高等数学下册电子教案设计

实用标准文档第四章常微分方程§4．1基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。二．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：通解（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：通解2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程令，则（2）令，则（3）①当情形，先求出的解令，则属于齐次方程情形②当情形，令则令，则属于变量可分离方程情形。三．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程它也是变量可分离方程，通解公式，（为任意常数）2．一阶线性非齐次方程用常数变易法可求出通解公式令代入方程求出则得3．贝努利方程令把原方程化为再按照一阶线性非齐次方程求解。4．方程：可化为以为自变量，为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。四．全微分方程及其推广（数学一）1．全微分方程，满足通解：，其中满足求的常用方法。第一种：凑全微分法把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）第三种：不定积分法由得对求导，得，求出积分后求出2．全微分方程的推广（约当因子法）设不是全微分方程。不满足但是存在使得为全微分方程，也即满足则称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出通解。这种情形，求约当因子是关键。乙典型例题5432考研论坛（）友情提供下载一．变量可分离方程及其推广例1．求下列微分方程的通解。（1）（2）例2．求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）（4）解：（1）令，则，原方程化为，（注：）（2）；令，则，（3），令，则，，（4）令，则，例3．求微分方程的通解。例4．求微分方程例5．求微分方程的通解。例6．求微分方程的通解。例7．求微分方程例8．求微分方程的通解二．一阶线性方程及其推广例．求下列微分方程的通解（1）（2）（3）（4）解：（1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为，通解令非齐次线性方程的通解为代入方程得，故所求方程的通解为（2）直接用通解公式（先化标准形式），通解（3）此题不是一阶线性方程，但把看作未知函数，看作自变量，所得微分方程即是一阶线性方程，（4）此题把看作未知函数，看作自变量所得微分方程为，，§4．2特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲内容要点一．可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程——一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为。令，把看作的函数，则把，的表达式代入原方程，得——一阶方程，设其解为即，则原方程的通解为。二．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程（1）二阶非齐次线性方程（2）1．若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（，为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为2．若，为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（，为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。5．设与分别是与的特解，则是的特解。三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1．二阶常系数齐次线性方程其中，为常数，特征方程特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当，特征方程有两个不同的实根，则方程的通解为（2）当，特征方程有二重根则方程的通解为（3）当，特征方程有共轭复根，则方程的通解为2．阶常系数齐次线性方程其中为常数。相应的特征方程特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有个不同的实根则方程通解（2）若为特征方程的重实根则方程通解中含有（3）若为特征方程的重共轭复根则方程通解中含有由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。四．二阶常系数非齐次线性方程方程：其中为常数通解：其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下：1．，其中为次多项式（1）若不是特征根，则令其中为待定系数。（2）若是特征方程的单根，则令（3）若是特征方程的重根，则令2．其中为次多项式，为实常数（1）若不是特征根，则令（2）若是特征方程单根，则令（3）若是特征方程的重根，则令3．或其中为次多项式，皆为实常数（1）若不是特征根，则令其中为待定系数为待定系数（2）若是特征根，则令五．欧拉方程（数学一），其中为常数称为阶欧拉方程。令代入方程，变为是自变量，是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。注意下面变换公式：，，，，……。乙典型例题一．可降阶的高阶微分方程例1．求下列微分方程的通解（1）（2）解：（1）令，则，原方程化为属于贝努里方程再令则有通解：（2）令，则，原方程化为属于一阶线性方程例2．求下列微分方程的通解（1）（2）二．常系数齐次线性微分方程例1．求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）（4）解：（1）特征方程，即特征根，微分方程通解（2）特征方程，即特征根二重根微分方程通解（3）特征方程特征根微分方程通解（4）特征方程即特征根二重根，微分方程通解例2．设方程，求满足，的特解。三．二阶常系数非齐次线性微分方程例1．求微分方程的一个特解。解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈的形状，其中，。而该微分方程的特征方程是：特征根是，。由于不是特征根，故设特解为为了确定和，把代入原方程，经化简，可得令此式两端同次幂系数相等，有由此解得，，因此特解为例2．求微分方程的通解。答案：最后得原方程通解为例3．求的通解。答案：因此原方程的通解为例4．求方程的通解。答案：原方程的通解为例5．求的通解。答案：原方程的通解为例6．求方程的通解。答案：原方程的通解为例7．求微分方程的通解。答案：原方程的通解为：。第五章向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1向量代数甲内容要点一．空间直角坐标系从空间某定点作三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称为轴，轴，轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。1．两点间距离设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为2．中点公式设为，联线的中点，则二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点，点叫终点，向量的长度叫做模，记为。模为的向量称为单位向量。2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点，记其终点，且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为，则向量可以表示为称之为向量的坐标表达式，也可以表示为称分别为向量在轴，轴，轴上的分量。称分别为向量在轴，轴，轴上的投影。记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则方向余弦间满足关系描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角。的模可以表示为与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。向量同方向上的单位向量常记为。三．向量的运算1．加法。减法。2．数乘。（是常数）向量的加、减和数乘运算统称线性运算。3．数量积。其中为向量间夹角为数量也称点乘。表示向量在向量上的投影，即4．向量积也称为叉乘。的方向按右手法则垂直于所在平面，且是向量，。等于以为邻边的平行四边形的面积。5．混合积：定义，坐标公式几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。四．两向量间的关系设关系向量表示向量坐标表示间夹角与垂直与平行乙典型例题例．设为两个非零向量，为非零常数，若向量垂直于向量，则等于（）。（A）（B）（C）（D）分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果垂直于向量，因此应有即由于为非零向量，因而应有，故应选（B）。§5．2平面与直线甲内容要点一．空间解析几何1．空间解析几何研究的基本问题（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。（2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2．距离公式空间两点与间的距离为3．定比分点公式是的分点：，点的坐标为，则当为中点时，二．平面及其方程1．法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2．点法式方程已知平面过点，其法向量，则平面的方程为或其中3．一般式方程其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。特别情形：，表示通过原点的平面。，平行于轴的平面。，平行平面的平面。表示平面。4．三点式方程设，，三点不在一条直线上，则通过的平面方程为5．平面束设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中。6．有关平面的问题两平面为与间夹角垂直条件平行条件重合条件设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离：三．直线及其方程1．方向向量、方向数与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2．直线的标准方程（对称式方程）。其中为直线上的点，为直线的方向数。3．参数式方程为参变量。4．两点式设，为不同的两点，则通过和的直线方程为5．一般式方程（作为两平面的交线）：，方向向量6．有关直线的问题两直线为与间夹角垂直条件平行条件四．平面与直线相互关系平面的方程为：直线的方程为：与间夹角（）与垂直条件与平行条件与重合条件上有一点在上乙典型例题5432考研论坛（）友情提供下载例1．已知直线，若平面过点且与垂直，求平面的方程。分析：由题意可知，直线的方向向量必定平行于所求平面的法线向量，因此可取利用平面的点法式方程可知即为所求平面方程。或写为一般式方程。例2．设平面过点且与平面平行，则平面的方程为________。例3．通过点且与直线：，，垂直的平面方程为________。例4．求点到平面的距离。例5．试确定过，及三点的平面方程。例6．求通过坐标原点且垂直于直线的平面方程。例7．求通过点且垂直于两平面：和的平面方程。§5．3曲面与空间曲线甲内容要点一．曲面方程1．一般方程2．参数方程（平面区域）二．空间曲线方程1．一般方程2．参数方程三．常见的曲面方程1．球面方程设是球心，是半径，是球面上任意一点，则，即2．旋转曲面的方程（1）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面，设是旋转面上任一点，由点旋转而来（点是圆心）。由得旋转面方程是或由参数方程，，，得旋转面的参数方程，（2）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出，第二步：旋转曲面方程为绕轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理。5．二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四．空间曲线在坐标平面上的投影1．曲线的方程曲线在平面上的投影先从曲线的方程中消去得到，它表示曲线为准线，母线平行于轴的柱面方程，那么就是在平面上的投影曲线方程。曲线在平面上投影或在平面上投影类似地处理2．曲线的方程则曲线在平面上的投影曲线方程为曲线在平面上投影曲线方程为曲线在平面上投影曲线方程为第六章多元函数微分学§6．1多元函数的概念、极限与连续性甲内容要点一．多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。二元函数的图形为空间一卦曲面，它在平面上的投影区域就是定义域。例如，二元函数的图形为以原点为球心，半径为的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为的闭圆。2．三元函数与元函数空间一个点集称为三元函数称为元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二．二元函数的极限设在点的邻域内有定义，如果对任意，存在，只要，就有则记以或称当趋于时，的极限存在，极限值为，否则，称为极限不存在。值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三．二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若则称在点处连续。若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。2．闭区域上连续函数的性质定理1．（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界.定理2．（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值（最大值），（最小值）定理3．（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值。若，则存在，使得乙典型例题一．求二元函数的定义域例1．求函数的定义域解：要求即；又要求即或综合上述要求得定义域或例2．求函数的定义域二．有关二元复合函数例1．设，求解：设，解出，代入所给函数化简故例2．设，求例3．设，当时，，求函数和例4．设，当时，，求函数和。三．有关二元函数的极限例1．讨论（常数）解：原式而又原式例2．讨论例3．讨论例4．讨论§6．2多元函数的偏导数与全微分甲内容要点一．偏导数1．定义设二元函数若存在，则记以，或或称为在点处关于的偏导数。同理，若存在，则记以，或或称为在点处关于的偏导数。类似地，设即即即2．二元函数偏导数的几何意义表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率；表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率3．高阶偏导数设的偏导数和仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为的二阶偏导数，共有四种。当，在处为连续则也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。类似地可以讨论二元函数的三阶及阶偏导数。也可以讨论元函数的高阶偏导数。二．全微分1．二元函数的可微性与全微分的定义设在点处有全增量若其中不依赖于只与有关，则称在处可微，而称为在处的全微分，记以或2．二元函数的全微分公式当在处可微时则这里规定自变量微分，一般地3．二元函数全微分的几何意义二元函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上的点的竖坐标的增量。4．元函数的全微分公式类似地可以讨论三元函数和元函数的可微和全微分概念，在可微情况下三．偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系5432考研论坛（）友情提供下载设，则连续存在四．方向导数与梯度（数学一）1．平面情形在平面上过点沿方向的方向导数在点处的梯度为而方向导数与梯度的关系为由此可见，当的方向与的方向一致时，为最大，这时等于又方向导数与偏导数的关系为这相当用两向量的点乘的坐标公式2．空间情形（略）§6．3多元函数微分法甲内容要点一．复合函数微分法——锁链公式模型1．，，；模型2．，模型3．，，模型4．，，还有其它模型可以类似处理二．隐函数微分法设（1）确定则；（2）确定则；（3）确定则；乙典型例题例1．设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定和，求答案：例2．设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求答案：§6．4多元函数的极值和最值甲内容要点一．求的极值第一步求出驻点第二步令若则不是极值若则不能确定（需从极值定义出发讨论）若则是极值进一步若则为极小值若则为极大值二．求多元函数条件极值的拉格朗日乘子法求的极值约束条件作求出是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种方法的关键是解方程组的有关技巧。三．多元函数的最值问题乙曲型例题一．普通极值问题例1．求函数的极值解：，要求，得故知，由此解得三个驻点，，，又，，在点处，，又，是极小值点极小值在点处，，。，，也是极小值点极小值在点处，，。不能判定。这时取，（其中为充分小的正数）则而取时，由此可见不是极值点。例2．求函数的极值二．条件极值问题（在强化班再讨论）第七章多元函数积分学§7．1二重积分甲内容要点一．二重积分的概念与性质1．定义设是定义在有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为个小区域对小区域上任意取一点都有存在，（其中又表示为小区域的面积，为小区域的直径，而）则称这个极限值为在区域上的二重积分记以，这时就称在上可积。如果在上是有限片上的连续函数，则在上是可积的。2．几何意义当为闭区域上的连续函数，且，则二重积分表示以曲面为顶，侧面以的边界曲线为准线，母线平行于轴的曲顶柱体的体积。当封闭曲面它在平面上的投影区域为，上半曲面方程为，下半曲面方程为，则封闭曲面围成空间区域的体积为3．基本性质（1）（为常数）（2）（3）其中，除公共边界外，与不重叠。（4）若，，则（5）若，，则其中为区域的面积。（6）（7）积分中值定理设在有界闭区域上连续，为的面积，则存在，使得我们也把称为在上的积分平均值。4．对称区域上奇偶函数的积分性质定理1．设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则其中为在轴的上半平面部分。定理2．设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则其中为在轴的右半平面部分。定理3．设在有界闭区域上连续，若关于原点对称，则其中为的上半平面或右半平面。定理4．设在有界闭区域上连续，若关于直线对称，则若，，分别为在的上方与下方部分，则二．在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型：设有界闭区域其中，在上连续，在上连续。则模型：设有界闭区域其中，在上连续，在上连续。则关于二重积分的计算主要根据模型或模型把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域，如果既不符合模型中关于的要求，又不符合模型中关于的要求，那么就需要把分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型或模型中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域，然后根据再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。三．在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域的不同类型，也有几种常用的模型。模型：设有界闭区域其中，在上连续，在上连续，则模型：设有界闭区域其中在上连续，在上连续，则模型：设有界闭区域其中在上连续，在上连续，则模型：设有界闭区域其中在上连续，在上连续，则四．二重积分在几何上的应用1．空间物体的体积其中为闭曲面在平面上投影区域为上半曲面，为下半曲面。2．空间曲面的面积其中为曲面在平面上投影，曲面的方程乙典型例题一．直角坐标系中二重积分的计算例1．计算，其中是由曲线，所围区域。解：例2．计算其中是以，，和为边的平行四边形区域。例3．计算其中是由摆线，的第一拱和轴所围区域。例4．计算例5．计算例6．计算，其中由，和轴所围区域。例7．计算其中由和所围区域。二．极坐标系中二重积分的计算例1．计算其中由与轴围成上半圆区域。解：在极坐标系里，，三．交换积分顺序例1．交换的积分顺序解：原式其中由，和所围的区域。按另一积分顺序把二重积分化累次积分原式例2．交换的积分顺序例3．交换的积分顺序例4．交换的积分顺序例5．交换的积分顺序四．二重积分在几何上的应用1．求空间物体的体积例1．求两个底半径为的正交圆柱面所围立体的体积答案：例2．求球面和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积解：根据对称性可知其中为平面上与轴所围平面区域用极坐标系进行计算例3．求曲面，，，所围立体的体积。§7．2三重积分（数学一）甲内容要点一．三重积分的概念与性质1．定义设是定义在空间有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为个小区域且对小区域上任意取一点都有存在（其中又表示为小区域的体积，为小区域的直径，而）则称这个极限值为在空间区域上的三重积分，记以。这时就称函数在上是可积的。上的连续函数一定是可积的。2．基本性质（1）（为常数）（2）（3）其中，除公共边界外，与不重叠（4）若，，则（5）若，，则其中V为区域的体积（6）（7）积分中值定理设在空间有界闭区域上连续，为的体积，则存在，使得我们也把称为在上的积分平均值。3．对称区域上奇偶函数的积分性质定理：设在空间有界闭区域上连续，而关于平面对称，则其中是在平面上方的那一部分区域。至于关于平面对称，或关于平面对称有类似的结果。二．三重积分的计算方法1．直角坐标系中三重积分化为累次积分（1）设是空间的有界闭区域，其中是平面上的有界闭区域，在上连续，函数在上连续，则（2）设其中为竖坐标为的平面上的有界闭区域，则2．柱坐标系中三重积分的计算相当于把化为极坐标而保持不变。3．球坐标系中三重积分的计算然后再根据把三重积分化为关于的累次积分。乙典型例题（强化班时再讨论）5432考研论坛（）友情提供下载§7．3曲线积分（数学一）甲内容要点一．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）1．定义平面情形：设平面上逐段光滑曲线上定义函数把曲线任意分割为段，，在上任取一点，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆存在并且相等。（这里又表示第段曲线的弧长，）则称此极限值为在曲线上的第一类曲线积分也称为对弧长的曲线积分，记以如果曲线是封闭曲线，则记以空间情形：空间一条逐段光滑曲线上定义函数，把曲线任意分割为段，在上任取一点，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆存在并且相等。（这里又表示第段曲线的弧长，）则称此极限值为在曲线上的第一类曲线积分，也称为对弧长的曲线积分，记以如果曲线是封闭曲线，也记以2．参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线的参数方程，，，则（假设和，，皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算。二．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）1．定义平面情形：设平面一条逐段光滑有定向的曲线，函数和皆在上有定义，把任意分成段，在上起点坐标为，终点坐标为（按的定向决定起点和终点）令，，再在上任取一点，考虑极限其中仍然是段弧长中的最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为和对曲线的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以第二类曲线积分有时也用向量形式表示，这时向量，，用向量点乘概念另外，平面曲线是封闭曲线时，它的定向用逆时针方向或顺时针方向加以指明。空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线，函数，，在上皆有定义，把任意分成段，，在上起点坐标为，终点坐标（按的定向决定起点和终点）令，，，再在上任意一点考虑极限其中仍是段弧长中最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为，和对空间曲线的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以它的向量形式为其中如果是空间封闭曲线也要说明的定向，在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针方针，必须用其他方式加以说明。2．参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间有向曲线的参数方程，，，起点对应参数为，终点对应参数为（注意：现在和的大小不一定）如果，，皆连续，又，，也都连续，则这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。三．两类曲线积分之间的关系1．平面情形设平面上一个逐段光滑有定向的曲线，，在上连续，则其中，为曲线弧在点处沿定向到方向的切线的方向余弦。2．空间情形设为空间一条逐段光滑有定向的曲线，，，在上连续，则其中，，为曲线弧上点处沿定向到方向的切线的方向余弦。四．格林公式关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。定理1．（单连通区域情形）设平面上有界闭区域由一条逐段光滑闭曲线所围成的单连通区域。当沿正定向移动时区域在的左边，函数，在上有连续的一阶偏导数，则有定理2．（多连通区域情形）设平面上有界闭区域是连通区域（也即有个“洞”），它的边界，其中的定向为逆时针方向，定向皆为顺时针方向，仍符合沿的正定向移动时区域在它的左边这个原则。函数，在上有连续的一阶偏导数，则五．平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件设的分量，在单连通区域内有一阶连续偏导数，则下面几条彼此等价。1．对内任意一条逐段光滑闭曲线，都有2．任意在内，则只依赖于起点和终点，与曲线的取法无关，称为曲线积分与路径无关。3．成立。4．内处处有成立。5．向量场是有势场，即存在二元函数，具有，称为势函数，具有，。乙典型例题（强化班再讨论）§7．4曲面积分（数学一）甲内容要点一．第一类曲面积分（对面积的曲面积分）1．定义设为分块光滑曲面，在上有定义，把曲面任意分成块小曲面，在上任取一点，把小曲面的面积也记以，而表示各小块曲面直径的最大值。如果对任意分割和任意取点，下列极限皆存在且相等则称这极限值为在曲面上的第一类曲面积分，也称对面积的曲面积分，记以2．基本计算公式设曲面的方程，在上有连续偏导数。在上连续，则这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。二．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）1．定义设为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向)，，，皆在上有定义，把曲面任意分成个小曲面，而在平面上投影的面积记以，在平面上投影的面积记以，在平面上投影的面积记以，又在上任取一点，令是各小块曲面直径的最大值，考虑极限如果对任意分割，任意取点，极限值都存在并且相等，则这个极限限称为，，在有向曲面上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面积分，记以如果令，则向量形式为2．基本计算公式如果曲面的方程，在上连续，在上连续，则若曲面指定一侧的法向量与轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。这样把这部分曲面积分化为平面上的二重积分。类似地，曲面的方程表示为，，则曲面指定一侧的法向量与轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，如果曲面的方程表示为，，则曲面指定一侧的法向量与轴成锐角取正号，成钝角取负号。由此可见，第二类曲面积分用基本公式进行计算是很麻烦的。绝大多数情形都用下面的定理进行计算，但是当有些为只剩下一项或二项时，也有可能用基本公式进行计算。三．两类曲面积分之间的关系其中为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。令，四．高斯公式定理1．（单连通区域）设是由分块光滑曲面围成的单连通有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，则（外侧）其中为在点处的法向量的方向余弦。定理2．（多连通区域）设是连通区域，外面边界曲面为外侧，每一个“洞”的边界曲面为内侧，彼此不重叠，都在的内部。这些曲面都是分块光滑的，是有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，则（外侧）（内侧）五．斯托克斯公式定理：设是逐段光滑有向闭曲线，是以为边界的分块光滑有向曲面，的正向与的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数在包含的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有也可用第一类曲面积分六．散度与旋度讨论中有三个概念很重要，就是梯度、散度和旋度。前面我们已经讨论过梯度：设算称为的梯度。1．散度设散度称为的散度高斯公式可写成（外侧）2．旋度设旋度称为的旋度。斯托克斯公式可写成其中,乙典型例题（强化班再讨论）第八章无穷级数（数学一和数学三）引言所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同。历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”，第一种第二种第三种设则，，这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识，（1）什么是无穷多项相加？如何考虑？（2）无穷多项相加，是否一定有“和”？（3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。§8．1常数项级数甲内容要点一．基本概念与性质1．基本概念无穷多个数，依次相加所得到的表达式称为数项级数（简称级数）称为级数的前项的部分和。称为部分和数列。若，则称级数是收敛的，且其和为，记以若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。）2．基本性质（1）如果和皆收敛，为常数，则收敛，且等于（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4）级数收敛的必要条件是。（注：引言中提到的级数，具有不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故发散。调和级数满足，但却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。）3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）当时，收敛；当时，发散。（2）—级数当时，收敛；当时，发散。（注：时，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知。）二．正项级数敛散性的判别法若则称为正项级数，这时所以是单调增加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界。因此收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础。从而也是正项级数其它判别法的基础。1．比较判别法设，当时，皆成立。如果收敛，则收敛；如果发散，则发散。2．比较判别法的极限形式设，，若（1）当时，与同时收敛或同时发散。（2）当时，若收敛，则收敛。（3）当时，若收敛，则收敛。3．比值判别法（达朗倍尔）设，而（1）当时，则收敛。（2）当（包括）时，则发散。（3）当时，此判别法无效。（注：如果不存在时，此判别法也无法用。）4．根值判别法（柯西）设，而（1）当时，则收敛。（2）当（包括）时，则发散。（3）当时，此判别法无效。事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在情形都无能为力，数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作要求。三．交错级数及其莱布尼兹判别法1．交错级数概念若，称为交错级数。2．莱布尼兹判别法设交错级数满足：（1）（2）则收敛，且四．绝对收敛与条件收敛1．定理若收敛，则一定收敛；反之不然。2．定义若收敛，则称为绝对收敛；若收敛，而发散，则称为条件收敛。3．有关性质（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即或一定是发散的。4．一类重要的级数设（1）当时，是绝对收敛的。（2）当时，是条件收敛的。（3）当时,是发散的。乙典型例题一．主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。（1）（2）二．主要用判别法讨论级数的敛散性1．正项级数情形例1．若级数收敛，则（1）收敛（2）收敛（3）收敛证：(1)收敛，取，存在，当时，，于是再用比较判别法，由收敛可知收敛（2）（几何平均值算术平均值）已知收敛，收敛，故收敛，再用比较判别法，可知收敛（3），已知收敛，用比较判别法可知收敛。例2．判别下列级数的敛散性（1）(常数)（2）解：用比值判别法（1）当，则，故级数收敛当，则，故级数发散当时，，比值判别法无效但这时，即那么收敛的必要条件一定不满足，故级数也发散（2）