为菱形，∴BE＝AB＝10.如图，过点E作EG⊥AB于点G.在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝eq\f(4,3)，∴eq\f(EG,BG)＝eq\f(4,3).设EG＝4k，则BG＝3k，∴BE＝eq\r(EG2＋BG2)＝5k.∴5k＝10.∴k＝2.∴EG＝8，BG＝6.∴AG＝4.∴E(4，12)．∵点B的坐标为(10，4)，AB∥x轴，∴A(0，4)．易知点N为AE的中点，∴N(2，8)．设直线l的解析式为y＝ax＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a＋b＝2，,2a＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝12.))∴直线l的解析式为y＝－2x＋12.故选D．二、11.21【点拨】∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝eq\f(1,2)AB．在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝eq\f(CD,sin37°)≈eq\f(3,0.6)＝5(m)，AD＝eq\f(CD,tan37°)≈eq\f(3,0.75)＝4(m)，∴CA＝CB≈5m，AB＝2AD≈8(m)，∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)．∴共需钢材约21m.12．105°13．5＜R＜12【点拨】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinA＝eq\f(5,13)，∴BC＝AB×sinA＝13×eq\f(5,13)＝5.∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12.∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A，B两点一点在圆内，一点在圆外，∴5＜R＜12.14．3eq\r(7)15.eq\r(2)【点拨】由题意知BD′＝BD＝2eq\r(2).在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝eq\f(BD′,AB)＝eq\f(2\r(2),2)＝eq\r(2).16．－eq\f(8,3)【点拨】如图，作AE⊥x轴于点E.∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝eq\f(2,3)，∴eq\f(OA,AC)＝eq\f(2,3).∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC．∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴eq\f(S△OEA,S△AOC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,AC)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(S△OEA,3)＝eq\f(4,9).∵S△OEA＝eq\f(1,2)|k|，k<0，∴k＝－eq\f(8,3).故答案为－eq\f(8,3).17．20eq\r(3)18.eq\r(2)【点拨】如图，连接AC，BD交于点O，由题意得∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，连接ME，CM，由EG＝EF，EF⊥AE，点M为GF的中点，可知EM⊥GF，∠MEF＝45°，所以∠EMF＝∠BCD＝90°，故E，M，F，C在以EF为直径的圆上，所以∠MCN＝∠MEF＝45°，则M在线段AC上运动，当NM⊥AC时，MN最短，从而可得答案．三、19.【解】(1)原式＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3).(2)原式＝1＋9＋2－eq\r(3)＋eq\r(3)＝12.20．【解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，∴∠CDB＝90°.∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝180°－∠ABC＝60°.∵BC＝2，∴sin∠CBD＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(CD,2)，cos∠CBD＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(BD,2)，即sin60°＝eq\f(CD,2)＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(BD,2)＝eq\f(1,2).∴CD＝eq\r(3)，BD＝1.∵AB＝4，∴AD＝AB＋BD＝4＋1＝5.∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(52＋(\r(3))2)＝2eq\r(7)，即AC的长为2eq\r(7).21．(1)【证明】如图，连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BDC＝90°.∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝eq\f(1,2)BC．∵⊙O与BC相切于点B，∴∠ABC＝90°.在△DOE和△BOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OB，,DE＝BE，,OE＝OE，))∴△DOE≌△BOE(SSS).∴∠ODE＝∠ABC＝90°.∴OD⊥DE.又∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°.由(1)知∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C＋∠CBD＝90°，BC＝2DE＝10.∴∠C＝∠ABD．在Rt△ABC中，AC＝eq\f(BC,cosC)＝eq\f(BC,cos∠ABD)＝eq\f(10,\f(4,5))＝eq\f(25,2).∵OA＝OB,BE＝CE，∴OE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(25,4).22．【解】(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米．在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝eq\f(AF,cos45°)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)≈10×1.41≈14(千米)．∴AD的长度约为14千米；(2)小明应当选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan30°＝24×eq\f(