第08讲 单项式和多项式-小升初衔接数学教材（解析版）

第8讲单项式和多项式【知识衔接】————小学初中课程解读————小学课程初中课程小学数学中，要求在具体情境中能用字母表示数，结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。初中数学中，借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算，理解整式的概念.————小学知识回顾————运算律加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.式子表示为a+b=b+a加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变用式子表示为（a+b）+c=a+（b+c）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即：（ab）c=a（bc）乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即：a（b+c）=ab+bc常用计算公式1、长方形面积=长×宽，计算公式S=ab

2、正方形面积=边长×边长，计算公式S=a×a=a2

3、长方形周长=（长+宽）×2，计算公式C=(a+b)×2

4、正方形周长=边长×4，计算公式C=4a

5、平行四边形面积=底×高，计算公式S=ah

6、三角形面积=底×高÷2，计算公式S=a×h÷2

7、梯形面积=（上底+下底）×高÷2，计算公式S=(a+b)×h÷2

8、长方体体积=长×宽×高，计算公式V=abh

9、圆的面积=圆周率×半径平方，计算公式V=πr2

10、正方体体积=棱长×棱长×棱长，计算公式V=a3

11、长方体和正方体的体积：都可以写成底面积×高，计算公式V=sh

12、圆柱的体积=底面积×高，计算公式V=sh————初中知识链接————1.单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．2.多项式（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．3.整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．【经典题型】初中经典题型1．下列说法错误的是（）A．5y4是四次单项式 B．5是单项式C．的系数是 D．3a2+2a2b﹣4b2是二次三项式【答案】D【解析】A、5y4是四次单项式，故A不符合题意；B、5是单项式，故B不符合题意；C、的系数是，故C不符合题意；D、3a2+2a2b﹣4b2是三次三项，故D符合题意；故选：D．2．下列代数式：，其中单项式有m个，多项式有n个，整式有t个，则m＋n＋t等于()A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解析】根据多项式和单项式的概念，可知中，单项式有，共4个；多项式有，共2个；整式有6个，所以.故选择A项.3．多项式的常数项是()A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，其常数项为.故选：D点评：本题考查多项式的定义，解题的关键是熟悉多项式的定义.4．多项式的项为()A．，5 B．C．， D．，5【答案】C【解析】多项式的项为，，故选择C项.5．在代数式中，多项式的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】只有和是多项式，共3个．故选B.6．下列说法正确的是（）A．x2+1是二次单项式B．﹣m2的次数是2，系数是1C．﹣23πab的系数是﹣23D．数字0也是单项式【答案】D【解析】试题分析：根据单项式系数及次数的定义对各选项进行逐一分析即可．解：A、x2+1是多项式，故A选项错误；B、﹣m2的次数是2，系数是﹣1，故B选项错误；C、﹣23πab的系数是﹣23π，故C选项错误；D、0是单独的一个数，是单项式，故D选项正确．故选：D．考点：单项式．7．如果﹣22a2bcn是7次单项式，则n的值是（）A．4B．3C．2D．5【答案】A【解析】试题分析：直接利用单项式次数的确定方法得出n的值．解：∵﹣22a2bcn是7次单项式，∴2+1+n=7，∴n=4，故选A．考点：单项式．8．如图，将一张正三角形纸片剪成四个全等的正三角形，得到4个小正三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到7个小正三角形，称为第二次操作；再将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到10个小正三角形，称为第三次操作；……，以上操作次后，共得到49个小正三角形，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵第一次操作得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形，第三次操作得到10个小正三角形，∴第n次操作得到的小正三角形个数为3n+1则49=3n+1解得n=16故选D.点评：此题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据一周的图形找到规律.9．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第10个图案由()个▲组成．A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【解析】观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1＝4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1＝7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1＝10个三角形；…第n个图形有3(n+1)﹣3+1＝3n+1个三角形；当n＝10时，3n+1＝3×10+1＝31，故选B．故选：B．10．单项式的次数是．【答案】4.【解析】试题解析：根据单项式次数的定义，单项式的次数为4.考点：单项式．11．多项式的一次项系数是.【答案】－5【解析】试题分析：一次项是指未知数的次数为1次的项，写系数的时候特别要注意带着前面的符号.考点：一次项系数12．﹣5x2y2+3x2y+2x﹣5是次四项式．【答案】四．【解析】试题分析：根据多项式的项和次数的概念解题．此多项式共四项﹣5x2y2，3x2y，2x，﹣5．其最高次项为﹣5x2y2，进而得出答案．解：此多项式共四项﹣5x2y2，3x2y，2x，﹣5．其最高次项为﹣5x2y2，次数为2+2=4．故多项式﹣5x2y2+3x2y+2x﹣5是四次四项式，故答案为：四．考点：多项式．13．写一个系数是2014且只含x和y的三次单项式．【答案】或．【解析】试题分析：由题意可知，该单项式的系数是2014年，次数之和是3，故该单项式是或．考点：单项式的系数和次数．14．的系数是_________，次数是_________。【答案】4【解析】单项式的系数是前面的数字，注意要带上符号，系数是指所含字母次数之和的系数是，次数是4次故填，415．下列整式中，单项式是________________；多项式是________________．.【答案】；【解析】根据单项式与多项式的定义可知：单项式有：，多项式有：，故填；.16．已知关于x的多项式不含项和项，则m=__________，n=__________.【答案】－51【解析】因为多项式不含项和项，所以含项和项的单项式的系数应为0，即，求得.故答案为－5，1.点评：本题考查多项式的概念，解题的关键是熟悉多项式的概念.17．代数式是_____次______项式，其中二次项的系数是______．【答案】三四【解析】=，次数最高为3，单项式有4项，二次项的系数是.18．若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是______．【答案】4或3或2【解析】因为此多项式是按字母x降幂排列的，且第一项中x的次数为7，第三项中x的次数为3，所以的值为6或5或4，所以m的值为4或3或2，故答案为：4或3或2.19．找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

（1）；（2）5a+2b；（3）-y；（4）x2y；（5）25x7解：（1）（3）（4）（5）符合单项式的定义，是单项式；（2）是两个单项式的和，为多项式．

（1）的系数是，次数是1．（3）-y的系数是-1，次数是1．（4）x2y的系数是，次数是3．（5）25x7的系数是25，次数是7．20．已知多项式⋅（1）求多项式中各项的系数和次数；（2）若多项式是7次多项式，求a的值．【答案】（1）各项的系数分别为：－5，，；各项的指数分别为：，，；（2）．【解析】试题分析：（1）根据多项式次数、系数的定义即可得出答案；（2）根据次数是7，可得出关于a的方程，解出即可．考点：多项式．【实战演练】————再战初中题——能力提升————1．下列式子：x2﹣1，+2，，，﹣5x，3中，整式的个数有（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】试题分析：根据分母中不含有字母的式子是整式，可得答案．解：x2﹣1，，﹣5x，3，是整式，故选：C．考点：整式．2．多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是（）A．3x2，2x，1 B．3x2，﹣2x，1C．﹣3x2，2x，﹣1 D．3x2，﹣2x，﹣1【答案】D【解析】试题分析：根据多项式项的定义求解．解：多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是：3x2，﹣2x，﹣1．故选D．考点：多项式．3．对于代数式3x2﹣x+，下列说法不正确的是（）A．它的一次项系数是﹣1B．它是单项式C．它的常数项是D．它是二次三项式【答案】B【解析】试题分析：根据多项式的次数与系数的定义分别分析得出即可．解：A、代数式，它的一次项系数是﹣1，正确，不合题意；B、代数式，它是多项式，错误，符合题意；C、它的常数项是，正确，不合题意；D、它是二次三项式，正确，不合题意．故选：B．考点：多项式．4．如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式各项的次数（）．A．都小于5B．都大于5C．都不小于5D．都不大于5【答案】D．【解析】试题分析：一个多项式中次数最高的项的次数是这个多项式的次数，据此可知，如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式各项的次数都不大于5．故选：D．考点：多项式的次数．5．多项式2﹣3xy+4xy2的次数及最高此项的系数分别是（）A．2，﹣3B．﹣3，4C．3，4D．3，﹣3【答案】A【解析】试题分析：根据多项式的次数，单项式的系数，即可解答．解：多项式2﹣3xy+4xy2的次数是3，最高项是4xy2，系数是4，故选：A．考点：多项式．6．将多项式按某一字母升(降)幂排列正确的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】A.，没有按任何一个字母升(降)幂排列，故不符合题意；B.，按字母b的降幂排列，故符合题意；C.，没有按任何一个字母进行降幂或升幂排列，故不符合题意；D.，没有按任何一个字母进行降幂或升幂排列，故不符合题意，故选B.7．把多项式按m的降幂排列后，第3项是()A．9m2 B．7m C．3m3 D．－1【答案】B【解析】把多项式按m的降幂排列为：3m3+9m2+7m-1，排列后第3项为7m，故选B.8．把多项式按x的升幂排列，下列结果正确的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】多项式5x-4x2+3按x的升幂排列为：3+5x-4x2，故选D.点评：本题考查了多项式幂的排列，根据多项式的定义，各项以和的形式组成多项式(有时加号省略不写)，所以在升幂或降幂排列时，各项要保持自己原有的符号．9．在下列说法中，正确的是()A．单项式的系数是，次数是2 B．单项式的系数是1，次数是2C．单项式的系数是2，次数是12 D．单项式的系数是，次数是3【答案】D【解析】A中系数是，次数是3，故A选项错误；B中系数是π，次数是1，故B选项错误；C中系数是，次数是4，故C选项错误；D.单项式的系数是，次数是3，正确，故选D.10．下列说法中正确的有().(1)单项式a既没有系数，也没有次数；(2)单项式的系数是2；(3)单项式的系数与次数都是1；(4)单项式的系数是.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】(1)单项式a的系数是1，次数是1，故错误；(2)单项式的系数是2×108，故错误；(3)单项式的系数是-1，次数是1，故错误；(4)单项式的系数是，正确，所以正确的只有1个，故选A.点评：本题考查的是单项式系数及次数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号．11．单项式﹣的系数是，次数是．【答案】单项式﹣的系数是﹣，次数是3【解析】试题分析：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．解：根据单项式定义得：单项式﹣的系数是﹣，次数是3．考点：单项式．12．在a2+（2k﹣6）ab+b2+9中，不含ab项，则k=．【答案】3【解析】试题分析：因为多项式不含ab的项，所以令ab项的系数为0，列关于k的方程求解．解：∵多项式a2+（2k﹣6）ab+b2+9不含ab的项，∴2k﹣6=0，解得k=3．故答案为：3．考点：多项式．13．已知﹣6xmy3是一个六次单项式，则m+2的值．【答案】5【解析】试题分析：根据单项式次数的概念求解．解：由﹣6xmy3是一个六次单项式，可得：m+3=6，解得：m=3，把m=4代入m+2=5．故答案为：5．考点：单项式．14．单项式的次数是_____．【答案】5.【解析】单项式的次数是.故答案为5．点评：本题考查单项式次数的意义，解题的关键是熟练掌握单项式次数的意义.15．把多项式按要求重新排列：(1)按x的升幂排列：__________；(2)按y的降幂排列：__________.【答案】(1);(2).【解析】把多项式按要求重新排列：(1)按x的升幂排列：；(2)按y的降幂排列：，故答案为：；.点评：本题考查了多项式的排列，正确理解升幂与降幂的要求是解题的关键.16．单项式的系数是________，次数是________．【答案】5【解析】单项式的系数是，次数是2+3=5，故答案为：，5.点评：本题考查了单项式的系数与次数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．17．写出各单项式的系数和次数．