湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷）

湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（）A．91.5 B．93 C．93.5 D．942．已知集合M={−1,0,1,A．{2，3} B．{1，2，3} C．{−1,0} 3．设z=12−i，则A．25+i5 B．25−4．圆心为（2，1），且与直线x−2y+5=0相切的圆在x轴上的弦长为（）A．2 B．4 C．5 D．25．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径也为l的球的表面积相等，则rlA．3−1 B．3−12 C．56．在△ABC中，tanA=52，AB=3，AC=4，则点AA．453 B．52 C．27．定义域均为R的函数f(x)，g(x)满足f(x)=g(x−1)，且f(x−1)=g(2−x)，则（）A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数C．g(x)是奇函数 D．g(x)是偶函数8．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，R分别为线段A．26 B．42 C．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．某次数学考试满分150分，记X，Y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且X~N(90,A．甲班的平均分低于乙班的平均分B．甲班的极差大于乙班的极差C．成绩在[100，110]的人数占比乙班更高D．成绩在[90，100]的人数占比甲班更高10．设sin52°=tA．cos16°=1−2t2C．tan38°=1−t11．已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于xA．|OD|2|OA|⋅|OF| C．|AD|2|BD|2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量a=(1,−1)，b=(213．已知抛物线C1：y2=2x，C2：y2=−4x的焦点分别为F1，F2，一条平行于x轴的直线与C1，C2分别交于点14．已知函数f(x)=2x3−3x2+3．设k为正数，对于任意x，若|f(x)|，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知椭圆C：x2a2+y（1）求C的方程；（2）设过C的左焦点且斜率为2的直线与C交于M，N两点，求△PMN的面积．16．如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E为PB的中点．（1）证明：DE⊥平面PAC；（2）若F为AB的中点，求二面角B−CE−F的大小．17．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖．抽奖箱里放有n(n=5,（1）当n=10时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；（2）商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于25%，求n的最大值．18．对于数列{an}，{bn}及常数p，若满足an+1=b（1）若{an}对{bn}关于0耦合，且（2）若{an}对{bn}关于1耦合，且（3）若存在p1，p2，使得{an}对{bn}关于p1耦合，且{19．“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为(0,+∞)．设点P(x1,y1)，P∗(y1,x1)，Q(x2,y2)，规定‖P‖=x12+y12，且对于运算“⊗”，P⊗Q表示坐标为(x1x2（1）若点M(1,2)，‖N‖=5，且N~M，求（2）证明：若θ∗(x)为θ(x)的镜像函数，A(x（3）已知函数f(x)=ex+x2−1，f∗(x)为证明：f(‖R

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】A,C10．【答案】B,C11．【答案】B,C,D12．【答案】113．【答案】314．【答案】(15．【答案】（1）解：设C的半焦距为c，则ca故b2将P(1,−233)代入C的方程有1a所以C的方程为x2（2）解：由（1）可知C的左焦点为(−1,故过左焦点且斜率为2的直线为l：y=2将l与C的方程联立x23+设M(x1,y1)，故|MN|=3且P到l的距离d=|所以△PMN的面积为|MN|⋅d216．【答案】（1）解：方法1：如图，连接BD，交AC于点G，因为ABCD是正方形，故BD⊥AC，又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故PD⊥AC，由于BD∩PD=D，所以AC⊥平面PDB，因为DE⊂平面PDB，故DE⊥AC．取线段PA的中点H，连接DH，EH，因为E为PB的中点，则EH∥AB．又因为AB⊥AD，AB⊥PD，且PD∩AD=D，故AB⊥平面PAD，且EH⊥平面PAD，所以EH⊥PA．因为DH⊥PA，且DH∩EH=H，故PA⊥平面DEH，PA⊥DE．由于PA∩AC=A，所以DE⊥平面PAC．方法2：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系，设|AB|=2，则A(2,0,0)，C(0,所以PA=(2,0,−2)设平面PAC的法向量为k=(x0不妨取x0=1，则所以DE⊥平面PAC．（2）解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系，设|AB|=2，则B(2,2,0)，C(0,所以BC=(−2,0,0)设平面BCE与平面CEF的法向量分别为m=(x1,y1,不妨取y1=1，x2=1，则所以cos⟨因为⟨m,n17．【答案】（1）解：当n=10时，抽奖箱里标有“中奖”字样小球2个，未标有“中奖”字样小球8个，一次抽奖，

可能取出0个标有“中奖”小球，或者1个标有“中奖”小球，1个未标有“中奖”小球，

或者2个标有“中奖”小球，

所以X的可能取值为0,1,2，

P(X=0)=C82C10X012P28161E(x)=0×（2）解：抽奖箱里标有“中奖”字样小球2个，未标有“中奖”字样小球n−2个，

参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，

包含抽到1个标有“中奖”小球，1个未标有“中奖”小球，或2个标有“中奖”小球，两种情况，

所以参加抽奖的顾客中奖概率为P=C21Cn−21+C22Cn−20Cn2=4n−6n18．【答案】（1）解：若{an}对{bn所以an+2=b因为a1=1，故an=1所以a=(1（2）解：若{an}对{bn所以an+2=bn+1+1=2又因为a1=b故当n为奇数时，an+1=(a所以当n为偶数时，bn当n为偶数时，an+1=(a所以当n为奇数时，bn综上an=2（3）解：由题设可知，an+1=bn+p1（ⅰ）若p1=0，则an+1=bn，bn+1（ⅱ）若p1≠0，由上得an+1假设p2=p12，则bn=0①若p1=−1，则p2=p12②若an=0，则an+1=0，所以若p1≠0，则p2故bn+12=(p2所以对于任意n∈N∗，an+1=bn+p1综上，p1，p19．【答案】（1）解：设N(xN,因为N~M，则存在点W(x(x由条件知xWyW>0，由‖N‖=5得所以N的坐标为(5,25)故M∗⊗N（2）证明：由条件知点(xA,θ∗(xA))所以θ(θ∗(xA由（1）可知，若A~B，则xAxB（3）证明：设R(x0,y0)，若R~S，且‖R‖>‖S‖，由（1）可知，存在0<k<1使得S(kx0,ky由（2）可知f